Üçgende Yardımcı Elemanlar ve Alan

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz

Üçgen içindeki yardımcı elemanlar olan yükseklik, ağırlık, kenarortay ve açıortayın tanımlarını ve birbirleriyle ilişkilerini öğreneceğiz. Bu elemanların yardımıyla üçgenin alanını taban yükseklik çarpımının yarısı olarak hesaplayacak, eşkenar üçgende alanı tek bir formülle bulacağız. Ayrıca üç kenar uzunluğu verilen üçgenlerde Heron formülünü kullanacak ve dik üçgende Pisagor bağıntısıyla alan hesaplamalarını birleştireceğiz.

Ön bilgi

Bu bölümü anlamak için üçgende temel parçaların adlarını ve açılar toplamının 180° olduğunu bilmek yeterlidir.

• Köşe: Üçgenin adlandırılmış noktalarıdır, büyük harflerle gösterilir.
• Kenar: İki köşeyi birleştiren doğru parçasıdır, karşı köşe ile aynı adla çağrılır.
• Açı: İki kenarın buluştuğu yerde oluşan bölge, derece ile ölçülür.

Kavramlar ve Temel Tanımlar

Yükseklik: Bir köşeden çizilen ve karşı kenara (gerekiyorsa uzantısına) dik doğru parçasına üçgenin yüksekliği denir. Ağırlık: Bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasıdır; her üçgende üç ağırlık vardır ve bu üç doğru tek bir noktada kesişir. Bu kesişim noktasına ağırlık merkezi denir ve merkez ile köşe arasındaki parça, merkez ile kenar orta noktası arasındaki parçanın iki katıdır. Kenarortay: Bir köşedeki açıyı iki eş açıya bölen ve karşı kenarda sonlanan doğru parçasıdır. Açıortay: Bir kenarın iç teğet çemberinde önemli bir eşitlik verir: açıortayın ayırdığı karşı kenar parçalarının oranı, komşu kenarların oranına eşittir. Üçgende alan ise bir taban ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Eşkenar üçgende bütün açılar 60° olduğundan yükseklik, ağırlık ve açıortay aynı doğrudur; alan a²√3/4 ile bulunur. Üç kenarı a, b, c olan bir üçgenin yarıçevresi Ü ise Heron formülüne göre Alan² = Ü(Ü-a)(Ü-b)(Ü-c) yazılabilir.

Basit örnek

Tabanı 12 cm, bu tabana ait yüksekliği 5 cm olan bir üçgenin alanını hesaplayalım. Alan = 12 · 5 / 2 = 30 cm² olur. Yükseklik tabanın uzantısına çizilse bile işaret aynıdır; işaretlemeye dikkat edilmelidir.

Adım adım çözüm

Kenar uzunlukları 13 cm, 14 cm ve 15 cm olan bir üçgenin alanını bulalım. Birinci adım: yarıçevre Ü = (13+14+15)/2 = 21 bulunur. İkinci adım: Heron ifadesi açılır, Alan² = 21·(21-13)·(21-14)·(21-15) = 21·8·7·6 = 7056 yazılır. Üçüncü adım: karekök alınır, 7056 = 84² olduğundan alan 84 cm² olur. Bu örnekte üçgenin dik olmadığını, yalnızca taban ve yükseklik bulmadan doğrudan alana ulaşıldığını görmekteyiz.

İleri örnek

Çevresi 24 cm olan eşkenar üçgenin alanını hesaplayalım. Bir kenar a = 24/3 = 8 cm olur. Alan = a²√3/4 = 64√3/4 = 16√3 ≈ 27,7 cm² bulunur. √3 yerine 1,73 konulursa 16·1,73 = 27,7 olur. Eşkenar üçgende yüksekliğin h = a√3/2 = 4√3 ≈ 6,9 cm olduğu da ayrıca doğrulanabilir.

Kavram karşılaştırma tablosu

Aşağıdaki tabloda dört yardımcı elemanın tanımı ve eşkenar üçgendeki karşılığı yan yana verilmiştir.

Sık yapılan hatalar

Yükseklik ile yan kenar karıştırılmamalıdır; yükseklik her zaman bir tabana düşelendir. Eşkenar üçgende alan formülüne kenar uzunluğu yerine çevre konulması yanlış sonuç verir. Heron formülünde yarıçevre yerine çevrenin kendisi kullanılırsa çarpım negatif çıkar. Pisagor bağıntısı yalnızca dik üçgende geçerlidir, her üçgende uygulanamaz.

Özet

Yükseklik, ağırlık, kenarortay ve açıortay üçgenin dört temel yardımcı elemanıdır; ağırlıklar tek bir noktada, ağırlık merkezinde kesişir ve bu nokta köşeyi 2/1 oranında böler. Üçgen alanı taban ile tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Eşkenar üçgende alan a²√3/4 formülüyle tek hamlede bulunur; üç kenar biliniyorsa Heron formülü kullanılır. Dik üçgende alan hesabı Pisagor bağıntısıyla (a²+b²=c²) birleştirilebilir.

Kendini dene

Kenarları 9 cm, 12 cm ve 15 cm olan üçgenin alanını hem taban yükseklik yoluyla hem Heron formülüyle dene; iki yolda da 54 cm² bulmalısın. Ayrıca çevresi 36 cm olan bir eşkenar üçgenin alanını hesaplayınca 36√3 ≈ 62,3 cm² çıkıp çıkmadığını kontrol et.