Eşitliğin Korunumu

Konu Anlatımı

Eşitlik Nedir

İki ifadenin değerinin aynı olduğunu belirten denkleme eşitlik denir. Eşitliğin solunda ve sağında eşittir işareti vardır. 7 + 5 = 3 + 9 yazımı doğru bir eşitliktir, çünkü iki tarafta da 12 sonucu bulunur. Eşitlikte değişken olan ifadeler de olabilir: x + 4 = 10 ifadesinde soldaki değer x'e bağlıdır, sağdaki ise sabittir.

Eşitliğin Korunması

Bir eşitliğin iki yanına aynı işlem uygulandığında eşitliğin doğruluğu bozulmaz. Buna eşitliğin korunması denir. Aynı sayı eklemek, aynı sayı çıkarmak, aynı sayıyla çarpmak ya da sıfırdan farklı aynı sayıya bölmek bu işlemler arasındadır. Örneğin 6 + 9 = 15 eşitliğinin iki tarafından da 4 çıkarılırsa 10 = 11 olmaz; eşitlik 6 + 9 - 4 = 15 - 4 biçiminde yazılır ve iki taraf da 11 olur.

Eşitliği Çözmek

Eşitlikte bilinmeyeni bulmak için yalınlaştırma yapılır. Sol tarafta toplanan bir sayı varsa iki taraftan da o sayı çıkarılır. Çarpılan bir sayı varsa iki taraf da o sayıya bölünür. Parantez varsa önce parantez içiyle uğraşılır. Bu adımlar her zaman aynı işlemi iki tarafa uyguladığı için eşitlik korunmuş olur.

• Bilinmeyen yalnız tarafta değilse önce iki taraftaki terimler birleştirilir.
• Çarpma varsa bölme, bölme varsa çarpma uygulanır.
• Toplama varsa çıkarma, çıkarma varsa toplama uygulanır.
• Her adımda işlem yönüne dikkat edilir.

Çözümlü Örnek: 3 × (x - 5) = 36

Birinci adımda iki taraf 3'e bölünür: 3 × (x - 5) ÷ 3 = 36 ÷ 3, böylece x - 5 = 12 elde edilir. İkinci adımda her iki tarafa 5 eklenir: x - 5 + 5 = 12 + 5, böylece x = 17 bulunur. Üçüncü adımda kontrol yapılır: 3 × (17 - 5) = 3 × 12 = 36 olur ve eşitlik sağlanır.

Gerçek Hayattan Eşitlik Kurmak

Günlük hayatta bir eşitlik kurulurken her iki tarafa da aynı birim yazılır. Bir kutuya 6 kalem konulduğunda kutudaki toplam kalem sayısı 6 × kutu sayısına eşittir. 4 kutu için 24 = 6 × 4 eşitliği kurulur ve sorulan herhangi bir miktar bu eşitlikten bulunur. Birim yazılmadan kurulan eşitlik anlamsızdır.

Özet

Eşitliğin iki yanına aynı işlemi uygulamak eşitliği bozmaz. Bu kural eşitlikleri çözmenin temelidir: toplama karşısında çıkarma, çarpma karşısında bölme kullanılır. Çözüm bittikten sonra değer yerine konarak eşitlik doğrulanmalıdır.

Sık Yapılan Hatalar

En sık hata, işlemi yalnızca eşitliğin bir tarafına uygulamaktır. İkinci hata, çıkarmak yerine eklemek ya da eklemek yerine çıkarmaktır. Üçüncü hata, bölme yaparken çarpma yapmaktır. Doğru yol, her adımı yazarak iki tarafın da aynı işlemi aldığını görmektir.

Ne Öğreneceğiz

Eşitliğin iki yanına aynı işlemi uyguladığımızda eşitliğin bozulmadığını gösterme ve eşitliği çözme becerisi. Bu konuda ögrenme çıktıları:

• Eşitliğin iki yanına aynı sayıyı ekleme ya da çıkarma işleminin eşitliği bozmadığını açıklar.
• Eşitliğin iki yanına aynı sayıyla çarpma ya da bölme işlemini uygular.
• Eşitliği bozmadan önceki ve sonraki hâlini karşılaştırarak doğrular.
• Bilinmeyen içeren eşitliklerde eşitliği çözerek bilinmeyeni bulur.
• Gerçek hayattan bir eşitliği kurar ve çözümünü yorumlar.

Ön Bilgi

Bu konuya başlamadan önce temel kavram ve ön koşulları kavramanız yardımcı olacaktır. Konunun çerçevesinde şu kavramlar dikkat ister:

• Eşitliği bozmayan işlem her iki tarafta birden uygulanmalıdır.
• Bir taraftan bir sayı çıkarırsanız diğer taraftan da çıkarılır.
• Bir tarafta çarptığınız sayıya diğer tarafta da bölerseniz eşitlik korunur.
• Bilinmeyeni bulmak için eşitliği yalınlaştırmak gerekir.
• Kontrol için bulunan değer yerine konduğunda eşitlik sağlanmalıdır.

İleri Örnek

Daha ileri bir uygulama:

Soru: 5 × (t - 4) = 45 eşitliğinde t kaçtır?

1. Adım 1: Her iki taraf 5'e bölünür.
2. Adım 2: t - 4 = 9 elde edilir.
3. Adım 3: Her iki tarafa 4 eklenirse t = 13 bulunur.

Sonuç/cevap: 13

Adım Adım Çözülmüş Örnek

Örnek 1: İki Tarafa Ekleme konusunun adımları:

1. Adım 1: Her iki taraftan da 12 çıkarılır.
2. Adım 2: Sol taraf x + 12 - 12 = x olur.
3. Adım 3: Sağ taraf 27 - 12 = 15 olur, dolayısıyla x = 15.

Karşılaştırma Tablosu

Kendini Dene

Soru: Sınıfınızdaki öğrencilerin yarısı kız ise erkek öğrenci sayısını gösteren bir eşitlik kurunuz ve bu eşitliği çözerek sonucu yazınız.

Örnek cevap: Puanlama anahtarı: Toplam öğrenci sayısını gösteren ifadenin doğru yazılması 3 puan; yarısı kız olduğu bilgisinin doğru ifade edilmesi 3 puan; eşitliğin iki tarafına aynı işlemi uygulayarak çözümün yapılması 4 puan; sonucun yazılması 2 puan.