Bölünebilme

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Bu konunun çıkacak sonuçları şunlardır: bir tam sayının iki ile, üçe ve beşe bölünüp bölünmediğini kural yerine kalan hesabıyla belirleyebilecek, bir sayının asal çarpanlarını çıkararak EBOB ve EKOK değerlerini bulabilecek, iki sayının en büyük ortak böleni ile en küçük ortak katının çarpımdaki bağıntısını kullanabilecek, bölen ve çarpan sayılarını ayırt edebilecek, bir aralıktaki tek ve çift sayıların sayısını hesaplayabilecek ve bu bilgileri problemlerde uygulayabileceksiniz.

Bölünebilme kuralları, TYT Matematik testinde özellikle "son iki basamağına bak", "rakamlarının toplamı" ve "çarpımlarının uygunluğu" biçiminde sorulur. Sınav zaman baskısı yarattığı için bu kuralları ezberden değil, tek bir mantığa bağlayarak öğrenmek gerekir: 10 sayısının çarpanlarını düşünün. Bir sayı 10'un katıysa, asal çarpanlarında 2 ve 5 bulunur; 10'un katı değilse bulunmaz.

EBOB-EKOK ise doğrudan kuralların uygulamasıdır. Asal çarpanlara ayırma bir kez yapıldığında, her iki sayıda da bulunan asal çarpanların en küçükleri EBOB'yi, en büyükleri ise EKOK'u verir. Bu iki değerin çarpımının sayıların kendi çarpımına eşit olması, hesaplarınızı denetlemek için kullanabileceğiniz hızlı bir kontroldür.

Ön bilgi: çarpanlara ayırma ve kalan hesabı

Bu konuyu çözmek için bilinmesi gereken üç araç var. Birincisi kalan hesabıdır. Bir A sayısının B'ye bölümünden kalan, A'nın B'ye bölümünden kalanla aynıdır. Bu, "10'un katı mı" sorusunu son basamakla sınırlar. İkincisi asal çarpanlara ayırmadır. Her sayı, asal sayıların çarpımı olarak yazılabilir ve bu yazım tektir. Üçüncüsü, çarpanların dağılım özelliğidir: bir sayının çarpanları, o sayının asal çarpanlarının uygun kombinasyonlarıdır.

Bu üç araç arasındaki bağı şöyle kurun. "A, B'ye bölünür mü" sorusu, aslında "B'nin asal çarpanlarının tümü A'nın asal çarpanlarında var mı" sorusudur. Kalan hesabı bunun hızlı bir özel hâlidir. Bölünebilme kuralları, 2, 3, 5 gibi tek basamaklı asal sayılar için bu genel yöntemin kısayollarıdır. Bu yüzden kuralları birbirinden bağımsız ezberlemek yerine, tek bir mantığın örnekleri olarak öğrenin.

Günlük hayattan örnek

Günlük hayatta en açık bölünebilme örneği, bir malzemenin levhalara kesilmesidir. Bir demir levyi 78 santimetre uzunluğundadır ve bu levhadan 13 santimetrelik parçalar kesmek istiyorsunuz. Kesilen her parçanın uzunluğu 13 olduğuna göre levhadan çıkacak parça sayısı, 78'de kaç tane 13 bulunduğu sorusuna çevrilir. 13, 78'in böleni midir? 78 = 6 · 13 olduğuna göre evet, altı parça çıkar ve artan hiçbir şey yoktur. Aynı işlemi 12 santimetrelik parçalarla yapmak isteseydiniz 78'in içinde 12'den kaç tane olduğunu bulmanız gerekirdi; 78 = 6 · 12 + 6 olduğu için ancak altı parça çıkar ve 6 santimetre artar. Bu artan kısım, sorunun "tam bölünme" şıkkını neden eleyeceğini gösterir.

EBOB-EKOK'nin günlük hayattaki karşılığı da vardır. Bir araziyi dikdörtgen parçalara bölerek hem sulama tesisatı hem de ağırlu yollar döşeyeceksiniz. Tesisat için 12 metre, yol için 18 metre uzunlukta parçalar kullanılıyor. İki tip parçanın da araziyi tam kaplaması, yani her iki tipin de kenarlarından biriyle örtüşmesi için parça uzunluklarının ortak katı kullanılmalıdır. 12 = 2² · 3 ve 18 = 2 · 3² olduğundan en küçük ortak kat 2² · 3² = 36 metredir. Buna karşılık iki tipin birim sayısının ortak bölüneni olan 2 · 3 = 6 metredir; 6 metre uzunluğunda bir parça her iki tipin de tam katıdır.

Üçüncü bir günlük örnek, tek ve çift sayılarla ilgili olabilir. Bir sinifteki öğrencileri sıra numarasına göre 1'den başlayarak numaralandırıp tek sıra numaralarını bir kutuya, çift sıra numaralarını başka bir kutuya koyacaksınız. Sınıfta 47 öğrenci varsa tek numaralı öğrenci sayısı ile çift numaralı öğrenci sayısı birbirine eşit değildir; 1'den 47'ye kadar olan sayılarda 24 tek, 23 çift sayı vardır. Bu fark, tek çift sayısı sorularında "başlangıç tek mi çift mi" ayrımının neden önemli olduğunu gösterir.

Sınav odaklı örnekler

Aşağıdaki örnekler, sınavda bu konunun en sık karşınıza çıkan üç biçimini örnekler. Her birinde yalnız sonuca değil, sonuca götüren mantık zincirine de bakın.

Soru: iki basamaklı doğal sayıların kaç tanesi 11'in katıdır?
Cevap: 9. Çözüm: 11'in katları 11 · 1, 11 · 2, 11 · 3 biçiminde ilerler. İki basamaklı olma koşulu 11 · 1 ile 11 · 9 arasındadır, çünkü 11 · 9 = 99 hâlâ iki basamaklıdır ama 11 · 10 = 100 üç basamaklı olur. Bu nedenle 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 ve 99 olmak üzere dokuz sayı iki basamaklıdır. Buradaki tuzak, 11 · 1 = 11'i tek basamaklı sayı sanıp ilk terimi atlamaktır.

Soru: 84 ile 210 sayılarının en büyük ortak böleni kaçtır?
Cevap: 42. Çözüm: 84 = 2² · 3 · 7 ve 210 = 2 · 3 · 5 · 7 olarak çarpanlarına ayrılır. İki sayıda da bulunan asal çarpanlar 2, 3 ve 7'dir. En küçükleri 2, en büyükleri 7'dir, bu yüzden en büyük ortak bölen 2 · 3 · 7 = 42'dir. Denetim olarak 84 · 210 = 17 640 ve 42 · 420 = 17 640 olduğundan EBOB · EKOK bağıntısı da doğrulanır, çünkü 84 · 42 = 210 olması gerekir ve 84 · 42 gerçekten 210'dır.

Soru: 5 ile 9 arasındaki tek sayıların toplamı kaçtır?
Cevap: 21. Çözüm: 5 ve 9'un ikisi de tek sayıdır, aralığın uç noktaları dahil olduğunda tek sayılar 5, 7 ve 9'dur ve toplamları 5 + 7 + 9 = 21 olur. Eğer soru uç noktaları dışlasaydı yalnızca 7 kalır ve toplam 7 olurdu. Bu örnek, "arasındaki" ifadesinin uç noktaları kapsayıp kapsamadığının sonucu doğrudan değiştirdiğini gösterir.

Adım Adım Çözülmüş Örnek

Aşağıdaki örnekte bir aralıktaki belirli bir sayının katlarını tek tek saymak yerine aritmetik dizi kurmak, sınavda çok daha hızlı ve hatasız sonuç verir. Adımların sırasını izlemek, zor sorularda bile güvenli yol gösterir.

Soru: 100 ile 999 arasındaki üç basamaklı doğal sayılardan kaç tanesi 3'ün katıdır?

1. Aralığın sınırlarını netleştirin. Üç basamaklı sayılar 100 ile 999 arasındadır ve uç noktalar dâhildir. Bu aralıkta 3'ün katı olan ilk sayıyı bulmak için 100'ü 3'e bölüp yukarı yuvarlayın: 100'ün üstündeki ilk kat 102'dir. Son terim ise 999'un kendisidir, çünkü 999 = 3 · 333.
2. Diziyi kurun. Sayılar 102, 105, 108, 111 ve böylece üçer üçer ilerleyerek 999'a kadar gider. İlk terim 102, son terim 999, ortak fark 3 olan bir aritmetik dizi elde edildi.
3. Terim sayısını hesaplayın. Formül: terim sayısı = (son - ilk) / fark + 1 = (999 - 102) / 3 + 1 = 897 / 3 + 1 = 299 + 1 = 300.
4. Denetleyin. Üç basamaklı sayıların toplamı 900'dür ve her üçte bir sayı 3'ün katı olduğundan 900 / 3 = 300 adet beklenir. Hesaplanan sonuçla bu değer örtüşüyor. Ayrıca 99, 3'ün katı olsa da iki basamaklı olduğu için aralığın dışındadır; ilk terimi 99 değil 102 almak gerekir.

Cevap: 300 sayı.

Kavram Karşılaştırma Tablosu

Aşağıdaki tablo, bölünebilme ile ilgili sık karıştırılan kavramları ve aralarındaki farkı göstermektedir. Doğru kavramı seçmek, çözümün ikinci adımını doğru kurmayı sağlar.

Sınavda Yapılan Hatalar (Sık Yapılan Hatalar)

Aşağıdaki hatalar bölünebilme ve EBOB-EKOK başlıklarında en çok puan kaybettiren durumlardır. Her birinin neden yanlış olduğu ayrı bir gerekçeyle açıklanmıştır.

• EBOB'yu ortak çarpanlardan almak: En büyük ortak bölen, iki sayıda da bulunan asal çarpanların en küçüklerinin çarpımıdır. Ortak çarpanların en büyükünü almak EKOK'un işlemidir ve sonucu çok daha büyük çıkarır.
• Bölenin en büyük olduğunu sanmak: Bir sayının en büyük böleni sayının kendisidir, ama "84'ün böleni kaçtır" sorusu genellikle küçük bir çarpanı hedefler. 84'ün bölenleri arasında 42 vardır ancak 84 de bir bölenidir.
• Rakam kuralını 4 ve 9 gibi sayılara uygulamak: "Rakamlarının toplamı 3'ün katı" kuralı sadece 3'e, "son iki basamak 4'ün katı" kuralı sadece 4'e uygulanır. 4 sayısı aslında 2'nin karesidir ve 9 da 3'ün karesidir; bu ikisinin kendine özgü bir rakam kuralı yoktur.
• Kalanı tam sayıyla değiştirmek: 78 ÷ 12 = 6 kalan 6'dır. Kalanın tam bölünme anlamına gelmediği unutulursa soru "kaç parça çıkar" biçiminde sorulduğunda yanlış sayıda parça sayılır.
• EKOK'un EBOB ile çarpımını doğrulamamak: İki sayının çarpımı, en büyük ortak bölen ile en küçük ortak katın çarpımına eşittir. Hesaplarınızı bu bağıntıyla kontrol etmek, tek bir hatalı çarpanı hemen yakalar.
• Aralıkta uç noktaları dahil etmeyi unutmak: "5 ile 9 arasındaki tek sayılar" ifadesinde uç noktalar çoğu zaman dahil edilmez. Bu ayrım sonucu doğrudan değiştirir.
• Sıfırın tek sayı olduğunu sanmak: Sıfır 2'ye tam bölündüğü için çift sayıdır, tek sayı değildir.

Özet

Bölünebilme, bir sayının asal çarpanlarının başka bir sayının asal çarpanlarını içermesi meselesidir. 2, 3 ve 5 gibi asallar için rakam kuralları, bu tek ilkenin hızlı özetleridir: son basamak çift ise 2'ye, rakamlar toplamı 3'ün katıysa 3'e, son basamak 0 ya da 5 ise 5'e bölünür. Asal çarpanlara ayırma yapıldıktan sonra iki sayının ortak asal çarpanlarının en küçükleri EBOB'yi, en büyükleri EKOK'u verir. EBOB · EKOK = sayıların çarpımı bağıntısı, hesabı denetlemek için elde tutulan hızlı bir kontroldür.

Tek ve çift sayılarla ilgili sorularda aralığın uç noktalarını dahil edip etmemek, tek sayının çift sayıdan bir fazla olup olmadığını belirler. Aralığın alt ucu tek sayıysa ve adet çiftse, tek sayılar bir fazladır. Bu küçük gözlem, uzun listeleme yapmadan sonuca ulaşmanızı sağlar.

Kendini dene

Aşağıdaki soruları çözerek konunun dokuz bölümünü tekrar edin. Her sorunun yanında gerekçenizi de yazın; gerekçesiz verilen cevap sınavda işe yaramaz.

1. 72 sayısının asal çarpanlarına ayırınız ve kaç tane asal böleni olduğunu belirtiniz.
2. 120 ile 168 sayılarının en büyük ortak böleni ve en küçük ortak katını bulunuz. EBOB · EKOK bağıntısıyla doğrulayınız.
3. 36 ve 84 sayılarının en büyük ortak böleni kaçtır? Sonucunuzu asal çarpanlara ayırma yöntemiyle gösteriniz.
4. Üç basamaklı, rakamları toplamı 9 olan kaç tane doğal sayı vardır?
5. 25 ile 75 arasındaki 5'in katlarının toplamı kaçtır?
6. 1 ile 60 arasındaki tek sayıların toplamı ile çift sayıların toplamı arasındaki fark kaçtır?
7. Bir sayının asal böleni, tam böleni ve çarpanı arasındaki farkı açıklayınız ve her birine 24 sayısı için birer örnek veriniz.

Kontrol cevapları: 1) 72 = 2³ · 3². Bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 olmak üzere on ikidir; asal olanları 2 ve 3'tür, yani iki tane. 2) 120 = 2³ · 3 · 5 ve 168 = 2³ · 3 · 7. Ortak en küçükler 2³ · 3 = 24, ortak en büyükler 2³ · 3 · 5 · 7 = 840. Denetim: 24 · 840 = 20 160 ve 120 · 168 = 20 160. 3) 36 = 2² · 3² ve 84 = 2² · 3 · 7. Ortak en küçükler 2² · 3 = 12. 4) Rakamları toplamı 9 olan üç basamaklı sayılarda a + b + c = 9 ve a ≥ 1, b ≥ 0, c ≥ 0, her biri 9'dan küçüktür. a için 1'den 9'a kadar dokuz seçenek vardır ve a sabitlendiğinde b + c = 9 - a olan (10 - a) çözüm bulunur. 9 + 8 + 7 +... + 1 = 45 olduğundan cevap 45'tir. 5) 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70 ve 75 olmak üzere on bir sayı vardır. Bunların toplamı, ilk ve son terimin ortalaması olan 50'yi terim sayısı olan 11 ile çarpmakla bulunur: 50 · 11 = 550. 6) 1 ile 60 arasında 30 tek ve 30 çift sayı vardır. Tek sayıların toplamı 1 + 3 +... + 59 = 30² = 900, çift sayıların toplamı 2 + 4 +... + 60 = 30 · 31 = 930. Fark 930 - 900 = 30'dur. 7) Asal bölen, sayının bölenleri arasında asal olanıdır. 24 = 2³ · 3 olduğu için asal bölenleri yalnızca 2 ve 3'tür. Tam bölen, 24'ü tam olarak bölen her sayıdır: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ve 24 olmak üzere sekiz tanedir. Çarpan, 24 bir çarpımın sonucu olduğunda o çarpımda yer alan sayıdır: 24 = 1 · 24 = 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6 biçiminde yazılabilir, dolayısıyla çarpanlar da aynı sekiz sayıdır. Kavramlar farklıdır: bölen bölenme işleminde, çarpan çarpma işleminde yer alır. Bu yüzden bir sayının bölenleri ile çarpanları aynı kümeyi oluştururken, soruda hangi işlemin sorulduğuna dikkat etmek gerekir.