Üçgende Benzerlik ve Thales Teoremi

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz

İki üçgenin hangi koşullar altında benzer olduğunu öğrenecek ve benzerlik oranının kenarlar ile alanlar üzerindeki etkisini inceleyeceğiz. AA, SSk ve SSS benzerlik kriterlerini ayırt edecek, karşılıklı kenar oranlarını yazmayı öğreneceğiz. Ayrıca Thales teoremiyle paralel doğrular arasındaki orantılı parçaları hesaplayacak ve bir üçgende orta tabanın uzunluğunun tabanın yarısı olduğunu kullanarak problemler çözeceğiz.

Ön bilgi

Bu bölümü anlayabilmek için paralel doğruların iç açılarından zıt açıları ile aynı açı davranışını bilmek yeterlidir.

• Paralel doğrular: Aynı düzlemde hiç kesişmeyen doğrulardır, aralarındaki uzaklık her yerde sabittir.
• Karşılıklı açılar: Paralel iki doğru aynı doğru tarafından kesildiğinde oluşan eş açılardır.
• İç açılar toplamı: Bir üçgenin iç açılarının ölçüsü toplamı her zaman 180°'dir.

Kavramlar ve Temel Tanımlar

Karşılıklı açıları eşit olan ve karşılıklı kenarları aynı oranı veren iki üçgene benzer üçgenler denir; bu durum ABC ~ DEF biçiminde yazılır. Kenar uzunluklarının oranına benzerlik oranı denir ve k harfiyle gösterilir. AA (açı açı) benzerlik: İki açısı eşit olan üçgenler benzerdir; çünkü üçüncü açı da 180° farkı kendiliğinden eşit olur. SSk benzerlik: Bir açıları eşit ve bu açının komşu kenarları orantılı olan üçgenler benzerdir. SSS benzerlik: Üç kenarı orantılı olan üçgenler benzerdir. Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar orantılı ve karşılıklı açılar eşit olur; alan oranı ise benzerlik oranının karesidir yani k² oranında olur. Thales teoremi: İki doğru paralel doğrular tarafından kesilirse bunların her birinin üzerinde oluşan parçalar orantılıdır. Bir üçgende bir yan kenarın ortasıyla komşu yan kenarın ortasını birleştiren doğruya orta taban denir; orta taban üçgenin tabanına paraleldir ve uzunluğu tabanın yarısına eşittir.

Basit örnek

Benzerlik oranı k = 2 olan iki üçgende küçük üçgenin bir kenarı 5 cm ise büyük üçgende karşılık gelen kenar 2·5 = 10 cm olur. Kenarlar 2 katına çıktığında çevre de 2 katına çıkar, bu yüzden çevrelerin oranı da k = 2 olur.

Adım adım çözüm

İki paralel doğru arasında kalan üç doğru AB ve CD doğrularını kesmektedir. AB doğrusunda parçalar 6 cm ve 9 cm, CD doğrusunda birinci parça 4 cm ise ikinci parça kaç cmdir? Birinci adım: Thales teoremine göre 6/9 = 4/x oranı yazılır. İkinci adım: içler dışlar çarpımı yapılırsa 6·x = 9·4 = 36 olur. Üçüncü adım: iki taraf 6'ya bölünür ve x = 6 cm bulunur. Buradaki önemli nokta parçaların sırasının her iki doğruda da aynı tutulmasıdır; ters yazılan oran yanlış sonuç verir.

İleri örnek

Bir üçgende iki kenarın uzunluğu 12 cm ve 14 cm, üçüncü kenar 10 cm ise 12 cm ve 14 cm kenarlarının orta noktalarını birleştiren orta tabanın uzunluğu kaç cmdir? Orta taban, komşu iki kenarın ortasını birleştirir ve üçüncü kenara paraleldir; uzunluğu üçüncü kenarın yarısıdır. Buna göre 10/2 = 5 cm bulunur. Eğer aynı üçgenin 10 cm ve 12 cm kenarlarının ortası birleştirilseydi orta taban 14/2 = 7 cm olurdu; bu durum orta tabanın hangi kenarların ortasını birleştirdiğine bağlı olduğunu gösterir.

Kavram karşılaştırma tablosu

Aşağıdaki tabloda üç benzerlik kriteri ve her kriterin gereksinimleri yan yana karşılaştırılmıştır.

Sık yapılan hatalar

Alan oranı k değil k² dir; benzerlik oranı 2 olan üçgenlerdekenarlar 2 katına çıkar ama alanlar 4 katına çıkar. Thales oranı yazılırken karşılıklı parçaların sırası karıştırılmamalıdır; ilk doğrunun küçük parçası ile ikinci doğrunun küçük parçası eşleştirilmelidir. Benzerlik yazımında ABC ~ DEF denince A ile D, B ile E, C ile F açıları eşit demektir; harflerin sırası yanlış yazılırsa kenar eşleşmesi bozulur. Orta tabanı komşu kenarların ortasını birleştiren doğru olarak değil tabanın orta noktasını köşeye bağlayan doğru olarak karıştırmak yaygın bir hatadır.

Özet

Karşılıklı açıları eşit ve karşılıklı kenarları aynı oranda olan üçgenler benzerdir; bu oran benzerlik oranı k ile gösterilir. Benzerlik AA, SSk ve SSS kriterleriyle sağlanır; benzer üçgenlerde çevreler k, alanlar k² oranındadır. Thales teoremi paralel doğruların kestiği doğrular üzerindeki parçaların orantılı olduğunu söyler. Bir üçgende iki yan kenarın ortasını birleştiren orta taban tabana paraleldir ve uzunluğu tabanın yarısına eşittir.

Kendini dene

Benzerlik oranı 3/2 olan iki üçgenin alanlarının oranının 9/4 olduğunu doğrulayınız. Ayrıca kenarları 6 cm, 8 cm ve 10 cm olan üçgende 6 ile 8 kenarlarının ortasını birleştiren orta tabanın 5 cm olduğunu hesaplayarak kontrol ediniz.