Bilinmeyen Nicelikler

Konu Anlatımı

Bilinmeyen Nasıl Gösterilir?

Problemdeki bilinmeyen nicelik bir harf ile gösterilir. Örneğin bir sayının 3 katı 12 ise bilinmeyen x olur ve 3x = 12 denklemi kurulur. Harfin yerine ne getirileceği bilinmez, bu yüzden denklem çözülerek sonuç bulunur. Denklemde iki tarafın dengede olması, eşitliğin korunması için zorunludur.

Dengeyi korumak için bir tarafa yapılan işlem diğer tarafa da yapılır. 3x = 12 denkleminde her iki taraf da 3 e bölünür ve x = 4 elde edilir. Bölme yerine çarpma kullanılamaz çünkü işlem dengesini bozar. Aynı kural, terimlerin karşılıklı taraflara taşınmasında da geçerlidir.

Bir kesir probleminde sonuç, denklemde bulunan değerin sorudaki ölçü birimine uygun yazılmasıyla anlam kazanır. Bir kutu sayısı sorusunda cevap kutu, bir para sorusunda kuruş gibi birim kullanılır. Birim yazılmadığında denklem doğru çözülse bile cevap eksik sayılır.

Denklem Kurma Adımları

Bilinmeyen bir problemi denklemle ifade etmek üç adımda olur. Birincisi, bilinmeyen nicelik harfle gösterilir. İkincisi, iki bilinen arasındaki ilişki bulunur. Üçüncüsü, bu ilişki eşitlik biçiminde yazılır. Örneğin iki sayının toplamı 35 ve büyüğü küçüğünden 5 fazladır denildiğinde küçük x, büyük x + 5 olur ve x + (x + 5) = 35 denklemi kurulur.

• Dengeyi bozan işlemden kaçınılır, denklem çözüldükten sonra denetlenir.
• Bir taraftaki sayı diğer tarafa işaret değiştirerek taşınabilir.
• Birinci dereceden denklemde x in katsayısı tek sayıya indirgenir.
• Parantez açılıp çarpılırken işlem sırasına dikkat edilir.
• Çözüm, problem koşuluna uymuyorsa denklem yeniden kurulur.

Çözümlü Örnek

Örnek: Bir sınıftaki kız sayısı erkek sayısının 2 katıdır. Sınıfta toplam 27 öğrenci vardır. Kaç kız, kaç erkek vardır? 1. adım: erkek sayısı x olsun, kız sayısı 2x olur. 2. adım: toplam 27 olduğundan x + 2x = 27 yazılır. 3. adım: benzer terimler toplanır, 3x = 27 elde edilir. 4. adım: her iki taraf 3 e bölünür, x = 9 bulunur. 5. adım: kız sayısı 2 × 9 = 18 olur. 6. adım: denetim yapılır, 9 + 18 = 27 doğrulanır.

Sık Yapılan Hatalar

• Dengeyi bozan işlem uygulamak: Bir tarafta çarpma yapılıp diğerinde yapılmazsa denge kaybolur.
• Toplam yerine fark yazmak: Toplam ilişkisi hep artı işaretli, fark ilişkisi eksi işaretlidir.
• Katsayıyı atlama: Bir sayının 5 katı 5x ile gösterilir, x değil.
• Çözümü denetlememek: Bulunan değer sorudaki koşula uymuyorsa denklem hatalı kurulmuştur.

Özet

Bilinmeyen nicelik harfle gösterilir ve iki bilinen arasındaki ilişki eşitlik hâlinde yazılır. Denklem çözülürken denge korunmalıdır: bir tarafta yapılan işlem diğer tarafta da yapılır. Birinci dereceden denklemlerde x in katsayısı tek sayıya indirgenerek x bulunur. Toplam, fark, kat ve yarım ilişkilerinin her biri farklı bir cebirsel karşılık taşır. Bulunan çözüm mutlaka sorudaki koşula uygunluğuyla denetlenmelidir.

Ne Öğreneceğiz

Bilinmeyen sayıyı içeren problemleri cebirsel ifadeyle modellemeyi, denklem kurmayı ve dengeyi sağlayarak çözmeyi hedefler. Bu konuda ögrenme çıktıları:

• Bir problemdeki bilinmeyen niceliği ad ile gösterir.
• Sözlü ifadeyi cebirsel ifadeye dönüştürür.
• Basit birinci dereceden denklem kurar ve dengeyi sağlayarak çözer.
• Toplam, fark ve kat ilişkilerini denklemle ifade eder.
• Bulunan çözümü sorudaki koşula uygunluğuyla denetler.

Ön Bilgi

Bu konuya başlamadan önce temel kavram ve ön koşulları kavramanız yardımcı olacaktır. Konunun çerçevesinde şu kavramlar dikkat ister:

• Bilinmeyen nicelik tek bir harf ile gösterilir.
• Dengeyi bozan işlemden kaçınılır, işlem iki tarafta yapılır.
• Birinci dereceden denklem çözümünde katsayı tek sayıya indirgenir.
• Toplam ilişkisi artı, fark ilişkisi eksi işaretlidir.
• Sayının katı katsayı ile, yarısı bölme ile gösterilir.
• Bulunan çözüm sorudaki koşula uygunluk açısından denetlenir.

Basit Örnek ve Günlük Yaşam

Günlük yaşamda ve mesleki bağlamda bir uygulama:

Soru: Bir sayının 7 katı 63 ise bu sayı kaçtır?

1. Adım 1: bilinmeyen x olarak alınır.
2. Adım 2: 7x = 63 denklemi kurulur.
3. Adım 3: her iki taraf 7 e bölünür ve x = 9 bulunur.

Sonuç/cevap: x = 9

İleri Örnek

Daha ileri bir uygulama:

Soru: Bir kutu ile bir kasedeki toplam 45 nesne vardır. Kutudaki nesne sayısı kasenin 3 katıdır. Kasede kaç nesne vardır?

1. Adım 1: kasedeki sayı x, kutudaki sayı 3x alınır.
2. Adım 2: x + 3x = 45 denklemi yazılır.
3. Adım 3: 4x = 45 görünür ama 45 e tam bölünmez; denklem kurulumu gözden geçirilir.

Sonuç/cevap: Veriler tutarsızdır; kutu 3 kat + 1 olarak değişirse kase 11 olur

Adım Adım Çözülmüş Örnek

Örnek 1: Tek Denklemle Modelleme konusunun adımları:

1. Adım 1: bilinmeyen x olarak alınır.
2. Adım 2: 7x = 63 denklemi kurulur.
3. Adım 3: her iki taraf 7 e bölünür ve x = 9 bulunur.

Karşılaştırma Tablosu

Kendini Dene

Soru: Bir sınıfta erkek öğrencilerin sayısı kız öğrencilerin sayısından 6 fazladır. Sınıfta toplam 34 öğrenci vardır. Bu bilgiye göre bir denklem kurunuz ve çözünüz.

Örnek cevap: Puanlama anahtarı: kız sayısının x olarak tanımlanması 4 puan; erkeklerin x + 6 olarak yazılması 4 puan; x + (x + 6) = 34 denkleminin kurulması 5 puan; denklemin çözülerek kız 14, erkek 20 bulunması 5 puan; toplam denetlemesinin yapılması 2 puan. Toplam 20 puan.