Üçgenler

Konu Anlatımı

Bu Konuda Neler Öğreneceğiz?

Üçgen, düzlemde kapalı bir bölge oluşturan en temel şekildir. Üç kenarı, üç açısı ve değişmez bir toplamı vardır. Bu değişmezlik, üçgenle ilgili hemen bütün soruların temeli olur.

Bu konuda iki farklı bakış açısı birlikte kullanılır. Birincisi açı tarafıdır: iç açılar toplanır, dış açı komşu iç açının tümleyenidir. İkincisi kenar tarafıdır: üçgen eşitsizliği kenarlara sınır koyar, benzerlik kenarlar arası oranı belirler, pisagor bağıntısı ise dik üçgende kenarları birbirine bağlar.

Ön Bilgi: Düz Açı ve Karekök

Bir düz açının ölçüsü 180 derecedir. Bir açının komşu dış açısı bu düz açıdan açının çıkarılmasıyla bulunur, yani 180 dereceden açı çıkarılır.

Karekök alma işlemi, bir sayının karesinin kökünü bulur. Pisagor bağıntısında iki dik kenarın karelerinin toplamı her zaman bir tam kare olduğundan sonuç genellikle tam sayı olarak çıkar ve karekökü kolayca bulunur.

Temel Kurallar

Üçgen eşitsizliği: Bir kenar, diğer iki kenarın toplamından küçük ve farkından büyük olmalıdır. Sınırlar dışarıda kalır; kenarlar tam eşitlikte üçgen oluşturmaz.

İç açılar toplamı: Bir üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir. Bir dış açının ölçüsü, ona komşu olmayan iç açının dışına bakan açısına eşittir.

Pisagor bağıntısı: Dik üçgende iki dik kenarın karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir. Alan, dik kenarların çarpımının yarısıdır.

Benzerlik: Benzer üçgenlerde kenarların karşılıklı oranları eşittir. Bu ortak oran benzerlik katsayısıdır ve çevre oranına eşittir.

Açı ile kenar sırası: Bir üçgende en büyük açı en uzun kenarın, en küçük açı en kısa kenarın karşısındadır. 30 derecelik açının karşısındaki kenar, hipotenüzün yarısıdır.

Kavram Karşılaştırma Tablosu

Bu tablo, üçgende bir kenarı bulmak için kullanılan yöntemleri karşılaştırır. Sağ sütundaki yöntem, verilen bilgiye göre seçilecek işlemi gösterir.

Adım Adım Çözülmüş Örnek

Adım 1 — Verilenleri ve isteneni ayırın. Kenar mı açı mı verildiği, hangisinin bulunacağı yazılır. Üç kenar verilmişse alan ya da çevre aranıyordur.

Adım 2 — Şeklin türünü belirleyin. Kenarların karelerinin toplamı üçüncü kenarın karesine eşitse dik üçgendir ve pisagor bağıntısı kullanılır.

Adım 3 — Bağıntıyı uygulayın. Dik üçgende kare alınır, toplanır ve karekök bulunur. Benzer üçgende oran kurulur. Üçgen eşitsizliğinde sınırlar yazılır ve taraf dışarıda bırakılır.

Adım 4 — Sonucu denetleyin. Alan sonucu birim kare olmalıdır. Dik üçgende hipotenüz, iki dik kenardan da büyük olmalıdır. Üçgen eşitsizliğinde bulunan değer kenar toplamına eşit olamaz.

Sık Yapılan Hatalar

Üçgen sorularındaki hatalar, çoğu zaman bağıntının yanlış kullanılmasından ya da sınır değerlerin açık uçlu kabul edilmesinden kaynaklanır.

• Üçgen eşitsizliğinde eşitliği kabul etmek: Bir kenar diğer iki kenarın toplamına tam eşitse üçgen oluşmaz; en büyük değer bu yüzden bir eksiltilerek bulunur.
• Dış açıyı komşu iç açı sanmak: Dış açı, komşu olmayan iç açıya eşittir; komşu iç açıyla arasındaki ilişki tümleyenliktir.
• Alan hesabında hipotenüzü kullanmak: Dik üçgenin alanında yalnızca birbirine dik olan iki kenar kullanılır.
• Benzerlikte alan oranını katsayı sanmak: Çevre oranı benzerlik katsayısına eşittir, alan oranı ise katsayının karesine eşittir.
• Açı sırası ile kenar sırasını ayırmamak: Üçgende büyük açı büyük kenarın karşısındadır; sıralama yönü aynıdır.
• Birim tutarsızlığı: Uzunluk birimle, alan birim kareyle verilir; sonuçta birim de doğru yazılmalıdır.

Özet

Üçgende bir kenar, diğer iki kenarın toplamından küçük olmalıdır. Bir üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir. Bir dış açının ölçüsü, ona komşu olmayan iç açının dışına bakan açısına eşittir ve bir iç açının komşu dış açısı o iç açının tümleyenidir. Üçgen eşitsizliğine göre bir kenar, diğer iki kenarın toplamından küçük ve farkından büyük olmalıdır; taraf dışarıda kalır. Dik üçgende iki dik kenarın karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir, alan ise dik kenarların çarpımının yarısıdır. Benzer üçgenlerde kenarların karşılıklı oranları eşittir; bu oran benzerlik katsayısıdır ve çevre oranına eşittir. Alan oranı ise benzerlik katsayısının karesidir. Üçgende açı ile kenar sıralaması aynı yöndedir; 30 derecelik açının karşısındaki kenar hipotenüzün yarısıdır.

Kendi kendine dene: Bir kâğıt katlayarak bir dik üçgen oluştur ve kenarlarını ölç. Ölçtüğün değerlerin gerçekten pisagor bağıntısını sağlayıp sağlamadığını denetle. Sonra aynı üçgenden bir dik açının karşısında kalan kenarı sil ve yerine daha büyük bir dik açı çiz; hangi kenarların değiştiğini yaz. Üçüncü adımda bir üçgenin kenarı yerine geçebileceği en büyük ve en küçük değerleri üçgen eşitsizliğiyle bulup bu değerlerin neden ulaşılamadığını açıkla.

Ne Öğreneceğiz

Üçgen eşitsizliği, açı ilişkileri, dış açı, benzerlik, oran bağıntıları ve dik üçgen özelliklerini kullanarak üçgen problemlerini çözme becerisi. Bu konuda ögrenme çıktıları:

• Üçgen eşitsizliğini uygulayarak bir kenarın alabileceği değer aralığını bulur.
• Üçgenin iç açıları toplamı ile bir iç açının komşu dış açısını hesaplar.
• Dik üçgende pisagor bağıntısıyla kenar ve alan hesaplar.
• Benzer üçgenlerde benzerlik katsayısını ve alan oranını kullanır.
• Üçgende açı ile kenar sıralamasının aynı yönde olduğunu uygular.
• Kenar ortası, orta nokta ve açıortay gibi özel doğruları tanır.
• Gerçek ölçümlerden üçgen kurarak kenar uzunluğu ya da alan hesaplar.

Basit Örnek ve Günlük Yaşam

Günlük yaşamda ve mesleki bağlamda bir uygulama:

Soru: İki kenarı 5 ve 9 olan üçgende üçüncü kenarın en büyük tam sayı değeri kaçtır?

1. Alt sınır hesaplanır.
2. Üst sınır hesaplanır.
3. Üst sınır bir eksiltilir.

Sonuç/cevap: 13

İleri Örnek

Daha ileri bir uygulama:

Soru: Bir iç açısı 48 derece olan üçgende o açının komşu dış açısı kaç derecedir?

1. Düz açı yazılır.
2. İç açı çıkarılır.
3. Sonuç bulunur.

Sonuç/cevap: 132

Kendini Dene

Soru: Üçgen eşitsizliğini açıklayınız ve bir kenarın neden kenar toplamına eşit olamayacağını gerekçesiyle yazınız.

Örnek cevap: Puanlama anahtarı: Üçgen eşitsizliğinin ifadesi verilir (4 puan). Alt sınır açıklanır (3 puan). Üst sınır açıklanır (4 puan). Eşitlik hâlinde neden üçgen oluşmadığı gerekçesiyle yazılır (4 puan).