Bölünebilme Kuralları ve Asal Çarpanlar

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Bu derste Bölünebilme Kuralları ve Asal Çarpanlar başlığını ele alacağız. Önce kavramın kuralını yazacağız, sonra o kuralın sayı üzerinde nasıl işlediğini adım adım göstereceğiz.

Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:

• Kazanım 1: Bölünebilme kurallarını uygular.
• Kazanım 2: Asal sayıları tanır ve ayırt eder.
• Kazanım 3: Bir doğal sayıyı asal çarpanlarına ayırır.
• Kazanım 4: Bir sayının çarpan sayısını bulur.

Ön bilgi: bundan önce gördüğümüz

Bu konuyla dersin temelini atıyoruz. Önce gelen bir kavram olmadığı için tanımlardan yola çıkacağız; burada oturan temel, sonraki konuların da temeli olacak.

Bölünebilme Kuralları

Bir sayının başka bir sayıya kalansız bölünüp bölünmediğini kısa yoldan gösteren kurallardır.

• 2 ile: Son rakamı çift ise bölünür.
• 3 ile: Rakamları toplamı 3'ün katı ise bölünür.
• 4 ile: Son iki basamağı 4'ün katı ya da 00 ise bölünür.
• 5 ile: Son rakamı 0 veya 5 ise bölünür.
• 6 ile: Hem 2 hem 3 ile bölünüyorsa bölünür.
• 9 ile: Rakamları toplamı 9'un katı ise bölünür.
• 10 ile: Son rakamı 0 ise bölünür.

Asal Sayılar

Yalnızca 1'e ve kendisine bölünen, 1'den büyük doğal sayılara asal sayı denir. En küçük asal sayı 2'dir ve 2 tek çift asal sayıdır.

Asal Çarpanlara Ayırma

Bir sayıyı yalnızca asal sayıların çarpımı biçiminde yazmaya asal çarpanlarına ayırma denir. Asal çarpan ağacı veya ardışık bölme kullanılır. Bir sayının çarpan sayısı, asal çarpanların üsleri birer artırılıp çarpılarak bulunur.

Bölünebilme Kuralları

Bir sayının başka bir sayıya tam bölünüp bölünmediğini anlamak için bölünebilme kuralları kullanılır. 2 ile: son rakam çift olmalı. 3 ile: rakamlar toplamı 3'ün katı olmalı. 4 ile: son iki basamak 4'ün katı olmalı. 5 ile: son rakam 0 veya 5. 6 ile: hem 2 hem 3 ile bölünmeli. 9 ile: rakamlar toplamı 9'un katı. 10 ile: son rakam 0 olmalı. Bu kurallar, büyük sayılarla işlem yaparken zaman kazandırır.

Asal Sayılar ve Çarpanlara Ayırma

1'den büyük, yalnız 1'e ve kendisine bölünebilen sayılara asal sayı denir: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19… Not: 2 tek çift asal sayıdır; 1 asal sayı değildir. Bir sayı, asal sayıların çarpımı olarak yazılabilir: 360 = 2³ × 3² × 5. Bu yönteme asal çarpanlara ayırma denir ve bölen sayısı, üslülerin üstlerine 1 eklenip çarpılmasıyla bulunur: (3+1)(2+1)(1+1) = 24 bölen.

En Büyük Ortak Bölün ve En Küçük Ortak Kat

EBOB, ortak asal çarpanların en küçük üsleriyle çarpımıdır: EBOB(24, 36) = 2² × 3 = 12. EKOK, tüm asal çarpanların en büyük üsleriyle çarpımıdır: EKOK(24, 36) = 2³ × 3² = 72. Pratik ipucu: EBOB × EKOK = Sayı1 × Sayı2 denklemi kontrol için kullanılır. EBOB, gruplandırma ve en büyük parça; EKOK, tekrar eden dönemler ve en küçük ortak payda sorularında aranır.

Sınav Odaklı Özet

Sınavda üç beceri beklenir: kural uygulama, asal çarpanlara ayırma, EBOB-EKOK seçimi. Kuralları ezberlemek yerine örnek sayıyla test et: 474 rakamlar toplamı 15 → 3'e bölünür, çift → 2'ye de bölünür, yani 6'ya bölünür.

Uygulama Senaryosu: Üç Basamaklı Sayıda Bölünebilme

456 sayısının dörtle bölümünde son iki basamak 56 olduğundan 56 ÷ 4 = 14 geldiği için sayı dörde bölünür. Son iki basamağa bakma kuralı işlemi zihinden yapmayı mümkün kılar; ara toplamlar yerine tek bir küçük bölme yeterlidir.

Sık karşılaşılan hata, dört ve sekiz için tüm sayıyı bölmeye çalışmaktır. Kural, iki için son bir, dört için son iki, sekiz için son üç basamağa bakmaktır.

Karşılaştırma: Bölünebilme Kuralları

Asal çarpanlara ayırma bu kuralların en temel hâlidir: altmış sayısı iki kere üç ve beş çarpımıyla yazılır.

Uygulama: Asal Çarpanlara Ayırma

Bir doğal sayıyı asal çarpanlarına ayırırken en küçük asal sayıdan başlayarak bölmeyi sürdürürüz. Kalan bir olana kadar devam ederiz; elde kalan son bölüm de asal olduğunda işlem tamamlanır.

Bölünebilme kuralları bu işlemi hızlandırır. Son iki basamağı 4'e bölünebilen sayı 4'e, son üç basamağı 8'e bölünebilen sayı 8'e bölünür; rakamları toplamı 3'ün katı olan sayı 3'e bölünür.

Karşılaştırma: 4 ve 9 Kuralı

4 kuralında yalnızca son iki basamağa bakılır; 9 kuralında ise bütün rakamlar toplanır. Bu ikisini karıştırmak, bölünebilme sorularında en sık yapılan hatadır.

Sık yapılan hata: 9 veya 6 için tek basamağa bakmak. 6'nın kuralı, hem 2 hem 3'e bölünebilme şartının birlikte sağlanmasına dayanır; tek başına tek basamak yeterli değildir.

Günlük hayattan bir uygulama

Bu derste öğrendiklerimizi günlük hayatta görmek, konuyu kalıcı hale getirir. Aşağıdaki görevde Bölünebilme Kuralları ve Asal Çarpanlar bilgisi bir işin içinde kullanılıyor; çözümü kendiniz yazmayı deneyin.

Uygulama sorusu: 360 sayısını asal çarpanlarına ayırınız, bu sayının kaç tane pozitif çarpanı olduğunu hesaplayarak adım adım gösteriniz.

Bu görev için 15 puan dağıtılmıştır; puanlama anahtarı, cevabın hangi adımlarla gösterilmesi gerektiğini ayrıntılı biçimde söyler. Puanlamada işlem sırasının ve sonuç cümlenin ayrı ayrı sayıldığına dikkat et.

Bu konuyu çalışırken işinize yarayacak notlar

• Bölünebilme sorularında önce son rakama, sonra rakamlar toplamına bak.
• Asal çarpanlara ayırırken en küçük asal sayıdan başla.
• Çarpan sayısını bulurken üsleri birer artırıp çarp.
• 3 ve 9 kuralında rakamları topla, sonra böl.
• EBOB-EKOK sorusunda önce soru köküne bak: grup mu dönem mi?
• Asal ayırma sırasında en küçük asaldan başla.

Çözülmüş örnek adımları

İki örnek üzerinde çalışacağız. İlk örnek kuralın temel kullanımını, ikinci örnek ise kuralın zorlayıcı bir durumunu gösterir. Adımları kendin yazmayı dene; ikinci adımda nerede durduğunu görmek, sınavda zaman kazanır.

Örnek 1: Bölünebilme

Soru: 456 sayısı 3 ile bölünür mü?

1. Rakamlar toplamı: 4 + 5 + 6 = 15
2. 15, 3'ün katıdır.
3. Sonuç birim ve mertebe kontrolüyle doğrulanır, gerekirse işlem tekrar edilir.

Cevap: Evet, 456 sayısı 3 ile bölünür.

Bu örnekte adım sayısını not edin: kural her zaman aynı sayıda işlemle değil, kazanılması gereken bilgiye göre çözülür.

Örnek 2: Asal Çarpanlara Ayırma

Soru: 60 sayısını asal çarpanlarına ayırınız.

1. 60 = 2 × 30 = 2 × 2 × 15
2. 15 = 3 × 5
3. 60 = 2² × 3 × 5

Cevap: 60 = 2² · 3 · 5

Kavram, anlam ve sık karıştırılan karşılık

Bu derste geçen terimler birbirine yakın durur ve sınavda karıştırılır. Aşağıdaki tabloda her terimin anlamı ve sık karıştırılan karşılığı yan yana verilmiştir.

Konudaki kural ve ölçü özeti

Konudaki kural ve ölçüleri tek tabloda topladık. Bu tablo, tekrar anlarında ilk bakılacak yerdir.

Sık karşılaşılan yanlışlar

Hata yapmamak için önce hatanın nereden geldiğini bilmek gerekir. Aşağıdaki listede her hata için yanlış giden yol ve doğru yol birlikte verilmiştir.

• 1'i asal sayı saymak: 1'in yalnızca bir çarpanı vardır, asal değildir.
• 3 ile 9 kuralını karıştırmak: 9 için rakamlar toplamı 9'un katı olmalıdır.
• Asal çarpan ağacında tüm uçları çarpmamak: Çarpım bütün asal uçları içerir.
• 1'i asal saymak: Asal değildir.
• EBOB ile EKOK'u ters kullanmak: Biri bölen, diğeri kat içindir.
• 4 kuralında yalnız son rakama bakmak: Son iki basamağa bakılır.

Kısaca özet

Kısaca: Bölünebilme kuralları kalansız bölünmeyi kısa yoldan bulmamızı sağlar. Asal sayılar yalnızca 1 ve kendisine bölünür; en küçük asal 2'dir. Asal çarpanlara ayırma, çarpan ve kat problemlerinin temelidir.

Anlatımı bir cümlede özetleyeceksek, şunu söyleyebiliriz:

• 1 asal sayı değildir.
• Bir sayının asal çarpanları, tüm asal uç çarpanların çarpımıdır.
• Çarpan sayısı = (üs1+1)·(üs2+1)·... biçiminde hesaplanır.
• 2 tek çift asal sayıdır; 1 asal değildir.
• EBOB ortak çarpanın en küçük, EKOK en büyük üsleriyle çarpımıdır.
• EBOB × EKOK = iki sayının çarpımı kontrolü işe yarar.

Kendin dene: üç soru

Bu üç soru konunun özetidir. Çözmeden önce her biri için hangi kuralı kullanıyorum diye düşün; cevap anahtarı sonda verilmiştir.

1. Rakamları toplamı 15 olan üç basamaklı bir sayı aşağıdakilerden hangisine kesinlikle bölünür? (Şıklar: 2 · 3 · 5 · 10)
2. 180 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimi hangisidir? (Şıklar: 2² · 3² · 5 · 2 · 3² · 5 · 2² · 3 · 5 · 2³ · 3 · 5)
3. Aşağıdaki sayılardan hangisi asal sayıdır? (8. sınıf)? (Şıklar: 21 · 27 · 29 · 33)

Cevap anahtarı: 1) 3 — 3'e bölünebilme kuralına göre rakamları toplamı 3'ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür. 15, 3'ün katı olduğundan bu şart sağlanır. Doğru cevap 3'tür.

2) 2² · 3² · 5 — 180 sayısında 2 çarpanı 2 kez, 3 çarpanı 2 kez, 5 çarpanı ise 1 kez bulunur. Sonuç 2² · 3² · 5'tir.

3) 29 — 29 sayısının asal bölenleri yalnızca 1 ve 29'dur; 21, 27 ve 33 sayıları ise 3'e bölündüğü için bileşiktir. Doğru cevap 29'dur.

Yakın konular

Konunun yerine oturması için komşu başlıkları da bilmek gerekir. Şunlarla birlikte çalışmak konuyu pekiştirir:

• EBOB, EKOK ve Aralarında Asal Sayılar — aynı ünitede, bir sonraki adım.
• Gerçek Sayılar: İrrasyonel Sayılar ve Sayı Kümeleri — aynı ünitede, bir sonraki adım.
• Doğal Sayılar ve İşlemler — aynı ünitede, bir sonraki adım.
• Üslü İfadeler — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.

Bu anlatım hakkında

Bölünebilme Kuralları ve Asal Çarpanlar başlığındaki her sayısal iddia elle doğrulanabilir biçimde yazıldı: soruda verilen değer, uygulanan kural ve bulunan sonuç yan yana durur. Metin özgün yazılmıştır, başka bir kaynaktan alıntı yapılmamıştır.

Ayrıca derste şu açık uçlu görevler yer alıyor; her biri puanlıdır ve kendi cevabını yazmanı ister:

• 360 sayısını asal çarpanlarına ayırınız, bu sayının kaç tane pozitif çarpanı olduğunu hesaplayarak adım adım gösteriniz. (15 puan)
• Bir sayının 4 ile bölümünden kalanı 2, 5 ile bölümünden kalanı da 2 ise bu sayı en az kaçtır? Bulma adımlarınızı yazınız. (10 puan)
• İki farklı doğal sayı seçip her birini asal çarpanlarına ayırınız, iki sayının EBOB ve EKOK değerlerini hesaplayınız ve bulduğunuz EBOB · EKOK sonucunun sayıların çarpımına eşit olduğunu göstererek a… (25 puan)
• Bir fabrikanın ürettiği mallara 3, 5 ve 8 ile bölünebilen seri numaralar koyduğunu düşünün. Bu numaraların hangi özelliklere sahip olması gerektiğini açıklayınız? (10 puan)

Karşılaştırma Tablosu