Gerçek Sayılar: İrrasyonel Sayılar ve Sayı Kümeleri

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Gerçek Sayılar: İrrasyonel Sayılar ve Sayı Kümeleri konusunu bu derste üç kademede kuracağız: kavramın tanımı, günlük hayattan bir örnek ve ardından sayısal uygulama. Bir kez yapılan işlemi unutmak kolaydır; kuralın nereden geldiğini bilmek zor değildir.

Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:

• Kazanım 1: Doğal sayılar, tam sayılı sayılar ve kesirli sayıları örneklerle açıklar.
• Kazanım 2: Rasyonel sayıları ondalık gösterimle ilişkilendirir.
• Kazanım 3: İrrasyonel sayıları tanıyıp rasyonel sayılardan ayırt eder.
• Kazanım 4: Sayı kümelerinin arasındaki ilişkiyi sayı doğrusunda gösterir.
• Kazanım 5: Gerçek sayılarla ilgili problemleri çözümleyir.

Ön bilgi: bundan önce gördüğümüz

Bu konuya geçmeden önce EBOB, EKOK ve Aralarında Asal Sayılar konusunu bilmemiz gerekiyor. EBOB, EKOK ve Aralarında Asal Sayılar içindeki kavramlar bu derste doğrudan kullanılacak; aradaki bağı kurmadan sayısal işleme geçmek en sık yapılan hatadır.

• EBOB, EKOK ve Aralarında Asal Sayılar — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.
• Bölünebilme Kuralları ve Asal Çarpanlar — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.

Sayı Kümeleri

Doğal sayılar (0, 1, 2, 3...) sayma ve nesne saymak için kullanılır. Bunların negatifleriyle birlikte ele alınması tam sayılı sayıları oluşturur. İki tam sayının oranı biçiminde yazılabilen sayılara rasyonel sayı, rasyonel olarak yazılamayan sayılara ise irrasyonel sayı denir. Doğal sayılar, tam sayılı sayılar, rasyonel sayılar ve irrasyonel sayılar birlikte gerçek sayılar kümesini oluşturur.

Rasyonel Sayılar

Bir sayı a/b biçiminde yazılabilir ve payda sıfırdan farklıysa bu sayı rasyoneldir. Örneğin 2/5, -3, 0,75 sayıları rasyoneldir. Ondalık gösterimi sonlu olan (0,25) ya da devirli olan (0,333...) her sayı rasyoneldir; çünkü ondalık kesre çevrilebilir. 0,333... sayısının 1/3 eşiti olması bunun en bilinen örneğidir.

İrrasyonel Sayılar

Rasyonel olarak yazılamayan sayılara irrasyonel sayı denir. Tam kare bir sayının karekökü rasyoneldir (örneğin √9 = 3), tam kare olmayan bir sayının karekökü ise irrasyoneldir: √2, √3, √5 sayıları irrasyoneldir. Sayının ondalık gösterimi devirsiz sonsuz ise ve bir düzen tekrar etmiyorsa bu sayı da irrasyoneldir.

Yaygın İrrasyonel Sayılar

π sayısı (≈ 3,14159...) daire çevresinin çapa oranı olduğu için irrasyoneldir. Fibonacci dizisinin ardışık iki teriminin oranı golden oran (≈ 1,618...) da irrasyoneldir. Ayrıca 0,1010010001... biçiminde devirli olmayan özel bir desen taşıyan sayılar da irrasyoneldir. İrrasyonel sayılar sayı doğrusunda tam olarak yazılamaz; bu yüzden yaklaşık değerlerle gösterilir.

Sayı Doğrusunda Gösterim

Sayı doğrusunda her gerçek sayı bir noktaya karşılık gelir. Tam sayılar doğrunun üzerinde tam noktalarda, irrasyonel sayılar ise bu noktaların arasında sıkışmış biçimde yer alır. Karşılaştırma yapıldığında sayıların sayı doğrusundaki konularına bakılır: sağa doğru gidildikçe sayılar büyür. Ayrıca iki gerçek sayı karşılaştırıldığında sayı doğrusunda solda kalan sayı daha küçüktür; bu kural irrasyonel sayılar için de aynen geçerlidir ve yaklaşık değerlerle karşılaştırma yapılırken virgülden sonraki basamaklar dikkate alınır.

Uygulama Senaryosu: Bir Sayının Kümeye Aitliğini Test Etme

Kök dokuz üçe eşit olduğu için dokuz, köklü görünse de rasyonel sayılır; buna karşılık kök iki kesir biçiminde yazılamaz. Test sırası önce sadeleştirmek, sonra kesir yazılabilir mi diye bakmaktır; kökün varlığı tek başına kanıt değildir.

Sık karşılaşılan hata, pi sayısını yirmi ikiye bölü yedi ile karıştırmaktır. O kesir yalnızca yaklaşımdır, sayının kendisi değildir.

Karşılaştırma: Sayı Kümeleri

• Doğal: sayma sayıları, bir ile başlar.
• Tam: doğal sayılar ve sıfır.
• Rasyonel: kesir biçiminde yazılabilenler.
• İrrasyonel: devirsiz sonsuz ondalık açılımı olanlar.

Her küme bir sonrakinin içinde düşünülür; bu yüzden sıfır tam, yarım da rasyoneldir.

Uygulama: Sayı Kümelerinde Yer Belirleme

Tam sayılar, doğal sayıların içindedir; kesirli sayılar ondalık sayılarla birlikte rasyonel sayıları oluşturur. Sayı verildiğinde önce hangi kümeye girdiği, sonra daha dar kümenin içinde olup olmadığı belirlenir.

Kesir olarak yazılabilen sayılar rasyoneldir. Bunun yanında sıralanması zor, devirli olmayan ondalık açılımı olan sayılar irrasyoneldir; bu tür sayılar iki tam sayı arasında sonsuz farklı değer barındırır.

Karşılaştırma: Rasyonel ile İrrasyonel

Rasyonel sayı a/b biçiminde yazılabilir; irrasyonel sayı böyle yazılamaz. Ondalık açılımı sonsuza kadar devam edip kalıbı tekrar etmeyen sayı bu ikinci gruba girer.

Sık yapılan hata: Her kareköklü sayıyı irrasyonel sanmak. Kök içi tam kare ise sayı tam sayıya dönüşür; kök içi tam kare değilse irrasyonel olur.

Günlük hayattan bir uygulama

Öğrenilen bilgi ancak bir işe yaradığında yerinde kalır. Gerçek Sayılar: İrrasyonel Sayılar ve Sayı Kümeleri konusunu günlük hayattan bir durumla birleştirelim; soruyu çözerken her adımın hangi kurala dayandığını söylemeye çalışın.

Uygulama sorusu: Sayı kümelerini (doğal, tam sayılı, rasyonel, irrasyonel, gerçek) iç içe dairelerle çizen bir şema çizip her kümeye üçer örnek sayı yazınız.

Bu görev için 15 puan dağıtılmıştır; puanlama anahtarı, cevabın hangi adımlarla gösterilmesi gerektiğini ayrıntılı biçimde söyler. Puanlamada işlem sırasının ve sonuç cümlenin ayrı ayrı sayıldığına dikkat et.

Sınıfta işe yarayan pratik notlar

• Bir sayıyı önce a/b biçimine yazmayı dene; yazılamıyorsa irrasyoneldir.
• Karekök sorularında sayının tam kare olup olmadığını kontrol et.
• Devirli ondalıkta devreden kısmı ayırma kuralını uygula.
• Sayı kümelerini iç içe dairelerle çizmek ezberi kolaylaştırır.

Örnekleri adım adım çözelim

İki örnek üzerinde çalışacağız. İlk örnek kuralın temel kullanımını, ikinci örnek ise kuralın zorlayıcı bir durumunu gösterir. Adımları kendin yazmayı dene; ikinci adımda nerede durduğunu görmek, sınavda zaman kazanır.

Örnek 1: Sayı Türünün Belirlenmesi

Soru: 25/5, √16, 0,25 ve √8 sayılarının hangi kümeye ait olduğunu belirleyiniz.

1. 25/5 = 5 olduğundan rasyoneldir.
2. √16 = 4 olduğundan rasyoneldir.
3. 0,25 sonlu ondalık olduğundan rasyoneldir.
4. √8 = 2√2 olduğu için tam kare kökü değildir, irrasyoneldir.

Cevap: 25/5, √16 ve 0,25 rasyonel; √8 irrasyoneldir.

Bu örnekte adım sayısını not edin: kural her zaman aynı sayıda işlemle değil, kazanılması gereken bilgiye göre çözülür.

Örnek 2: Ondalık ile Kesir

Soru: 0,75 sayısını kesir biçiminde yazıp rasyonel olduğunu doğrulayınız.

1. Virgülden sonra iki basamak vardır, pay 100 olur.
2. 75/100 yazılır.
3. Pay ve payda 25'e bölünür: 3/4.

Cevap: 0,75 = 3/4 olduğundan rasyoneldir.

Kavramları birbirinden ayırma tablosu

Bu derste geçen terimler birbirine yakın durur ve sınavda karıştırılır. Aşağıdaki tabloda her terimin anlamı ve sık karıştırılan karşılığı yan yana verilmiştir.

Bu dersten çıkan kurallar

Kuralları tek yerde görmek, karışık gelen bilgileri düzene sokar. Aşağıdaki tablo bu konuda geçen kural ve ölçüleri içerir.

Sık yapılan hatalar ve nedenleri

Bu konudaki tipik hataları gözden geçirmek, tekrar hata yapmayı en hızlı azaltan yoldur. Her hatanın gerekçesi yazılmıştır.

• 3,14 sayısı π değildir; 3,14 rasyonel bir yaklaşımdır, π irrasyoneldir.
• √16 rasyoneldir çünkü √16 = 4 tam sayıya eşittir.
• Devirsiz görünen her ondalık sayı irrasyonel değildir; önemli olan sonsuz ve devirsiz olmasıdır.
• Rasyonel sayılar yalnız pozitif değildir; -7/2 gibi negatif rasyonel sayılar da vardır.

Bu dersten akılda kalması gerekenler

Kısaca: Gerçek sayılar kümesi rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimidir. Rasyonel sayılar a/b biçiminde yazılabilir ve ondalık gösterimleri sonlu ya da devirlidir; irrasyonel sayılar ise kesir biçiminde yazılamaz, ondalık gösterimleri devirsiz sonsuzdur. √2, √3, √5 ve π en bilinen irrasyonel sayılardır. Sayı doğrusunda her gerçek sayı bir noktaya karşılık gelir; irrasyonel sayılar tam yazılamadığı için yaklaşık değerlerle gösterilir. Sayı kümelerinin ilişkisini bilmek, işlemlerde hangi sayının hangi kümeye girdiğini d…

Kısaca bu derste öğrendiklerimizi toparlayalım:

• Her tam sayı rasyoneldir çünkü b paydası 1 olarak yazılabilir.
• Devirli ondalık sayılar rasyoneldir, devirsiz sonsuz ondalıklar irrasyoneldir.
• Tam kare olmayan sayıların karekökleri irrasyoneldir.
• π sayısı rasyonel değil irrasyoneldir.
• İrrasyonel sayılar sayı doğrusunda ancak yaklaşık olarak gösterilir.

Kontrol soruları

Kendi kendine dene: çözümü sen yaz, sonra anahtarla karşılaştır. Doğru yaptığın soruların altını çizmek, sınav öncesi hızlı tekrar sağlar.

1. √8 sayısının kümesi nedir? (Şıklar: Rasyonel · Tam sayı · İrrasyonel · Doğal sayı)
2. 0,1010010001... (devirsiz, düzenli tekrarı olmayan) sayı hangi kümededir? (Şıklar: Rasyonel · Tam sayı · İrrasyonel · Doğal sayı)
3. Aşağıdaki sayılardan hangisi irrasyoneldir? (Şıklar: √25 · √2 · 0,5 · 2/3)

Cevap anahtarı: 1) İrrasyonel — √8 = 2√2 biçiminde sadeleşir; 2 tam kare olmadığı için sonuç irrasyoneldir.

2) İrrasyonel — Ondalık gösterimi sonsuz ve devirsiz, yani tekrar eden bir deseni olmayan sayılar rasyonel olarak yazılamaz; irrasyoneldir.

3) √2 — √25 = 5 olduğundan rasyoneldir; √2 tam kare olmadığı için ondalık gösterimi devirsiz sonsuzdur ve irrasyoneldir.

Bu dersten sonra neler var?

Konunun yerine oturması için komşu başlıkları da bilmek gerekir. Şunlarla birlikte çalışmak konuyu pekiştirir:

• Doğal Sayılar ve İşlemler — aynı ünitede, bir sonraki adım.
• Üslü İfadeler — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.
• Kareköklü İfadeler — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.
• Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.

Kaynak ve doğruluk notu

Bu konuda ölçü, birim ve kural iddiaları hesapla doğrulanmıştır. Gerçek Sayılar: İrrasyonel Sayılar ve Sayı Kümeleri için kullanılan her kural, konunun kendi örneklerinde gösterilerek verilmiştir; anlatım kendi ifadelerimizle yeniden düzenlenmiştir.

Ayrıca derste şu açık uçlu görevler yer alıyor; her biri puanlıdır ve kendi cevabını yazmanı ister:

• Sayı kümelerini (doğal, tam sayılı, rasyonel, irrasyonel, gerçek) iç içe dairelerle çizen bir şema çizip her kümeye üçer örnek sayı yazınız. (15 puan)
• Rasyonel ve irrasyonel sayılardan yola çıkarak günlük hayattan bir ölçüm örneği (örneğin daire çevresi hesabı) yazıp sonuçta hangi kümenin elde edildiğini açıklayınız. (10 puan)
• Doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar, irrasyonel sayılar ve gerçek sayılar kümelerini iç içe halkalar hâlinde çizin. Her kümeye üçer örnek yazınız ve 0,25, −6, √5, 7/4 sayılarının hangi kümel… (30 puan)
• √2, √3 ve √5 sayılarının rasyonel olup olmadıklarını gerekçesiyle açıklayınız? (10 puan)

İleri Örnek: Bir Sayının Rasyonel mi İrrasyonel mi Olduğunu Kanıtlamak

Konun başındaki örnekler bir sayının hangi kümeye ait olduğunu ayırt etmeyi öğretti. Burada bir adım daha ileri gidip, irrasyonelliğin neden kesin olarak kanıtlanabildiğini gösteriyoruz.

Bir sayının rasyonel olması demek onun a/b biçiminde, a ve b tam sayılarıyla yazılabilmesi demektir. Karekök alınan sayılarda işe yarayan bir kural şudur: karekökü alınan sayı tam kare değilse, o sayının karekökü irrasyoneldir. Tam kare sayılar 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 gibi, tam sayıların kendilerine eşit çarpımıdır. Örneğin 49 = 7 · 7 tam karedir ve √49 = 7 rasyoneldir; ama 50 tam kare değildir, çünkü 7 · 7 = 49 ve 8 · 8 = 64 arasında kalır. Bu yüzden √50 irrasyoneldir.

Bu kuralı kullanarak √2'nin irrasyonel olduğunu gösterebiliriz. Diyelim ki √2 rasyoneldir; o zaman √2 = a/b olsun ve a ile b aralarında asal tam sayılar olsun. İki tarafın karesini alırsak 2 = a²/b², yani a² = 2 · b² olur. Bu eşitlik, a²'nin çift olduğunu söyler. Bir sayının çift olabilmesi için o sayının çift olması gerekir, yani a çift olmalıdır. O hâlde a = 2k yazabiliriz. Yerine koyarsak 4k² = 2 · b² olur ve buradan k² = b²/2, yani b² = 2 · k² çıkar. Bu kez b çift olmak zorundadır. Ama a ve b aralarında asal demiştik; her ikisi birden çift olamaz. Çelişkiye düştüğümüze göre √2 rasyonel olamaz, yani irrasyoneldir.

Satır satır kontrol edelim: 72 için √72 = 6√2 yazılabilir, çünkü 72 = 36 · 2. √2 irrasyonel olduğuna göre 6√2 de irrasyoneldir; çarpıcı olan tam sayı olması sonucu değiştirmez.

Bir de rasyonel ile irrasyonelin toplanması kuralına bakalım: rasyonel bir sayıya irrasyonel bir sayı eklendiğinde sonuç da irrasyoneldir. 1/2 + √2 rasyonel olsaydı, √2 = (1/2 + √2) − 1/2 yazılır ve sağdaki iki terim de rasyonel olurdu; o hâlde √2 rasyonel olurdu. Bu, az önce kanıtladığımızın çelişkisidir. Oysa √2 irrasyoneldir, dolayısıyla 1/2 + √2 de irrasyoneldir.

Sayı doğrusunda yerleştirme de kolaylaşır. Tam kare olmayan bir sayının karekökü, her zaman çevresindeki iki tam sayının arasındadır: 2² = 4 ve 3² = 9 olduğu için 4 ile 9 arasındaki sayıların karekökü 2 ile 3 arasındadır. √5 için 4 < 5 < 9 olduğundan 2 < √5 < 3 yazılır. Bu aralık bilgisi, ondalık değeri bilmeden bile karekökü 2,2 ile 2,3 arasında sınırlar.

Özet

Gerçek sayılar kümesi rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimidir. Rasyonel sayılar a/b biçiminde yazılabilir ve ondalık gösterimleri sonlu ya da devirlidir; irrasyonel sayılar ise kesir biçiminde yazılamaz, ondalık gösterimleri devirsiz sonsuzdur. √2, √3, √5 ve π en bilinen irrasyonel sayılardır. Sayı doğrusunda her gerçek sayı bir noktaya karşılık gelir; irrasyonel sayılar tam yazılamadığı için yaklaşık değerlerle gösterilir. Sayı kümelerinin ilişkisini bilmek, işlemlerde hangi sayının hangi kümeye girdiğini doğru belirlemeyi sağlar.

Kendini Dene

Soru: Sayı kümelerini (doğal, tam sayılı, rasyonel, irrasyonel, gerçek) iç içe dairelerle çizen bir şema çizip her kümeye üçer örnek sayı yazınız.

Örnek cevap: Puanlama anahtarı: Kümelerin iç içe doğru hiyerarşisi 5 puan; her kümeye üç doğru örnek 6 puan; rasyonel ile irrasyonelin birlikte gerçek sayıları oluşturduğunun belirtilmesi 3 puan; düzen 1 puan. Toplam 15 puan.