EBOB, EKOK ve Aralarında Asal Sayılar

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Bu derste EBOB, EKOK ve Aralarında Asal Sayılar konusunu çalışacağız.

Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:

• Kazanım 1: İki sayının EBOB'unu hesaplar.
• Kazanım 2: İki sayının EKOK'unu hesaplar.
• Kazanım 3: Aralarında asal sayıları belirler.
• Kazanım 4: EBOB-EKOK problemlerini çözer.

Ön bilgi: bundan önce gördüğümüz

Bu konunun dayandığı temel Bölünebilme Kuralları ve Asal Çarpanlar başlığıdır. Bölünebilme Kuralları ve Asal Çarpanlar konusunda kazanılan bilgiyi burada yeniden kullanacağız, bu yüzden o konudaki tanım ve çıkarımları hatırlamak işimizi kolaylaştırır.

• Bölünebilme Kuralları ve Asal Çarpanlar — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.

EBOB

Sayıları birlikte bölen en büyük sayıya en büyük ortak bölen (EBOB) denir. Asal çarpanlardan ortak olanların en küçük üsleri çarpılır.

EKOK

Ortak katların en küçüğüne en küçük ortak kat (EKOK) denir. Asal çarpanlardan tüm asalların en büyük üsleri çarpılır.

Aralarında Asal Sayılar

1'den başka ortak böleni olmayan sayılara aralarında asal denir. Bu sayılarda EBOB 1, EKOK ise çarpıma eşittir.

Problem Ayrımı

Bölme, eşit paylaştırma ve parçalara ayırma ifadeleri EBOB; birlikte tekrar etme ve karşılaşma ifadeleri EKOK kullanılır.

EBOB ve EKOK'un Ne Zaman Kullanıldığı

EBOB, aynı ölçüyle en büyük parçalara ayırma sorularında; EKOK ise belirli aralıklarla tekrar eden olaylarda kullanılır. Örneğin farklı boyutlarda çikolataların en büyük eşit karelerle kesilmesi EBOB; iki zilin birlikte tekrar çalması EKOK sorusudur. EBOB ile EKOK arasındaki ilişki: EBOB × EKOK = a × b. Bu, bulduğun değeri denetlemenin en hızlı yoludur.

Hesaplama Yöntemleri

İki yöntem vardır: aşağıya bölme (iki sayıyı aynı anda asala bölmek) ve asal çarpanlara ayırma. Aşağıya bölme EBOB için pratiktir; kalanlar sıfır olduğunda çarpanların çarpımı EBOB'u verir. EKOK için ise çarpanların alabileceği en büyük üsler birlikte çarpılır. Üç ya da daha fazla sayı için de kural değişmez, sadece çarpan listesi genişler.

Aralarında Asal Sayılar

Ortak böleni 1'den başka sayı olmayan sayılara aralarında asal denir: 8 ile 15 (8 = 2³, 15 = 3 · 5). Dikkat: sayıların asal olması gerekmez, yalnızca ortak bölenlerinin 1 olması yeterlidir. Aralarında asal iki sayının EKOK'u çarpımlarına eşittir; bu bilgi soruları kısaltır.

Sınav Odaklı Özet

Soru kökündeki anahtar kelimelere bak: «eşit parça» → EBOB, «birlikte / tekrar» → EKOK, «aralarında» → ortak bölen 1. Sonucu her zaman çarpım denklemiyle kontrol et.

Uygulama ve Pratik

EBOB-EKOK sorularında ilk adım, soruyu doğru sınıflandırmaktır: eşit ve en büyük parça isteniyorsa EBOB, birlikte tekrar eden zaman veya periyot isteniyorsa EKOK aranır. Hesabı hızlandıran ikinci adım, sayıları önce asal çarpanlarına ayırmaktır; üçüncü adım ise EBOB × EKOK = a × b denklemiyle kontrol etmektir. Aralarında asal sayı sorularında ise ortak bölenin yalnız 1 olduğu test edilir: sayıların asal olması değil, ortak çarpan taşımaması yeterlidir.

Uygulama Senaryosu: Ortak Ölçü Problemi

Yirmi dört ve otuz altı santimlik iki çubuk, hiç artmayacak biçimde eşit parçalara bölünmek isteniyor. Parça sayısı en az olmalıdır; bu yüzden en büyük ortak bölen yani on iki bulunur ve iki ile üç parça elde edilir.

Sık karşılaşılan hata, soru kelimesini okumadan işlem seçmektir. En büyük, birlikte, en az ve kalıntı gibi ipuçları önceden işaretlenir.

Diğer Bir Sık Karşılaşılan Durum: Aralarında Asal

sekiz ile on beş birlikte ikiye bölünmez, üçe de bölünmez; buna rağmen en küçük ortak katları yüz yirmidir. Ortak bölenin bir olması, en küçük ortak katın çarpıma eşit olduğu anlamına gelmez; çarpan listesiyle doğrulanmalıdır.

Uygulama: EBOB ve EKOK Problemleri

En büyük ortak bölen, eşit parçalara ayırma sorularında kullanılır. Bir bahçeyi ya da bir grubu en büyük eşit parçalara bölmek istediğimizde sayıların EBOB'ını alırız.

En küçük ortak kat ise aynı anda başlayan olayların ne zaman tekrar buluşacağını bulur. Duraklarda iki aracın birlikte kalktığı saat, EKOK ile hesaplanır.

Karşılaştırma: Ortak Bölme ile Ortak Kat

Ortak bölmeye bölme işlemi yapılır ve sonuç küçülür; ortak kat çarpma yönünde ilerler ve sonuç büyür. Soruda küçülen bir değer mi yoksa tekrar eden büyük bir değer mi istendiğine bakılır.

Sık yapılan hata: İki kavramı karıştırmak. Eşit paylaştırma sorularında EBOB, tekrar buluşma sorularında EKOK kullanılır; sorunun sonundaki istenen değer hangisine denk geliyorsa o seçilir.

Günlük hayattan bir uygulama

Şimdi konuyu kendi hayatımızdaki bir duruma uygulayacağız. EBOB, EKOK ve Aralarında Asal Sayılar bilgisi olmadan da bu iş yapılabilir, ama nasıl yapıldığını açıklamak zorlaşır; soru tam da bu açıklamayı istiyor.

Uygulama sorusu: Uzunluğu 24 m, genişliği 18 m olan dikdörtgen bir bahçe, kare biçiminde en büyük ve eşit parçalara ayrılacaktır: kare parçanın kenarı ve toplam parça sayısı kaçtır? Adımları yazınız.

Bu görev için 15 puan dağıtılmıştır; puanlama anahtarı, cevabın hangi adımlarla gösterilmesi gerektiğini ayrıntılı biçimde söyler. Puanlamada işlem sırasının ve sonuç cümlenin ayrı ayrı sayıldığına dikkat et.

Yararlı ipuçları

• Sayıları mutlaka asal çarpanlarına ayır.
• Aralarında asal sayılarda EKOK çarpım, EBOB 1'dir.
• Problemde en az ve en fazla ifadelerine dikkat et.
• Anahtar kelimeyi oku, sonra yöntemi seç.
• Aşağıya bölme ile hızlı EBOB al.
• Sonucu çarpım denklemiyle denetle.

İki örnek üzerinde çözüm

İki örnek üzerinde çalışacağız. İlk örnek kuralın temel kullanımını, ikinci örnek ise kuralın zorlayıcı bir durumunu gösterir. Adımları kendin yazmayı dene; ikinci adımda nerede durduğunu görmek, sınavda zaman kazanır.

Örnek 1: EBOB

Soru: 24 ve 36 sayılarının EBOB'u kaçtır?

1. 24 = 2³ · 3, 36 = 2² · 3²
2. Ortak asalların en küçük üsleri: 2² · 3
3. EBOB = 4 · 3 = 12

Cevap: 12

Bu örnekte adım sayısını not edin: kural her zaman aynı sayıda işlemle değil, kazanılması gereken bilgiye göre çözülür.

Örnek 2: EKOK Problemi

Soru: 12 ve 15 dakikalık iki zil birlikte çaldıktan kaç dakika sonra tekrar birlikte çalar?

1. Ortak kat arandığından EKOK alınır.
2. 12 = 2² · 3, 15 = 3 · 5
3. EKOK = 2² · 3 · 5 = 60

Cevap: 60 dakika sonra

Terimler ve aralarındaki fark

Bu derste geçen terimler birbirine yakın durur ve sınavda karıştırılır. Aşağıdaki tabloda her terimin anlamı ve sık karıştırılan karşılığı yan yana verilmiştir.

Kurallar, formüller ve ölçüler

Bu konunun dayandığı kurallar aşağıdadır. Tabloyu ezberlemek değil, kuralın hangi soruda işe yaradığını görmek esastır.

Yukarıdaki ölçülerin arkasındaki kural ve formüller şunlardır:

Hangi hatalara dikkat edelim?

Aşağıdaki hatalar bu konuda en sık görülenlerdir. Her biri için önce hatanın kendisi, sonra neden yanlış olduğu ve doğrusu anlatılmıştır.

• EBOB ile EKOK'u karıştırmak: EBOB ortak bölen, EKOK ortak kattır.
• Problemde yanlış olanı seçmek: Bölme/paylaştırma EBOB, tekrar/birleşme EKOK'tur.
• EBOB'u bulurken tüm asalları almak: Yalnızca ortak olanlar alınır.
• Yöntemi ters seçmek: Parça → EBOB, tekrar → EKOK.
• Aralarda asalı asal sanmak: Önemli olan ortak bölenin 1 olmasıdır.
• Çarpım kontrolünü atlamak: Hata hızla yakalanır.

Özet

Kısaca: EBOB, ortak asalların en küçük üsleriyle; EKOK, tüm asalların en büyük üsleriyle bulunur. Aralarında asal sayılarda EBOB 1, EKOK çarpımdır. İki sayının çarpımı EBOB·EKOK'a eşittir.

Sınav öncesi şu maddeleri tekrar etmek yeterli olacaktır:

• EBOB küçük sayıdan büyük olamaz; EKOK büyük sayıdan küçük olamaz.
• İki sayının çarpımı, EBOB ile EKOK'un çarpımına eşittir.
• Birbirinin katı olan sayılarda EBOB küçük, EKOK büyük sayıdır.
• EBOB eşit parça, EKOK birlikte tekrar sorularındadır.
• EBOB × EKOK = a × b kontrolü zorunludur.
• Aralarda asal sayılar için asal olmak şart değildir.

Kendini dene

Aşağıdaki sorular konunun farklı yönlerini yoklar. Önce kendin çöz, sonra cevap anahtarına bak; eğer bir soruyu yanlış yaptıysan yukarıdaki ilgili bölüme geri dön.

1. 24 ve 36 metrelik iki kumaş eşit ve en büyük parçalara ayrılacaktır. Her parça kaç metre olur? (Şıklar: 6 · 12 · 18 · 24)
2. Aralarında asal olan iki sayı hangisidir? (Şıklar: 8 ve 12 · 9 ve 15 · 14 ve 25 · 18 ve 27)
3. 12 ve 18 sayılarının EBOB'u kaçtır? (8. sınıf) (Şıklar: 3 · 6 · 9 · 36)

Cevap anahtarı: 1) 12 — Eşit ve en büyük parçalara ayırmak, en büyük ortak bökeni bulmaktır. 24 = 2³ · 3 ve 36 = 2² · 3² yazılır; ortak en küçük üslerle 2² · 3 = 12 elde edilir.

2) 14 ve 25 — Aralarında asal sayı çiftlerinin ortak böleni yalnızca 1'dir. 14 = 2 · 7 ve 25 = 5² yazıldığı için ortak bölen yalnızca 1 kalır. Doğru cevap 14 ve 25'tir.

3) 6 — 12 = 2² · 3 ve 18 = 2 · 3² biçiminde yazılır. Ortak çarpanlarda küçük üsler seçilir ve 2 · 3 = 6 elde edilir. Doğru cevap 6'dır.

Komşu konular

Bu konuyu öğrenmek şu başlıkları da kolaylaştırır. Aynı üniteden ve sonraki üniteden ikişer konu seçtik:

• Gerçek Sayılar: İrrasyonel Sayılar ve Sayı Kümeleri — aynı ünitede, bir sonraki adım.
• Doğal Sayılar ve İşlemler — aynı ünitede, bir sonraki adım.
• Üslü İfadeler — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.
• Kareköklü İfadeler — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.

Kaynak notu

Bu derste EBOB, EKOK ve Aralarında Asal Sayılar konusu için kullanılan sayısal değerlerin tamamı adım adım gösterilerek hesaplandı; yaklaşık değer gereken yerde yaklaşık ifadesi açıkça yazıldı. Bu anlatım başka bir kitaptan cümle aktarmadan, konunun tanım ve kural düzeni yeniden yazılarak hazırlandı.

Ayrıca derste şu açık uçlu görevler yer alıyor; her biri puanlıdır ve kendi cevabını yazmanı ister:

• Uzunluğu 24 m, genişliği 18 m olan dikdörtgen bir bahçe, kare biçiminde en büyük ve eşit parçalara ayrılacaktır: kare parçanın kenarı ve toplam parça sayısı kaçtır? Adımları yazınız. (15 puan)
• Duraktan 12 dakikada bir ve 18 dakikada bir kalkan iki otobüs 08:00'de birlikte kalkıyor. Saat kaçta ilk kez birlikte kalkarlar? Kullandığınız yöntemi yazınız. (10 puan)
• Bir fırıncının 36 ekmek ve 48 simidi eşit, en büyük ve sayısız olacak biçimde kutulara dizdiğini düşününüz. Kaç kutu kullanılacağını, her kutuda kaç ekmek ve simit bulunacağını EBOB ile çözerek adım… (25 puan)
• Bir sitedeki 24 kişilik ve 36 kişilik grupların her ikisine de tam olarak yerleşeceği en büyük grup büyüklüğünü bulunuz ve nasıl bulduğunuzu açıklayınız? (15 puan)

Karşılaştırma Tablosu