Örüntü

Konu Anlatımı

Örüntü Nedir?

Birbirini izleyen sayı veya şekiller arasında bir düzen varsa bu düzene örüntü denir. Sayı örüntülerinde düzen çoğu zaman artış veya azalış miktarındadır. Örneğin 3, 6, 9, 12 dizisi her adımda 3 arttığı için düzenlidir. 3, 5, 8, 12 dizisinde ise artışlar 2, 3, 4 biçiminde büyüdüğü için düzen farklıdır.

Örüntü bulunurken ardışık terimler arasındaki farklar tek tek hesaplanır. Farklar sabitse toplamalı, farklar kendi içinde düzenli değişiyorsa çarpımsal bir örüntü söz konusudur. Bu iki durumu ayırt etmek örüntünün kuralını doğru yazmayı sağlar.

Şekil Örüntüleri

Şekil örüntülerinde adım sayısı ve her adımda eklenen parça sayısı izlenir. Her adımda bir parça eklenen bir örüntüde n. şekilde toplam parça sayısı bir artar. Bazı örüntülerde ise parça eklenirken başka parçalar çıkarılır; bu durumda eklenen ile çıkarılan ayrı ayrı yazılmalıdır.

• Artış miktarı sabitse toplamalı örüntüdür.
• Artış miktarı kendi artıyorsa çarpımsal örüntüye yaklaşır.
• Kare dizileri terimleri tam sayıların karelerinden oluşur.
• Şekil örüntüsünde adım sayısı ile toplam parça sayısı karıştırılmamalıdır.
• Örüntünün kuralı yazıldıktan sonra birkaç terim daha hesaplanarak doğrulanır.

Genel Terim Yazma

Bir sayı örüntüsünün kuralı genellikle toplama çarpma veya çarpmaya toplama şeklinde yazılır. Örneğin 5, 8, 11, 14 dizisinde her adım 3 arttığı için genel terim 3n + 2 biçimindedir. Burada 3, artış miktarını; 2 ise ilk terimle artış arasındaki farkı gösterir. Bu kural yazıldıktan sonra istenen terim doğrudan hesaplanabilir.

Çözümlü Örnek

Örnek: 4, 7, 10, 13,... dizisinin genel terimini bulunuz ve 20. terimi hesaplayınız. 1. adım: ardışık farklar hesaplanır, üç adım da 3 farkı verir. 2. adım: artışın sabit olduğu görülür, örüntü toplamalıdır. 3. adım: ilk terim 4 olduğuna göre genel terim 3n + 1 biçiminde yazılır. 4. adım: 20. terim için 3 × 20 + 1 = 61 hesaplanır. 5. adım: 61 değeri 4 + 19 × 3 ile de doğrulanır.

Sık Yapılan Hatalar

• Artışın sabit olduğunu varsaymak: Farklar farklıysa örüntü toplamalı değildir; farklar listelenmelidir.
• Genel terimdeki sayıyı iki artırmak: 3n + 1 deki 1, ilk terimden artış çıkarılarak bulunur, artışın kendisi değildir.
• Şekil örüntüsünde adımı yanlış saymak: İlk şekil birinci adımdır, sıfırıncı adım yoktur.
• Örüntüyü sürdürürken kuralı değiştirmek: Bulunan kural sonraki adımlarda da aynen uygulanmalıdır.

Özet

Örüntü, terimler arasındaki düzendir. Sayı örüntüsünde ardışık farklar hesaplanarak artışın sabit mi yoksa büyüyen mi olduğu belirlenir. Sabit artışlı örüntülerde genel terim toplama çarpma şeklinde yazılır ve istenen terim bu kuraldan doğrudan hesaplanır. Şekil örüntülerinde adım sayısı ile toplam parça sayısı ayrı tutulmalıdır. Bulunan kural birkaç terim daha üretilerek doğrulanmalıdır.

Ne Öğreneceğiz

Sayı ve şekil örüntülerindeki kuralı fark edip genel terimi yazmayı, örüntüyü sürdürmeyi ve kuralı açıklamayı hedefler. Bu konuda ögrenme çıktıları:

• Sayı dizisindeki artış veya azalma kuralını fark eder.
• Şekil örüntüsünde adım sayısını ve biçim değişimini belirler.
• Örüntünün genel kuralını cebirsel olarak ifade eder.
• Örüntüyü verilen terim sayısı kadar sürdürür.
• Bir örüntünün n. terimini doğrudan hesaplar.

Ön Bilgi

Bu konuya başlamadan önce temel kavram ve ön koşulları kavramanız yardımcı olacaktır. Konunun çerçevesinde şu kavramlar dikkat ister:

• Ardışık farklar hesaplanmadan örüntü tipi belirlenemez.
• Sabit artışlı örüntü toplamalıdır ve genel terimi doğrusal olur.
• Genel terimdeki sabit, ilk terimden artış miktarı çıkarılarak bulunur.
• Şekil örüntüsünde ilk şekil birinci adımdır.
• Büyüyen artışta kare dizisi gibi özel desenler aranır.
• Bulunan kural birkaç terim daha üretilerek doğrulanmalıdır.

Basit Örnek ve Günlük Yaşam

Günlük yaşamda ve mesleki bağlamda bir uygulama:

Soru: 5, 9, 13, 17,... dizisinin 12. terimi kaçtır?

1. Adım 1: farklar hesaplanır, hepsi 4 olarak bulunur.
2. Adım 2: toplamalı örüntü olduğu anlaşılır.
3. Adım 3: 5 + (12 − 1) × 4 işlemi uygulanır.

Sonuç/cevap: 45

İleri Örnek

Daha ileri bir uygulama:

Soru: İlk şekilde 2 kare, her adımda 3 kare ekleniyorsa 10. şekilde kaç kare vardır?

1. Adım 1: her adımda 3 kare eklenmektedir.
2. Adım 2: toplam kare sayısı 2 + (n − 1) × 3 olarak yazılır.
3. Adım 3: 10. şekil için 2 + 9 × 3 hesaplanır.

Sonuç/cevap: 29

Adım Adım Çözülmüş Örnek

Örnek 1: Sabit Artışlı Örüntü konusunun adımları:

1. Adım 1: farklar hesaplanır, hepsi 4 olarak bulunur.
2. Adım 2: toplamalı örüntü olduğu anlaşılır.
3. Adım 3: 5 + (12 − 1) × 4 işlemi uygulanır.

Karşılaştırma Tablosu

Kendini Dene

Soru: Kurallı biçimde çizilmiş bir zırgırtın taşları alt alta dizildiğinde 1. sırada 2, 2. sırada 4, 3. sırada 6 taş olduğu görülüyor. 15. sırada kaç taş bulunur? Genel terimi yazınız.

Örnek cevap: Puanlama anahtarı: artışın 2 olduğunun fark edilmesi 5 puan; genel terimin 2n biçiminde yazılması 6 puan; 15. sıra için 2 × 15 = 30 sonucunun bulunması 5 puan; genel terimin doğrulanması 4 puan. Toplam 20 puan.