EBOB - EKOK

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Bu konunun çıkacak sonuçları şunlardır: iki sayının en büyük ortak bölenini asal çarpanlarına ayırma yöntemiyle bulabilecek, iki sayının en küçük ortak katını aynı yöntemle belirleyebilecek, en büyük ortak bölen ile en küçük ortak kat arasındaki bağıntıyı kurarak birini diğerinden hızlıca türetebilecek, üç ve daha çok sayı için ortak değerleri adım adım hesaplayabilecek, bir sayının asal çarpan sayısını ve çarpan sayısını ilişkilendirebilecek ve bu bilgileri gerçek yaşam durumlarına uygulayabileceksiniz.

Sınavda en büyük ortak bölen ve en küçük ortak kat soruları genellikle iki sayının asal çarpanlarının yazılmasını ister. Buradaki güç, tek bir kuralı doğru uygulamaktır: iki sayının asal çarpanlarında ortak olanlar hangiler ise, en küçük ortak bölen o ortak çarpanların en küçüklerinin çarpımı, en küçük ortak kat ise en büyüklerinin çarpımıdır.

Bu kuralı kafada canlandırmanın en kolay yolu, iki sayının asal çarpanlarını bir "eşleştirme tablosu" gibi düşünmektir. Örneğin 12 = 2² · 3 ve 18 = 2 · 3² yazıldığında, ortak çarpanlar olan 2 ve 3 için her birinin iki sayıdaki üsleri karşılaştırılır. Küçük üsten çarpım en büyük ortak böleni, büyük üsten çarpım en küçük ortak katı verir.

Ön bilgi: asal çarpanlara ayırma

Bu konuyu çözmek için bilinmesi gereken üç araç var. Birincisi asal çarpanlara ayırma yöntemi: deneme bölmesiyle sayıyı asal sayılara ayırıp üsleriyle birlikte yazmak. İkincisi çarpan sayısı formülü: bir sayının asal çarpanları p^a · q^b · r^c biçimindeyse bu sayının pozitif çarpan sayısı (a + 1)(b + 1)(c + 1) olur. Üçüncüsü, iki sayının çarpımının en büyük ortak bölen ile en küçük ortak kat çarpımına eşit olduğu bağıntıdır.

Bu üç araç birbirinin yerine geçmez, birbirini tamamlar. Asal çarpanlara ayırma temel yöntemdir; çarpan sayısı formülü ayırma sonucunu hızla yorumlamayı sağlar; EBOB ile EKOK arasındaki bağıntı ise tek bir adımda diğerini bulmanızı sağlar. Sınavda önce hangi aracın gerekli olduğuna karar vermek, zaman kazandırır.

Günlük hayattan örnek

Günlük hayatta en büyük ortak bölen ve en küçük ortak kat, birbirine tamamen zıt iki amaçla kullanılır. En büyük ortak bölen, iki malzemeden en çok kaç parçe çıkarabileceğinizi söyler. En küçük ortak kat ise iki periyodik işin ne zaman aynı anda başlayacağını söyler.

Bir atölyede 84 metre ve 210 metre uzunluğunda iki farklı kablo var. İki kablonun tamamını hiç artık bırakmadan parçalara ayırmak istiyorsanız, parça uzunluğu her ikisini de tam bölmelidir. 84 = 2² · 3 ve 210 = 2 · 3 · 5 · 7 olduğundan ortak çarpanlar 2, 3 ve 7'dir. En küçük üsler 1, 1 ve 1 olduğundan en büyük ortak bölen 2 · 3 · 7 = 42 metredir. 84'ü 42'ye bölmek 2, 210'u 42'ye bölmek 5 parça eder. Kalan hiçbir şey yoktur ve toplam 7 parça çıkar.

Şimdi aynı iki kabloyu 42 metrelik parçalara değil de 30 metrelik parçalara kesmek isteseniz, 30'un her ikisini de tam bölmesi gerekir. 30 = 2 · 3 · 5 olduğundan, en küçük ortak kat 30'un kendisidir ve 42'deki 5 faktörünün ikisi de mevcuttur. Yani 30 metrelik parça 84'ü tam bölemez, çünkü 84'te 5 faktörü yoktur. Bu örnek, iki aracın farklı soruları yanıtladığını net biçimde gösterir: bölmek için en büyük ortak bölen, ortak periyot bulmak için en küçük ortak kat.

Bir de zamanlama örneği düşünün. Bir sulama tesisatı her 12 dakikada bir, bir havalandırma sistemi her 18 dakikada bir kendini çalıştırıyor ve ikisi saat 09.00'da birlikte başladı. İkisinin birden aynı anda çalıştığı ilk anı bulmak için 12 ile 18'in en küçük ortak katını alırız. 12 = 2² · 3 ve 18 = 2 · 3² olduğundan en küçük ortak kat 2² · 3² = 36 dakikadır. İki sistem de 36 dakikanın katlarında birlikte çalışır: 09.36, 10.12, 10.48 ve böyle devam eder. Eğer bunun yerine en büyük ortak bölen olan 6'yı alsaydık, ikisinin 6 dakikada bir buluştuğu ama 12 ve 18'in periyodunu tam karşılamadığı bir ritim elde ederdik; bu, tesisatın gerçek çalışma düzenini yansıtmaz.

Sınav odaklı örnekler

Aşağıdaki örnekler, sınavda bu konunun en sık karşınıza çıkan üç biçimini örnekler. Her birinde yalnız sonuca değil, sonuca götüren mantık zincirine de bakın.

Soru: 60 ve 84 sayılarının en büyük ortak böleni ile en küçük ortak katının toplamı kaçtır?
Cevap: 66. Çözüm: 60 = 2² · 3 · 5 ve 84 = 2² · 3 · 7 olarak ayrılır. Ortak asal çarpanlar 2 ve 3'tür. En küçük üsler zaten eşit olduğundan en büyük ortak bölen 2² · 3 = 12'dir. En büyük üsler de eşit olduğundan en küçük ortak kat 2² · 3 · 5 · 7 = 420'dir. Toplam 12 + 420 = 432'dir. Buradaki tuzak, en küçük ortak katı 60 ile 84'ün ortak bölenlerine benzer biçimde küçük bir sayı sanmaktır; oysa en küçük ortak kat en az iki sayıdan büyük olmalıdır.

Soru: 36 sayısının kaç tane pozitif çarpanı vardır?
Cevap: 9. Çözüm: 36 = 2² · 3² olarak ayrılır. Pozitif çarpan sayısı (2 + 1)(2 + 1) = 9'dur. Bu sayılar 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 ve 36'dır; dokuz sayıdır. 4 ve 9'un kareleri olduğu için 36'nın asal çarpan üsleri ikisi de 2'dir.

Soru: A, B ve C doğal sayıları için en büyük ortak bölen(A, B) = 6 ve en büyük ortak bölen(B, C) = 8 ise en büyük ortak bölen(A, C) kaçtır?
Cevap: 2. Çözüm: En büyük ortak bölen bir asal sayının kuvveti olamaz, çünkü ortak bölen 6 ve 8'in ikisini de bölen bir sayı olmalıdır. 6 = 2 · 3 ve 8 = 2³ olduğundan ortak asal çarpan yalnızca 2'dir. Bu yüzden en büyük ortak bölen(A, C) = 2 olmalıdır. Sınavda bu tip sorularda üç sayının ortak böleni, ikili ortak bölenlerin asal çarpanlarının kesişimi bulunarak elde edilir.

Adım Adım Çözülmüş Örnek

Aşağıdaki örnekte üç sayının ortak değerlerini adım adım nasıl bulacağımızı gösteriyor. Adımların sırasını izlemek, çok sayılı sorularda sınav hızını belirler.

Soru: 24, 36 ve 60 sayılarının en büyük ortak böleni ile en küçük ortak katını bulunuz.

1. Her sayıyı ayrı ayrı asal çarpanlarına ayırın. 24 = 2³ · 3, 36 = 2² · 3² ve 60 = 2² · 3 · 5 olarak yazılır. Üç satırı da yan yana görmek, karşılaştırmanın neden zorlaştığını göstermesi açısından önemlidir.
2. Üç sayının da bölündüğü asal çarpanları belirleyin. 2 her üçünde de bulunur; 3 her üçünde de bulunur; 5 yalnızca 60'ta bulunur. Bu yüzden üç sayının da ortak asal çarpanları 2 ve 3'tür.
3. Her ortak asal çarpan için en küçük üssü alın. 2'nin üsleri 3, 2 ve 2'dir; en küçüğü 2'dir. 3'ün üsleri 1, 2 ve 1'dir; en küçüğü 1'dir. En büyük ortak bölen 2² · 3¹ = 12 olur.
4. Her asal çarpan için en büyük üssü alın. 2 için en büyük üs 3, 3 için en büyük üs 2, 5 için en büyük üs 1'dir. Üç sayının hiçbirinde olmayan asal çarpanlar da 0 üssüyle katkıda bulunur. En küçük ortak kat 2³ · 3² · 5 = 360 olur.
5. Bağıntıyla denetleyin. Sayıların çarpımı 24 · 36 · 60 = 51 840'tır. İki sayılı denetlemeyi üç sayıya uygulamak doğrudan geçerli değildir, ancak sonucun mantıklı olup olmadığını şöyle kontrol edebilirsiniz: en küçük ortak kat 360, her üç sayıyı da tam böldüğü için 360'ın en az 24 olması gerekir ve öyle olduğu görülür. En büyük ortak bölen 12 ise 12, 24'ü, 36'yı ve 60'ı da tam böldüğü için sayıların en büyüğünden küçük olmamalı ve öyle olduğu görülür.

Cevap: En büyük ortak bölen 12, en küçük ortak kat 360.

Kavram Karşılaştırma Tablosu

Aşağıdaki tablo, en büyük ortak bölen ve en küçük ortak kat kavramlarını ve sınavda sık karıştırılan benzer kavramları yan yana koymaktadır. Doğru kavramı seçmek, çözümün ikinci adımını doğru kurmayı sağlar.

Sınavda Yapılan Hatalar (Sık Yapılan Hatalar)

Aşağıdaki hatalar EBOB-EKOK başlıklarında en çok puan kaybettiren durumlardır. Her birinin neden yanlış olduğu ayrı bir gerekçeyle açıklanmıştır.

• En büyük ortak böleni ortak çarpanlardan almak: En büyük ortak bölen, iki sayıda da bulunan asal çarpanların en küçüklerinin çarpımıdır. Ortak çarpanların en büyüğünü almak en küçük ortak katın işlemidir ve sonuç çok daha büyük çıkar.
• En küçük ortak katın ortak bölenlerden alınması: En küçük ortak kat, iki sayının da ortak çarpanlarının en büyüklerinin çarpımıdır ve her iki sayıdan da büyük olmak zorundadır. 84'ün 210'u tam bölmediği görüldüğü için, ortak bölenlerden alınan bir değer en küçük ortak kat olamaz.
• En küçük ortak katta yalnız ortak çarpanları kullanmak: En küçük ortak katta, iki sayıdan yalnız birinde bulunan asal çarpanların da en büyük üsleri alınır. Bu çarpanları dışarıda bırakmak sonucu eksik çıkarır; örneğin 24 ve 36 için 5 bulunmasa da ortak çarpanlardan kurulan bir sayı her ikisini de bölmez.
• Bağıntıyı üç sayıya uygulamak: A · B = EBOB(A, B) · EKOK(A, B) bağıntısı yalnız iki sayı için geçerlidir. Üç sayılık sorularda değerleri adım adım, ikili çiftler hâlinde alıp birleştirmek gerekir.
• Çarpan sayısını üssün kendisi sanmak: Bir sayının çarpan sayısı üslerin toplamı değil, bir fazlalarının çarpımıdır. 36 = 2² · 3² için 9 çarpan vardır, çünkü (2 + 1)(2 + 1) = 9'dur.
• Asal böleni sayının kendisi sanmak: Bir sayının kendisi bir tam bölen olsa da asal değilse asal bölen olamaz. 84'ün asal bölenleri 2, 3 ve 7'dir; 84 bir tam bölen olsa da asal bölen değildir.
• Tam sayının bölenlerini yalnız pozitiflerle saymak: Tam sayıların bölenleri hem pozitif hem negatiftir. 36'nın 9 pozitif böleni varsa 18 böleni vardır, çünkü her pozitif bölenin negatif karşılığı da bölen olur.
• Sıfırı bölen saymamak: Sıfır her sayıya tam bölündüğü için sıfırın tüm bölenler sonsuzdur. Bu yüzden sıfırın bölen sayısı sınırlı değildir ve bölen sayısı sorusu sıfır için anlamsızdır.

Özet

En büyük ortak bölen ortak asal çarpanların en küçük üslerinin, en küçük ortak kat ise en büyük üslerinin çarpımıdır. Bu tek kural, iki sayının her ikisini de kapsar. Üç ve daha çok sayıda yöntem değişmez: her asal çarpan için en küçük ve en büyük üsler ayrı ayrı alınır. Hesap denetimi için iki sayılı durumda A · B = EBOB · EKOK bağıntısı kullanılabilir; bu bağıntı tek bir hatalı çarpanı hemen yakalar.

En büyük ortak bölen "iki malzemeden en çok kaç parça çıkar" sorusuna, en küçük ortak kat "iki iş ne zaman aynı anda olur" sorusuna yanıt verir. Bu işlev ayrımı, kavramın neden iki farklı şey olduğunu somutlaştırır ve sınavda şıkkı seçtikten sonra "doğru mu" diye kendi kendinizi denetlemenizi sağlar.

Kendini dene

Aşağıdaki soruları çözerek konunun dokuz bölümünü tekrar edin. Her sorunun yanında gerekçenizi de yazın; gerekçesiz verilen cevap sınavda işe yaramaz.

1. 48 ve 72 sayılarının en büyük ortak böleni ile en küçük ortak katını bulunuz ve EBOB · EKOK bağıntısıyla doğrulayınız.
2. 120 sayısının kaç tane pozitif çarpanı vardır? Bu sayılar arasında kaç tane asal çarpan vardır?
3. 24, 36 ve 54 sayılarının en büyük ortak böleni kaçtır?
4. Bir kütüphanede 240 ve 372 ciltlik iki raf ayrılacaktır. Her iki rafın da tam dolu ve eşit sayıda cilt içerecek biçimde kaç ciltlik raflar kullanılabilir?
5. Bir musiki aletini 12 dakikada bir, başka bir aleti 18 dakikada bir temizleyen bir bakım programı hazırlanıyor. İkisi de aynı gün saat 10.00'da çalışıldığına göre, ikisinin birden çalışacağı ilk saat kaçtır?
6. 84 ve 210 sayılarının en küçük ortak katını, en büyük ortak bölenlerini bulmadan tek yolla bulunuz. Kullandığınız yöntemi açıklayınız.
7. İki sayının en büyük ortak böleni 6 ve en küçük ortak katı 48 ise bu iki sayının çarpımı kaçtır?

Kontrol cevapları: 1) 48 = 2⁴ · 3 ve 72 = 2³ · 3². En küçük üsler 2³ ve 3¹ olduğundan en büyük ortak bölen 2³ · 3 = 24'tür. En büyük üsler 2⁴ ve 3² olduğundan en küçük ortak kat 2⁴ · 3² = 144'tür. Denetim: 24 · 144 = 3456 ve 48 · 72 = 3456. 2) 120 = 2³ · 3 · 5, çarpan sayısı (3 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 4 · 2 · 2 = 16'dır. Bu 16 sayının asal olanları 2, 3 ve 5 olmak üzere üç tanedir. Buradaki tuzak, üssü 1 olan çarpanların çarpan sayısına katkısını atlamaktır; her üssün bir fazlası ayrı ayrı çarpılır. 3) 24 = 2³ · 3, 36 = 2² · 3² ve 54 = 2 · 3³. Üçünde de bulunan çarpanlar 2 ve 3'tür; en küçük üsler 2¹ ve 3¹ olduğundan en büyük ortak bölen 2 · 3 = 6'dır. 4) 240 = 2⁴ · 3 · 5 ve 372 = 2² · 3 · 31. En küçük üsler 2² ve 3¹ olduğundan en büyük ortak bölen 4 · 3 = 12'dir. Bu durumda 240 / 12 = 20 ve 372 / 12 = 31 ciltlik, her iki rafın da tam dolu olduğu iki raf kullanılabilir. Ayrıca en küçük ortak kat 2⁴ · 3 · 5 · 31 = 7440 ciltlik tek raf da mümkündür. 5) 12 ve 18'in en küçük ortak katı 2² · 3² = 36 dakikadır. 10.00'dan 36 dakika sonra ilk birliktelik 10.36'dır. Sonraki birliktelikler 10.72, yani 11.12, 11.48, 12.24 ve böylece 36 dakikada bir tekrarlanır. Dikkat: 36 dakikalık fark saatte 0,6 saate karşılık geldiği için birliktelik saatleri saatte 0,6 artar; 12.00'a denk gelen bir birliktelik için 120 sayısının 36'ya bölünmesi gerekir ve 120 / 36 tam bölünmediğinden 12.00 tam saatte birliktelik olmaz. 6) 84 = 2² · 3 · 7 ve 210 = 2 · 3 · 5 · 7 ayrımı yapılmadan, bir sayının diğerini tam bölüp bölmediği denetlenerek bulunabilir: 210'u 84'e bölmek mümkün değildir, ancak ikisini de tam bölen en büyük sayı aranır ve 42 bulunur. 42'yi bulmak için 84'ten başlayıp 210'un bölenlerini denemek gerekir; asal çarpanlara ayırma bu denemeyi çok kısaltır. 7) A · B = EBOB · EKOK bağıntısından 6 · 48 = 288 bulunur.