Olasılık

Konu Anlatımı

Bu Konuda Neler Öğreneceğiz?

Rastgele bir seçimde bir olayın ne kadar sık gerçekleşebileceğini sayısal olarak ifade etmek olasılık biliminin işidir. Olasılık bir tahmin değil, eşit kabul edilen durumların oranıdır. Bir zarın altı yüzü, bir deste kartın elli iki kartı eşit olasılıklı olduğu için sayım yapılabilir.

Bu konudaki sorular çoğunlukla iki biçimdedir: ya bir oran bulunur ya da bir olayın kaç durumdan gerçekleşebildiği sayılır. İkinci biçim özellikle sıralı çekilişlerde kullanılır ve çözümü gerekçelendirmeyi kolaylaştırır.

Ön Bilgi: Oran, Bölme ve Sayma

Bir büyüklüğün başka bir büyüklüğe oranı, bölme işlemiyle bulunur. Olasılıkta kullanılan oranın paydası her zaman eşit olasılıklı kabul edilen bütün sonuçların toplamıdır; pay ise olayı gerçekleştiren sonuçların sayısıdır.

Sıralı çiftlerde sıra önemlidir: ilk çekiliş kırmızı ikinci çekiliş beyaz olmakla, tersi olmak farklı durumlardır. Seçimlerde ise sıra önemsizdir ve sıralı çiftler bölünerek elde edilir.

Temel Kurallar

Klasik olasılık tanımı: Bir olayın olasılığı, deneyde eşit olasılıklı sonuç sayısına bölünür. Olasılık her zaman 0 ile 1 arasındadır; 0 imkânsız, 1 kesin sonucu belirtir.

Tümleyen olay: Bir olayın gerçekleşmediği durum onun tümleyenidir. Bir olay ile tümleyenin olasılıkları toplandığında tam bir elde edilir.

Bağımsız olay: Bir olayın gerçekleşmesi diğerinin olasılıklarını değiştirmiyorsa olaylar bağımsızdır ve olasılıkları çarpılır.

Bağımlı olay: Bir olayın sonucu diğer olayın olasılık seçeneklerini değiştiriyorsa olaylar bağımlıdır. İkinci çekilişte seçenek sayısı bir azalır.

Bileşik olay: İki deneyin birlikte oluşturduğu toplam sonuç sayısı, iki deneyin olası sonuç sayılarının çarpımıdır; olayın gerçekleşebileceği durumlar bu toplam içinden sayılır.

Kavram Karşılaştırma Tablosu

Bu tablo, olay türlerini olasılık değerleri ve deney yapısı açısından karşılaştırır. Olasılık sorusunda önce olayın türü, sonra sonuç sayısının nasıl sayılacağı belirlenir.

Adım Adım Çözülmüş Örnek

Adım 1 — Deneyi ve olayı belirleyin. Neyin seçildiği, kaç seçeneğin olduğu ve olayın tam olarak neyi gerektirdiği yazılır.

Adım 2 — Toplam sonuç sayısını bulun. Tek seçimde bu sayı nesne sayısıdır. İki bağımsız seçimde iki sayının çarpımıdır. Kartezyen çarpım düşünülür.

Adım 3 — Olayı sağlayan durumları sayın. Olayın gerçekleştiği her sonuç ayrı ayrı sayılır. Sıra önemliyse sıralı çift, önemsizse seçim sayılır.

Adım 4 — Oranı kurup denetleyin. Olayı sağlayan durum sayısının toplamdan küçük olması gerekir. Eşitlik hâlinde kesin olay, oranın sıfır olması hâlinde imkânsız olay söz konusudur.

Sık Yapılan Hatalar

Olasılık hataları genellikle paydanın yanlış seçilmesinden ya da bağımlılık ile bağımsızlığın karıştırılmasından kaynaklanır.

• Paydayı daraltmak: Payda olayda geçen nesnelerin sayısı değil, deneydeki bütün eşit olasılıklı sonuçların sayısıdır.
• Tümleyeni atlamak: Kolay olan tarafı saymak, zor olan tarafı bulmakla aynı sonucu verir; her zaman daha az sayılan taraf seçilmelidir.
• Bağımlılığı görmezden gelmek: Torbadan ilk top çekildikten sonra torbada bir top azaldığı için ikinci çekilişin seçenek sayısı değişir.
• Sırayı gereksiz yere saymak: Çekilişler sırayla yapıldığı için sıralı çift sayılır; sıra önemsiz bir seçimde çift sayılar bölünerek elde edilir.
• Olasılığı yüzde dışında bırakmak: Olasılık 0 ile 1 arasında bir değerdir; yüzde karşılaştırması yapılırken doğru çarpanla dönüştürülmelidir.
• Olayın tümünü sağlamadan saymak: Olay "her ikisinin birden" gibi bileşik bir koşul içeriyorsa bütün koşulların aynı anda sağlanması gerekir.

Özet

Olasılık, uygun durum sayısının toplam durum sayısına bölümüdür. Klasik olasılık tanımına göre bir olayın olasılığı, eşit olasılıklı deneyde olayı sağlayan sonuç sayısının toplam sonuç sayısına bölünmesiyle bulunur. Bir olayın tümleyeni, o olayın gerçekleşmediği durumdur ve olasılıkları toplandığında tam bir elde edilir. Her zaman gerçekleşen olayın olasılığı tam bir, hiç gerçekleşmeyenin olasılığı sıfırdır. İki olay bağımsızsa olasılıkları çarpılır. Bir olay diğerinin olasılık seçeneklerini değiştiriyorsa olaylar bağımlıdır ve hesap sırayla yapılır. İki deneyin toplam sonuç sayısı, olası sonuç sayılarının çarpımına eşittir. Sıralı çiftlerde sıra önemlidir ve seçim sırasının belirleyip belirlemediğine göre yöntem değişir.

Kendi kendine dene: Evde bir tencereye farklı sayıda beyaz ve renkli şeker koy ve karıştır. Tek şeker çektiğinde rengi ne olursa olsun deneyi yüzde olarak hesapla, sonra arşivlenmiş olanların tümleyenini de ayrıca bul. Aynı işlemi iki çekiliş için iki kez yap: birinde torbadan çekilen şeker geri konmadan, diğerinde geri konarak. İki durumda da ikinci çekilişin seçenek sayısını yaz ve olasılıkların neden aynı olmadığını ya da neden aynı kaldığını açıkla.

Ne Öğreneceğiz

Bir olayın gerçekleşme olasılığını hesaplama, tümleyen olay ve bileşik olay yoluyla çözüm üretme, bağımlı olaylarla çalışma ve kesikli deney sonuçlarını yorumlama becerisi. Bu konuda ögrenme çıktıları:

• Bir olayın olasılığını, uygun sonuç sayısının tüm sonuç sayısına bölünmesiyle bulur.
• Tümleyen olayın olasılığını, bir olayın tümleyeni üzerinden hesaplar.
• Kesin ve imkânsız olayların olasılıklarını belirtir.
• Bağımlı ve bağımsız olayları ayırt eder ve buna uygun yöntemi seçer.
• İki deneyin birlikte oluşturduğu sonuç sayısını çarpma yoluyla bulur.
• Sıralı çift ve alt küme sayılarını kullanarak bileşik olayları sayar.
• Günlük hayattan rastgele seçim problemlerinde uygun paydayı seçer.

Basit Örnek ve Günlük Yaşam

Günlük yaşamda ve mesleki bağlamda bir uygulama:

Soru: Bir zar atıldığında tek sayı gelme olasılığı yüzde kaçtır?

1. Toplam sonuç sayısı bulunur.
2. Olayı sağlayan sonuçlar sayılır.
3. Oran yüzdeye çevrilir.

Sonuç/cevap: 50

İleri Örnek

Daha ileri bir uygulama:

Soru: 4 kırmızı 5 mavi top varken kırmızı sonra mavi gelme sıralı çifti kaç tanedir?

1. Seçenekler belirlenir.
2. Çarpım yapılır.
3. Sonuç yazılır.

Sonuç/cevap: 20

Kendini Dene

Soru: Bir olayın tümleyeninin olasılığını kullanarak, bir zar atma deneyinde istenen sayının gelme olasılığını bulunuz ve yöntemin avantajını yazınız.

Örnek cevap: Puanlama anahtarı: Olay ve tümleyeni tanımlanır (3 puan). Toplam sonuç sayısı yazılır (3 puan). Kolay tarafın sayısı bulunur (3 puan). Tümleyenin olasılığı çıkarılır (4 puan). Yöntemin avantajı yazılır (2 puan).