Dörtgenlerde Alan ve Katı Cisimlere Giriş

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz

Bu derste paralelkenar, eşkenar dörtgen, deltoid, dikdörtgen, kare ve yamuğun tanım ve özelliklerini ayırt etmeyi, her birinin alan formülünü doğru durumda kullanmayı öğreneceksiniz. Ardından katı cisim kavramına geçerek dik prizmanın ve küpün hacmini, kürenin hacim ve yüzey alanını, silindirin yüzey alanını hesaplayacaksınız. Yer döşeme, kutu boyama, top sarma gibi günlük durumları bu formüllerle modellersiniz.

Ön bilgi

Dörtgenler düzlemde dört köşeli kapalı şekillerdir ve alanları kapladığı birim kare sayısı olarak düşünülebilir. Alan hesabında taban ile yükseklik arasındaki dik ilişkiyi bilmek gerekir. Katı cisimlere geçtiğimizde ise cismin kapladığı yerin ölçüsüne hacim, dış yüzeyinin ölçüsüne yüzey alanı denir.

• Dörtgen: dört köşesi ve dört kenarı olan düzlem şekli.
• Taban: alan hesabında dayanılan kenar.
• Yükseklik: tabana dik olarak çizilen uzunluk.
• Köşegen: karşılıklı köşeleri birleştiren doğru parçası.
• Katı cisim: hacmi olan, üç boyutlu cisim.

Kavramlar ve Temel Tanımlar

Paralelkenar, karşılıklı kenarları paralel olan dörtgendir; alanı taban ile yüksekliğin çarpımıdır. Dikdörtgen ve kare özel paralelkenarlardır: dikdörtgende karşılıklı kenarlar eş, karede tüm kenarlar eş ve tüm açılar 90 derecedir. Eşkenar dörtgen dört kenarı eş olan, köşegenlerinin birbirini dik olarak ortalamasıyla bilinen dörtgendir; alanı köşegenlerin çarpımının yarısıdır. Deltoid komşu kenarları eş olan dörtgendir; köşegenlerinden biri diğerini dik olarak ortalar ve alanı da köşegenlerin çarpımının yarısıdır. Yamuk yalnız bir çift kenarı paralel olan dörtgendir; alanı paralel kenarların toplamı ile yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Katı cisimlerden dik prizma taban alanı ile yüksekliğin çarpımı kadar yer kaplar; küp tüm ayrıtları eş olan özel dik prizmadır. Küre merkezine eşit uzaklıkta olan noktaların oluşturduğu cisimdir ve yarıçap ile belirlenir.

Basit örnek

Tabanı 14 cm, yüksekliği 6 cm olan bir paralelkenarın alanını hesaplayalım. Alan formülünde taban ile yüksekliği çarparız: 14 çarpı 6 eşittir 84. Yani paralelkenarın alanı 84 cm² olur. Bu hesapta yüksekliğin tabana dik olduğundan emin olmalıyız; yan kenar uzunluğunu yükseklik sanmak sonucu yanlış çıkarır.

Adım adım çözüm

Paralel kenarları 12 cm ile 8 cm ve yüksekliği 5 cm olan bir yamuğun alanını bulalım. Birinci adımda paralel kenarları toplarız: 12 artı 8 eşittir 20. İkinci adımda toplamı yükseklikle çarparız: 20 çarpı 5 eşittir 100. Üçüncü adımda sonucu ikiye böleriz: 100 bölü 2 eşittir 50. Böylece yamuğun alanının 50 cm² olduğunu buluruz; bölmeyi unutmak alanı iki katı vereceğinden dikkat edilmelidir.

İleri örnek

Yarıçapı 2 cm olan küçük bir topun hacmini ve yüzey alanını hesaplayalım, π yerine 3 alalım. Küre hacmi 4/3 çarpı π çarpı r küp formülüyle bulunur: 4/3 çarpı 3 çarpı 8 eşittir 32 cm³ olur. Yüzey alanı ise 4 çarpı π çarpı r kare formülüyle hesaplanır: 4 çarpı 3 çarpı 4 eşittir 48 cm² bulunur. Sonuçlardan görüldüğü gibi hacim ile yüzey alanı aynı cismin farklı ölçüleridir, biri birim küp diğeri birim kare ile ifade edilir.

Kavram karşılaştırma tablosu

Bu derste geçen şekillerin kenar, açı ve alan özelliklerini aşağıdaki tabloda karşılaştıralım:

Sık yapılan hatalar

Sık yapılan hatalardan biri, paralelkenarda yan kenar uzunluğunu yükseklik olarak kullanmaktır. Yamuk alanında ikiye bölmeyi unutmak sonucu iki katına çıkarır. Eşkenar dörtgende yalnız bir köşegenin uzunluğunu kullanmak da eksik hesap demektir. Katı cisimlerde hacim birimi ile yüzey alanı birimini karıştırmak ve küre formüllerinde yarıçap yerine çapı yerleştirmek sık görülen diğer hatalardır.

Özet

Dörtgenlerin alanları taban ve yükseklik ilişkisine dayanır: paralelkenar ve dikdörtgende taban çarpı yükseklik, karede kenar çarpı kenar, yamukta paralel kenarların toplamı çarpı yüksekliğin yarısı, eşkenar dörtgen ve deltoidde köşegenlerin çarpımının yarısı kullanılır. Dik prizma ve küpte hacim, taban ya da yüz alanı ile yüksekliğin çarpımıdır. Kürenin hacmi 4/3 çarpı π çarpı r küp, yüzey alanı 4 çarpı π çarpı r kare, silindirin yüzey alanı ise iki taban dairesi ile yan yüzeyin toplamı olarak hesaplanır.

Kendini dene

Tabanı 20 cm ve yüksekliği 9 cm olan paralelkenarın alanını bul; paralel kenarları 15 cm ile 7 cm ve yüksekliği 4 cm olan yamuğun alanını hesapla. Bir ayrıtı 4 cm olan küpün hacmini ve yüzey alanını, yarıçapı 3 cm olan bir kürenin yüzey alanını hesaplayarak sonuçları karşılaştır.