Doğal Sayılar ve İşlemler

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Bu derste Doğal Sayılar ve İşlemler konusunu önce kuralıyla, sonra sayı üstünde uygulamasıyla göreceğiz. Her adımda "neden böyle yapıyoruz" sorusunu cevaplamak asıl hedeftir; kuralı ezberleyip bırakmak işe yaramaz.

Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:

• Kazanım 1: Doğal, tam, rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerini tanıyıp örnek verebilecek.
• Kazanım 2: Dört işlemi işlem önceliğine göre doğru sırayla hesaplayabilecek.
• Kazanım 3: Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırarak çarpan sayısını belirleyebilecek.
• Kazanım 4: Karesel sayı ve küp kavramlarını kullanarak sonuç bulabilecek.
• Kazanım 5: Büyük ve küçük sayıları bilimsel gösterimle ifade edebilecek.
• Kazanım 6: Doğal sayılarla ilgili günlük hayat problemlerini çözebilecek.

Ön bilgi: bundan önce gördüğümüz

Bu konu, Gerçek Sayılar: İrrasyonel Sayılar ve Sayı Kümeleri başlığında öğrendiklerimizin üzerine kurulur. Önceki konudaki kavram burada yeniden kullanılıyor; bu yüzden o adımı atlamamak önemlidir.

• Gerçek Sayılar: İrrasyonel Sayılar ve Sayı Kümeleri — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.
• EBOB, EKOK ve Aralarında Asal Sayılar — bağlantı: bu derste yeniden karşımıza çıkacak konu.

Doğal Sayılar ve Sayı Kümeleri

Doğal sayılar, bir nesneyi saymaya başladığımızda karşımıza çıkan sayılardır. Sıfırdan başlayarak birer birer artan dizi 0, 1, 2, 3, 4,... biçiminde yazılır. Bu sayıların tümünden oluşan kümeye doğal sayılar kümesi denir ve N ile gösterilir.

Bir doğal sayının soluna birlikte yazılamayan (yani o sayının adının yazılamadığı) sayılar eklenirse tam sayılar kümesi elde edilir: ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,.... Kesirli biçimde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar, kesirli olmayıp ondalık açılımı sonsuz ve tekrarsız devam eden sayılara ise irrasyonel sayılar denir.

İşlem Önceliği

Birden fazla işlem içeren bir ifadede önce parantez içi, sonra çarpma ve bölme, en son toplama ve çıkarma hesaplanır. Aynı öncelikteki işlemler soldan sağa doğru yapılır. Bu sırayı karıştırmak, soruların çoğunda yanlış sonuca yol açar.

• 3 · (4 + 2) ifadesinde önce parantez çözülür: 4 + 2 = 6, sonra 3 · 6 = 18 elde edilir.
• 3 · 4 + 6 ifadesinde çarpma önce yapılır: 3 · 4 = 12, ardından 12 + 6 = 18 bulunur.
• 48: 6 · 2 ifadesinde bölme ve çarpma aynı önceliktedir, soldan sağa gidilir: 48: 6 = 8, sonra 8 · 2 = 16 olur.

Karesel Sayılar, Küpler ve Çarpanlara Ayırma

Bir doğal sayının kendisiyle çarpımına karesel sayı, üç kez kendisiyle çarpımına küp denir. Bir sayıyı çarpanlarına ayırmak onu çarpım hâline getirmek demektir. Bu çarpımda yalnızca asal sayılar kullanılır ve tekrarlanan asal çarpanlar ayrı ayrı yazılır.

• 36 = 2 · 2 · 3 · 3 biçiminde yazılır; burada asal çarpan sayısı 4'tür.
• 64 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 biçiminde yazılır; asal çarpan sayısı 6'dır.
• 1 ve sayının kendisi dışında böleni bulunmayan sayılara asal sayı denir.

Bilimsel Gösterim

Çok büyük ve çok küçük sayılar bilimsel gösterimle yazılır. Bu gösterimde sayı, 1 ile 10 arasında bir katsayı ve 10'un bir tam kuvveti biçiminde iki parçaya ayrılır. Örneğin 45000 sayısı 4,5 · 10⁴ biçiminde, 0,0007 sayısı ise 7 · 10⁻⁴ biçiminde yazılır.

Problem Çözme ve Orantılı İlişkiler

Doğal sayılarla ilgili problemlerde çoğu zaman iki değer arasındaki sabit çarpan aranır. Bir miktarın kaç katı soruluyorsa çarpma, kaçta kaç soruluyorsa bölme kullanılır. Artan ardışık sayılarda toplam, ortalama ile terim sayısının çarpımı olarak kısa yoldan bulunabilir.

Bir bağıntıda değişmeyen başlangıç değerine y sabiti, değişen değere x denir. Örneğin bir taksi için sabit açılış ücreti ve kilometre başına alınan ücret bulunduğunda ödeme ile gidilen yol arasında doğrusal bir ilişki oluşur. Çözümün son adımında sonucun makul olup olmadığını kontrol etmek de alışkanlık hâline getirilmelidir.

Özet — Doğal sayılar sıfırdan başlayarak birer artan sayılardır. İşlemlerde parantez, çarpma ve bölme, toplama ve çıkarma sırasına uyulur. Bir sayıyı çarpanlarına ayırmak, onu asal çarpanlarının çarpımı hâline getirmektir. Bir doğal sayının kendisiyle çarpımı karesel, üç kez çarpımı küpüdür. Çok büyük ve çok küçük sayılar bilimsel gösterimle yazılır.

Sık Yapılan Hatalar — Parantez olmadığı hâlde çarpma ile toplamayı soldan sağa yapmak en sık hatadır. Ayrıca bir sayının karesini bulmak için sayıyı ikiyle çarpmak, küpünü bulmak için üçle çarpmak yanlıştır. Asal çarpan sayısını bulurken farklı çarpanları birleştirmek de yanlıştır; her çarpan kendi tekrar sayısıyla sayılır.

Günlük hayattan bir uygulama

Konuyu pekiştirmek için günlük hayattan bir uygulamaya bakmak gerekir. Aşağıdaki görev, Doğal Sayılar ve İşlemler bilgisini gerçek bir işin içinde kullandırmak için hazırlandı; çözerken hangi adımı nerede kullandığımızı not etmek faydalıdır.

Uygulama sorusu: En az beş adet üç basamaklı doğal sayı seçiniz, her birini asal çarpanlarına ayırınız ve asal çarpanlarının toplamı en büyük olan sayıyı gerekçesiyle belirtiniz.

Bu görev için 20 puan dağıtılmıştır; puanlama anahtarı, cevabın hangi adımlarla gösterilmesi gerektiğini ayrıntılı biçimde söyler. Puanlamada işlem sırasının ve sonuç cümlenin ayrı ayrı sayıldığına dikkat et.

Dersi tekrar ederken bakacağınız notlar

• Parantez gördüğünde önce parantezi çöz; parantez yoksa çarpma ve bölmeyi toplama ve çıkarmadan önce yap.
• Karesel sayı ararken karekökü yaklaşık olarak tahmin et, sonra tekrar çarparak doğrula.
• Asal çarpanlara ayırırken her adımda sayının 2'den büyük bir asal böleni olup olmadığını kontrol et.
• Artan ardışık sayılarda terim sayısını hemen yaz; bu tek adım birçok soruyu hızlandırır.
• Büyük sayıları yazarken basamak sayısını denetle; dört basamaklı sayı 1000 ile 9999 arasındadır.

Adım adım çözülmüş örnekler

İki örnek üzerinde çalışacağız. İlk örnek kuralın temel kullanımını, ikinci örnek ise kuralın zorlayıcı bir durumunu gösterir. Adımları kendin yazmayı dene; ikinci adımda nerede durduğunu görmek, sınavda zaman kazanır.

Örnek 1: İşlem Önceliği

Soru: 3 · (12 − 4) + 2 · 5 ifadesinin sonucunu bulunuz.

1. Adım 1: Parantez içi hesaplanır: 12 − 4 = 8.
2. Adım 2: Çarpma işlemleri yapılır: 3 · 8 = 24 ve 2 · 5 = 10.
3. Adım 3: Son toplama yapılır: 24 + 10 = 34.

Cevap: 34

Bu örnekte adım sayısını not edin: kural her zaman aynı sayıda işlemle değil, kazanılması gereken bilgiye göre çözülür.

Örnek 2: Çarpanlara Ayırma

Soru: 180 sayısını asal çarpanlarına ayırıp asal çarpan sayısını bulunuz.

1. Adım 1: 180 sayısı 2'ye tam bölünür, 90 bulunur.
2. Adım 2: 90 sayısı 2'ye bölünür, 45 elde edilir.
3. Adım 3: 45 sayısı 2'ye bölünemez; 3'e bölünür, 15 elde edilir; 15 yine 3'e bölünür ve 5 kalır.
4. Adım 4: Çarpanlar çarpılır: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 180; toplam 5 asal çarpan yazılır (farklı asal çarpan 3 tanedir: 2, 3 ve 5).

Cevap: 180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 ve asal çarpan sayısı 5 (farklı asal çarpan 3)

Kavram karşılaştırma tablosu

Bu derste geçen terimler birbirine yakın durur ve sınavda karıştırılır. Aşağıdaki tabloda her terimin anlamı ve sık karıştırılan karşılığı yan yana verilmiştir.

Kural, formül ve ölçü tablosu

Aşağıdaki tablo bu konudaki kuralları tek bakışta toplar. Karar verirken önce bu tabloya bakmak, kuralı hatırlamakta işe yarar.

Sık Yapılan Hatalar

Hata yapmamak için önce hatanın nereden geldiğini bilmek gerekir. Aşağıdaki listede her hata için yanlış giden yol ve doğru yol birlikte verilmiştir.

• İşlem önceliğini atlama: Parantez yoksa çarpma ve bölme toplama ve çıkarmadan önce yapılır; soldan sağa sırayla gitmek yanlış sonuç verir.
• Kare ile karekökü karıştırma: Bir sayının karesi iki kez kendisiyle çarpımıdır; karekökü ise ters işlemdir ve sonuç yine doğal sayı olmalıdır.
• Asal çarpanları birleştirmek: Tekrarlanan asal çarpanlar tek bir çarpan gibi yazılamaz, her tekrar ayrı bir çarpan olarak sayılır.
• Terim sayısını atlama: Artan ardışık sayılarda hem ilk hem son terim sayıya dâhildir; bu yüzden terim sayısı bir fazladır.
• Bilimsel gösterimde katsayıyı seçememe: Katsayı her zaman 1'den büyük ve 10'dan küçük olacak biçimde seçilir, 10'un kuvveti buna göre ayarlanır.

Kısaca özet

Kısaca: Doğal sayılar 0'dan başlayarak birer artan sayılardır ve doğal sayılar kümesi N ile gösterilir. Doğal sayılarla işlem yaparken önce parantez içi, sonra çarpma ve bölme, en son toplama ve çıkarma sırasına uyulur. Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak, onu asal çarpanlarının çarpımı hâline getirmek demektir; tekrarlanan asal çarpanlar ayrı ayrı sayılır. Bir doğal sayının kendisiyle çarpımı karesel sayı, üç kez çarpımı ise küptür. Çok büyük ve çok küçük sayılar katsayısı 1 ile 10 arasında olan bilimsel gösterimle yazı…

Derste gördüğümüz ana fikirler şunlar:

• Doğal sayılar kümesi sıfırı içerir ve birim adımlarla ilerler.
• İşlem önceliği sırası parantez, çarpma, bölme, toplama, çıkarma şeklindedir.
• Bölme çarpmanın ters işlemi olduğundan, bir sayının bölenlerini araştırırken çarpanlardan yararlanılır.
• Karesel sayının karekökü her zaman bir doğal sayıdır.
• Asal çarpan sayısı, çarpanların tekrar sayılarıyla toplamıdır.
• Bilimsel gösterimde katsayı 1 ile 10 arasında, 10'un kuvveti ise tam sayıdır.
• Artan ardışık sayıların toplamında terim sayısını doğru bulmak sonucu belirler.
• Doğal sayılarla ilgili problemlerde sonucun makul olup olmadığı kontrol edilmelidir.

Kendin dene: üç soru

Bu üç soru konunun özetidir. Çözmeden önce her biri için hangi kuralı kullanıyorum diye düşün; cevap anahtarı sonda verilmiştir.

1. 1'den 100'e kadar olan doğal sayıların toplamı kaçtır? (Şıklar: 4950 · 5050 · 4951 · 5051)
2. Aşağıdaki sayılardan hangisinin asal çarpanlarının toplamı, sayının kendisine eşittir? (Şıklar: 8 · 9 · 12 · 4)
3. 0, 1, 2, 3, 4,... biçiminde ilerleyen sayıların oluşturduğu küme aşağıdakilerden hangisidir? (Şıklar: Doğal sayılar kümesi · Tam sayılar kümesi · Rasyonel sayılar kümesi · İrrasyonel sayılar kümesi)

Cevap anahtarı: 1) 5050 — Toplam, terim sayısı ile ilk ve son terimin toplamının çarpımının yarısıdır. Terim sayısı 100, ilk ve son terimin toplamı 1 + 100 = 101 olduğundan 101 · 50 = 5050 bulunur.

2) 4 — 4 sayısı 2 · 2 biçiminde çarpanlarına ayrılır ve asal çarpanlarının toplamı 2 + 2 = 4 olur.

3) Doğal sayılar kümesi — Sıfırdan başlayıp birer artan bu sayılar doğal sayılardır ve doğal sayılar kümesi N ile gösterilir.

İlgili konular

Bu konuyu öğrenmek şu başlıkları da kolaylaştırır. Aynı üniteden ve sonraki üniteden ikişer konu seçtik:

• Üslü İfadeler — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.
• Kareköklü İfadeler — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.
• Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.
• Doğrusal Denklemler ve Eşitsizlikler — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.

Bu anlatım hakkında

Doğal Sayılar ve İşlemler başlığındaki her sayısal iddia elle doğrulanabilir biçimde yazıldı: soruda verilen değer, uygulanan kural ve bulunan sonuç yan yana durur. Metin özgün yazılmıştır, başka bir kaynaktan alıntı yapılmamıştır.

Ayrıca derste şu açık uçlu görevler yer alıyor; her biri puanlıdır ve kendi cevabını yazmanı ister:

• En az beş adet üç basamaklı doğal sayı seçiniz, her birini asal çarpanlarına ayırınız ve asal çarpanlarının toplamı en büyük olan sayıyı gerekçesiyle belirtiniz. (20 puan)
• Günlük hayattan dört basamaklı iki doğal sayı örneği toplayınız, bu sayıları bilimsel gösterimle yazınız ve 10'un kuvvetleri açısından karşılaştırınız. (15 puan)
• Bir sınıftaki öğrencilerin okudukları kitap sayılarını bir tablo hâlinde yazınız, her değerin asal çarpanlarını bulunuz ve tekrar eden çarpanların toplamını karşılaştırınız. (20 puan)

İleri Örnek

Daha ileri bir uygulama:

Soru: 43 kitap, öğrencilere 6'şar adet dağıtılırsa kaç kitap artar?

1. Adım 1: 43 sayısı 6'ya bölünür ve bölüm 7 bulunur.
2. Adım 2: Dağıtılan kitap sayısı hesaplanır: 7 · 6 = 42.
3. Adım 3: Artan kitap sayısı bulunur: 43 − 42 = 1.

Sonuç/cevap: 1 kitap artar