Üçgende Kenar ve Açı İlişkileri

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz

Bu derste üçgenin kenarları ile açıları arasındaki temel ilişkileri öğreneceksin. Üçgen eşitsizliği, iç açılar toplamı, dış açı teoremi ve kenar-açı sıralamasını günlük yaşam problemleriyle birlikte inceleyeceğiz.

Ön bilgi

Ders için açı ölçme ile temel cebir işlemlerini bilmek yeterlidir.

• iç açı: üçgenin köşelerinde bulunan üç açının her biridir.
• dış açı: bir kenarın uzatılmasıyla oluşan ve komşu iç açıyla birlikte 180° yapan açıdır.
• kenar: iki köşeyi birleştiren doğru parçasıdır; karşısındaki açı ile doğrudan ilişkilidir.
• ikizkenar üçgen: iki kenarı eşit olan, eşit kenarların karşısındaki taban açıları eşit olan üçgendir.

Kavramlar ve Temel Tanımlar

Bir üçgende iç açıların toplamı her zaman 180°'dir. Üçgen eşitsizliğine göre herhangi iki kenar uzunluğunun toplamı üçüncü kenardan büyük olmalıdır; buna göre a kenarı için |b - c| < a < b + c eşitsizliği yazılır. Dış açı teoremine göre bir üçgende herhangi bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir. Kenarlar ile açılar arasında sıralama ilişkisi vardır: en uzun kenarın karşısında en büyük açı, en kısa kenarın karşısında en küçük açı bulunur. İkizkenar üçgende taban açıları eşittir; eşkenar üçgende ise üç kenar ve üç açı da eşit olup her açı 60°'dir.

Basit örnek

Bir üçgende iki iç açının ölçüsü 45° ve 75° ise üçüncü açı 180° - (45° + 75°) = 60° olarak bulunur.

Adım adım çözüm

Kenar uzunlukları 6 cm ve 10 cm olan bir üçgenin üçüncü kenarı x ise üçgen eşitsizliğinden 10 - 6 < x < 10 + 6 yazılır. Yani 4 < x < 16 aralığında olmalıdır; x'in alabileceği en büyük tam sayı 15, en küçük tam sayı 5'tir.

İleri örnek

ABC üçgeninde A açısı 50° ve B açısı 60° ise C açısı 70° olur. Açıları küçükten büyüğe sıraladığımızda A < B < C olur; kenarlarda da karşılık gelen sıralama a < b < c biçiminde elde edilir. Yani en uzun kenar c, en kısa kenar a'dır.

Kavram karşılaştırma tablosu

Tabloda üçgende kenar ve açı ilişkilerini birbirinden ayıran temel kurallar yan yana verilmiştir.

Sık yapılan hatalar

Üçgen eşitsizliğini tek yönlü yazmak yaygın bir hatadır; üçüncü kenar farktan büyük ve toplamdan küçük olmak zorundadır. Dış açı ile komşu iç açının toplamını dış açı teoremi sanmak da sık görülür. Ayrıca en kısa kenarın karşısındaki açıyı en büyük açı olarak yazmak sıralamayı ters çevirir.

Özet

Üçgende iç açıların toplamı 180°, dış açıların toplamı 360°'dir. Her dış açı komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir ve üçgen eşitsizliği kenarlar arasındaki sınırları belirler. Kenarlar ile açılar arasındaki sıralama ilişkisi sayesinde hangi kenarın daha uzun olduğu açılardan okunabilir.

Kendini dene

İç açılarının ölçüleri 35°, 65° ve 80° olan bir üçgende kenarları küçükten büyüğe sıralamayı dene; hangi kenarın karşısında hangi açının olduğunu yazarak çöz.