Rasyonel Sayılar

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Bu konunun çıkacak sonuçları şunlardır: rasyonel ve irrasyonel sayıları birbirinden ayırt edip doğru kümede gösterebilecek, rasyonel sayıları kesirli en sade hâle getirerek karşılaştırma yapabilecek, devirli ondalık gösterimleri kesre çevirebilecek, sıralama sorularında ortak paydaya veya ortak üsle dönüşme adımını uygulayabilecek ve rasyonel sayılarla yapılabilecek dört işlemi doğru sırayla gerçekleştirebileceksiniz.

Bu konu TYT Matematik testinde doğrudan "aşağıdakilerden hangisi rasyoneldir" biçiminde gelebilir, ama asıl puan ağırlığı sıralama sorularındadır. Sıralama sorularında seçenekler farklı biçimlerde yazılır: biri ondalık, biri kesir, biri kök, biri üslü ifade olabilir. Sınavda strateji, tüm seçenekleri tek bir biçime, çoğunlukla kesre ya da ondalığe dönüştürmektir.

Bir ikinci önemli nokta, işlem önceliğidir. Kesirlerde bölme işlemi çarpma ile aynı önceliğe sahiptir ve soldan sağa yapılır. Bu yüzden 3/4 · 2/5 ifadesi önce 3/4 · 2/5 olarak alınır, parantez kullanılmadıkça 3/4'ün yarısı anlamına gelmez. Sınavda bu ayrımı gözden kaçırmak, doğru aritmetiği yanlış yorumlamaya yol açar.

Ön bilgi: kesirler, sadeleştirme ve ondalık dönüşümü

Bu konuyu çözmek için bilinmesi gereken üç araç var. Birincisi pay ile paydanın aralarında asal olmasıdır. Bir kesrin payı ile paydası ortak bir böleni paylaşıyorsa kesir sadeleştirilebilir; sadeleştirilmiş hâli en sade biçimdir. İkincisi, ortak paydaya veya ortak tabana getirmektir. Farklı paydalı kesirleri karşılaştırırken paydaların en küçük ortak katına, farklı tabanlı üsleri karşılaştırırken tabanların en küçük ortak katına dönüşülür. Üçüncüsü, devirli ondalık gösterim kuralıdır: virgülden sonra kısmen tekrarlayan bir ondalığın değeri, tekrarlayan kısım çıkarılıp virgülden önceki kısımla arasına virgül konarak elde edilen iki sayının farkının, tekrarlayan uzunluğundaki 9 sayısına bölümüdür.

Bu üç araç arasındaki ilişki şöyle işe yarar. Sadeleştirme, paydadaki ortak çarpanları görünür kılar ve ortak paydaya getirmeyi kolaylaştırır. Ortak paydaya getirme, karşılaştırma sorularının tek çözüm yoludur. Devirli ondalık kuralı ise ondalık ile kesir arasındaki köprüdir ve "bu ondalık rasyonel midir" sorusuna doğrudan yanıt verir.

Günlük hayattan örnek

Günlük hayatta rasyonel sayılarla karşılaşma, ölçü birimlerinin dönüşümünde en açık biçimde olur. Yarım kilogram un almak istediğinizde kasanın terazisi 0,5 kilogramı gösterir. Bu değer 1/2 kilogramdir ve kesri en sade hâlidir, çünkü 1 ile 2 aralarında asaldır. Üçte bir litre süt ise terazide 0,333... olarak görünür; bu değer kesirli en sade hâlde 1/3'tür ve devirli ondalık gösterimiyle yazılmış olması onu değiştirmez.

Alışverişte de aynı durum yaşanır. 250 gram peynir ile 1 kilogram peynir almak arasındaki fiyat farkını karşılaştırmak için gram cinsine geçmeniz gerekir: 250 gram = 0,25 kilogram, 1 kilogram = 1000 gram. Bu dönüşüm rasyonel sayılarla yapılan bir çarpma işlemidir, çünkü 1 kilogram = 1000 gram = 1000 · 1 gram olduğundan 1000 ile çarparsınız.

Bir de sınav dışı ama günlük hayatta çok işinize yarayacak bir örnek: harita ölçeği. 1: 200 000 ölçekli bir haritada ölçülen 3,5 santimlik bir mesafe, gerçekte 3,5 · 200 000 = 700 000 santimetre, yani 7 kilometredir. Bu çarpma işlemi rasyonel sayı çarpımıdır ve 3,5 ondalığını 200 000 tam sayısıyla çarpmak, kesirli hâle çevirmeye gerek bırakmaz.

Öte yandan rasyonel olmayan sayılar da günlük hayatta karşımıza çıkar. Bir dairenin çevresi, yarıçapı rasyonel olsa bile 2πr nedeniyle rasyonel olmayan bir değere sahiptir. 5 santimetre yarıçaplı bir dairenin çevresi 2 · π · 5 = 10π ≈ 31,4 santimetredir ve bu tam olarak rasyonel bir sayı değildir. Bu farkı bilmek, "ölçülen her şey rasyoneldir" yanılgısından kurtarır.

Sınav odaklı örnekler

Aşağıdaki örnekler, sınavda bu konunun en sık karşınıza çıkan üç biçimini örnekler. Her birinde yalnız sonuca değil, sonuca götüren mantık zincirine de bakın.

Soru: 3/4, 0,71, 2/5 ve 1/3 sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralaması nasıldır?
Cevap: 1/3 < 2/5 < 0,71 < 3/4. Çözüm: Kesirleri ortak paydaya getiriyoruz: 1/3 için ortak payda 60 olur ve 20/60 yazılır; 2/5 için 24/60; 3/4 için 45/60. Ondalık olan 0,71'yi de kesre çevirirsek 71/100 elde ederiz, ancak karşılaştırma için ortak paydaya getirmek zorunda değildir, çünkü ondalık gösterim zaten 0,71'i doğrudan verir. Karşılaştırma sonucu 0,33 < 0,40 < 0,71 < 0,75 olur. Buradaki strateji, kesirleri ondalığa ya da ondalığı kesre çevirip tek tipte karşılaştırmaktır.

Soru: 0,333... sayısının rasyonel olup olmadığını gerekçesiyle belirtiniz.
Cevap: Rasyoneldir. Çözüm: Devirli ondalık kuralını uygularsak, virgülden sonra tekrarlayan kısım 3'tür. Virgülden önceki kısım boş olduğundan bu kural doğrudan uygulanmaz, ama bunun yerine 0,333... = 1/3 yazabiliriz; 1 ve 3 aralarında asaldır, dolayısıyla bu bir rasyonel sayıdır. Sınavda devirli ondalıkların her zaman rasyonel olduğunu bilmek, köklerle karşılaştırıldığında eleme yapmanızı sağlar.

Soru: 1/2 + 3/4 · 8/9 işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: 7/6. Çözüm: İşlem önceliğine göre çarpma önce yapılır: 3/4 · 8/9 = 24/36 = 2/3. Sonra toplama: 1/2 + 2/3 = 3/6 + 4/6 = 7/6 bulunur. Buradaki tuzak, 1/2 + 3/4 · 8/9 ifadesini (1/2 + 3/4) · 8/9 biçiminde okumaktır; parantez yoksa doğru olan çarpmanın önce yapılmasıdır. Ayrıca 7/6, 1'den büyüktür, sonucun böyle çıkması şaşırtıcı değildir.

Adım Adım Çözülmüş Örnek

Aşağıdaki örnekte üç farklı biçimde yazılmış sayıları tek bir ölçüte indirgiyerek sıralıyoruz. Bu, sınavdaki sıralama sorularının çoğunun çözüm yoludur.

Soru: Aşağıdaki sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayınız: √2, 1,41, 7/5, 0,1̇ (yani 0,111...)

1. Her sayının biçimini belirleyin. √2 bir köktür ve irrasyoneldir. 1,41 bir ondalıktır ve rasyoneldir. 7/5 bir kesirdir ve rasyoneldir. 0,111... bir devirli ondalıktır ve rasyoneldir.
2. Devirli ondalığı kesre çevirin. Devirli ondalık kuralına göre 0,111... = 1/9'dür. Bu, tam sayı bölüntüsünden gelir: 0,111... · 9 = 0,999... = 1 olduğundan değer 1/9'dur.
3. Kesri ondalığa çevirin. 7/5 = 1,4 yazılır. Bu, paydayı 10 veya 100 olan ondalığa dönüştürme kuralından gelir; payda 5, 10'un böleni olduğu için tek basamağa yeter.
4. Köklü sayıyı ondalığa yaklaştırın. √2 ≈ 1,4142 alınır. Tam değeri bulmaya gerek yoktur; sıralama için yedi basamağa kadar yeterlidir ve 1,41 ile 1,4142'nin sırası açıktır.
5. Karşılaştırın. Değerler sırasıyla 1/9 ≈ 0,111; 1,41; 1,4142; 1,4'dür. Sıralama 0,1̇ < 1,41 < √2 < 7/5 biçimindedir. Dikkat: 7/5 = 1,4 olduğu için √2'den küçüktür, ama 1,41'den büyüktür.

Cevap: 0,1̇ < 1,41 < √2 < 7/5.

Kavram Karşılaştırma Tablosu

Aşağıdaki tablo, rasyonel sayılarla ilgili sık karıştırılan kavramları ve onların ayırt edici özelliklerini yan yana koymaktadır. Doğru kavramı seçmek, sıralama adımının doğru kurulmasını sağlar.

Sınavda Yapılan Hatalar (Sık Yapılan Hatalar)

Aşağıdaki hatalar rasyonel sayılar başlıklarında en çok puan kaybettiren durumlardır. Her birinin neden yanlış olduğu ayrı bir gerekçeyle açıklanmıştır.

• Kesirli olan her sayıyı irrasyonel saymak: Kesirli yazılmış bir sayının payı ve paydası tam sayı olduğu için o sayı tanım gereği rasyoneldir. İrrasyonellik, yazım biçimiyle değil sayının değeriyle ilgilidir. √(1/4) kesirli yazılabilir ama 1/2'ye eşit olduğu için rasyoneldir.
• Kökleri hep irrasyonel saymak: √4 = 2, √9 = 3 ve √36 = 6 gibi tam değer veren kökler rasyoneldir. Kökün içindeki sayı bir tam sayıya tam bölünüyorsa kök rasyoneldir.
• Sonsuz ondalığı hep irrasyonel saymak: Tekrarlayan devirli ondalıkların hepsi rasyoneldir; tekrarsız devam edenler irrasyoneldir. Bu ayrım, "kaç basamak sonra tekrar edecek" sorusuna bakarak yapılır.
• Sadeleştirmeden ölçek karşılaştırmak: 2/4 ile 1/2'yi karşılaştırmak için önce en sade hâle getirmek, hem zaman kazandırır hem hata riskini azaltır. Sadeleştirilmiş hâlde aynı paydalar çıkarsa sayılar eşittir.
• Ortak paydayı gereğinden büyük seçmek: Paydaların en küçük ortak katı yeterlidir. Paydaların çarpımını almak da bir ortak paydadır ama sayıları gereksiz büyütür, işlem hatası riskini artırır ve bazen zaman kaybettirir.
• İşlem önceliğini atlama: Parantez yoksa çarpma ve bölme, toplama ve çıkarmadan önce yapılır. Bu kural atlandığında sonuç şaşırtıcı biçimde değişir ve doğru şık bulunamaz.
• Kesirde bölerken ters çevirmeyi unutmak: Bir kesri bir sayıya bölmek, o sayının tersini almakla aynıdır. 3/4 ÷ 2 işlemi 3/4 · 1/2 olarak yapılır; 3/4 · 2 olarak yapılırsa sonuç iki katına çıkar.
• Sıralamada yaklaşık değeri yeterince ince almak: Köklü ve ondalık sayıları sıralarken altı-on basamağa kadar almak yeterlidir. İki değer çok yakınsa daha fazla basamak gerekir; ancak sınavda genellikle iki basamak yeterli olur.

Özet

Rasyonel sayılar, iki tam sayının bölümü olarak yazılabilen sayılardır; yazım biçimi değil sayının değeri belirleyicidir. Kesirli yazılan her sayı rasyoneldir, ama tekrarsız devam eden ondalıklar ve tam değer vermeyen kökler irrasyoneldir. Sıralama sorularının güvenilir yolu, tüm seçenekleri tek bir biçime indirgemektir: kesirleri en sade hâle getirip ortak paydaya çıkarmak, ondalıkları doğrudan karşılaştırmak, kökleri gerektiğinde ondalığa yaklaştırmak.

İşlem önceliğini ve kesirde bölmeyi doğru uygulamak, sıralamanın kendisinden daha sık puan kaybettiren bir konudur. Bu iki kuralı otomatik hâle getirdiğinizde, sıralama soruları yalnızca bir aritmetik işe dönüşür ve hata riski belirgin biçimde azalır.

Kendini dene

Aşağıdaki soruları çözerek konunun dokuz bölümünü tekrar edin. Her sorunun yanında gerekçenizi de yazın; gerekçesiz verilen cevap sınavda işe yaramaz.

1. Aşağıdaki sayıların hangileri rasyoneldir, gerekçenizi yazınız: √49, 1,4142..., 2/7, 0,1010010001..., √2.
2. 6/8, 3/4 ve 12/16 kesirlerini en sade hâline getiriniz. Bu üç sayının ortak paydayla karşılaştırıldığında nasıl sıralanır?
3. 0,1666... sayısını kesre çeviriniz ve sadeleştiriniz.
4. Aşağıdaki sayıları küçükten büyüğe sıralayınız: 5/6, 0,85, 17/20, 0,8̅ (yani 0,8888...).
5. 2/3 · 9/4 + 1/2 işleminin sonucunu bulunuz.
6. Bir kesrin payı ile paydasının toplamı 19, çarpımı 70 ise pay ve payda kaçtır?
7. √(0,49) ve √(0,50) sayılarını karşılaştırınız. Hangisi rasyoneldir, gerekçesiyle birlikte açıklayınız.

Kontrol cevapları: 1) √49 = 7 rasyoneldir. 1,4142... ondalığı iki noktadan sonra sürekli tekrarlayan bir rakam grubu oluşturduğu için devirli, dolayısıyla rasyoneldir. 2/7 rasyoneldir. 0,1010010001... rakamları arasındaki boşluklar giderek büyüyen biçimde arttığı için tekrarsızdır ve irrasyoneldir. √2 tam değer vermediği için irrasyoneldir. 2) Üçü de 3/4'e eşittir, dolayısıyla sıralama 3/4 < 3/4 = 3/4 biçimindedir. Ortak payda 4 yeterlidir. 3) Devirli ondalık kuralına göre virgülden sonraki tekrarlayan kısım 6'dır: 0,1666... = (1,6 - 0,1) / 9 = 1,5 / 9 = 15/90 = 1/6'dır. 4) 5/6 = 0,8333..., 17/20 = 0,85, 0,85 doğrudan verilmiş, 0,8̅ = 8/9 ≈ 0,8889'dur. Sıralama 5/6 < 17/20 < 0,85 < 0,8̅ biçimindedir; 17/20 ile 0,85 aynı değerdir. 5) 2/3 · 9/4 = 18/12 = 3/2, sonra 3/2 + 1/2 = 4/2 = 2 bulunur. 6) Pay ve paydanın toplamı 19, çarpımı 70 olmalıdır. 5 ve 14 sayılarının toplamı 5 + 14 = 19, çarpımı 5 · 14 = 70'tir. Bu nedenle pay 5, payda 14 olabilir ya da pay 14, payda 5 olabilir. Kesrin payının paydasından küçük olması şartı varsa cevap 5/14'tür; aksi hâlde 14/5 de aynı denklemleri sağlar. 7) √(0,49) = 0,7 rasyoneldir, çünkü 0,7 ondalık bir sayıdır. √(0,50) irrasyoneldir, çünkü 0,50 = 1/2 yazıldığında kökü √2/2 olur ve √2 irrasyoneldir. Bu nedenle √(0,49) < √(0,50) ve ilki rasyoneldir.