Konu Anlatımı
Bu Konuda Neler Öğreneceğiz?
Dört kenarlı kapalı şekiller, dörtgen adı altında toplanır. Bunların en temiz özellikleri paralelkenardır; dikdörtgen ve kare bu aileden gelir, eşkenar dörtgen ise paralel olmayan bir dörtgendir. Yamuk ise yalnız bir çifti paralel kenara sahiptir.
Bu konuda ölçüm yapmak önemlidir. Bir arsanın çevresi, bir dikdörtgen yerleştirmenin en az yer kaplaması, bir bahçe parçasının ekim alanı gibi gerçek durumlar hep dörtgen bağıntılarıyla çözülür. Yükseklik ve köşegen çizmek, çözümün en hızlı yoludur.
Ön Bilgi: Üçgen ve Dörtgen
Dörtgenler, köşegenleri çizilerek üçgenlere ayrılabilir. Bu ayrım, dikdörtgen ve karede karekök kullanmayı sağlar; köşegen, oluşan dik üçgenin hipotenüsü olur.
Çokgenlerin iç açıları toplamı, köşe sayısından iki çıkarıldıktan sonra kalanın iki yüz derece ile çarpımıdır. Köşegen sayısı ise köşelerin ikişerli çarpımlarının toplamıdır. Bu iki sayı birbirinden bağımsız hesaplanır.
Temel Kurallar
Paralelkenar: Karşılıklı kenarları ve karşılıklı açıları eşittir. Komşu açıları tümleyendir. Köşegenleri birbirini eşit böler ve alanı tabanıyla yüksekliğinin çarpımına eşittir.
Dikdörtgen ve kare: Dikdörtgende köşegen, iki kenarın karesinin toplamına eşittir. Karede köşegenler eşit ve dik olduğundan alan, köşegenin karesinin yarısına eşittir.
Eşkenar dörtgen: Köşegenleri birbirine eşittir ve dik kesişirler. Bu köşegenler dörtgeni dört eşit dik üçgene böler.
Yamuk: Yalnız bir çift kenarı paraleldir. Alanı tabanlarının toplamının yarısı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir. Bir yanağının yatay izdüşümü tabanlar arasındaki farktır.
Dörtgen ve çokgen: Bir dörtgenin iç açıları toplamı 360 derecedir. Bir çokgenin köşegen sayısı, köşe sayısının bir eksiğiyle kendisinin çarpımının yarısına eşittir.
Kavram Karşılaştırma Tablosu
Bu tablo, dörtgen türlerinin temel özelliklerini yan yana koyar. Soru türü ile satır eşleştirildiğinde kullanılacak bağıntı doğrudan bulunur.
| Dörtgen türü | Öne çıkan özellik | Alan bağıntısı |
|---|
| Paralelkenar | Karşılıklı kenarlar ve açılar eşit | Taban çarpı yükseklik |
| Dikdörtgen | Bütün açılar dik, köşegenler eşit | Uzun kenar çarpı kısa kenar |
| Kare | Dikdörtgen ve eşkenar dörtgenin ortak özellikleri | Köşegen karesinin yarısı |
| Eşkenar dörtgen | Köşegenler eşit ve dik | Köşegenler çarpımının yarısı |
| Yamuk | Yalnız bir çift kenar paralel | Tabanlar toplamının yarısı çarpı yükseklik |
Adım Adım Çözülmüş Örnek
Adım 1 — Şeklin türünü belirleyin. Verilen şeklin paralelkenar mı, dikdörtgen mi, kare mi, eşkenar dörtgen mi yoksa yamuk mu olduğu tespit edilir.
Adım 2 — Bilinenleri eşleştirin. Kenar çiftleri, açı çiftleri ve köşegen değerleri hangi bağıntılara karşılık gelir, yazılır.
Adım 3 — Bağıntıyı uygulayın. Köşegen soruluyorsa kareler alınır ve karekök bulunur; alan soruluyorsa taban ile yükseklik çarpılır; çevre soruluyorsa kenar çiftleri toplanır.
Adım 4 — Sonucu mantıksal olarak denetleyin. Paralelkenarda bir köşegen diğerinden uzun olabilir ama hiçbiri iki kenarın toplamından büyük olamaz. Karenin köşegeni kenarından büyük, alanı ise karesinden küçüktür.
Sık Yapılan Hatalar
Dörtgen hataları çoğunlukla kenar çiftlerinin eşitliğini ya da köşegenin hipotenüs olarak kullanılmasını gözden kaçırmaktan kaynaklanır.
- Çevrede kenar çiftini iki kez saymamak: Paralelkenar ve dikdörtgende karşılıklı kenarlar eşittir; çevre iki kenarın toplamının iki katıdır ve kenar çiftini iki kez saymak sonucu iki katına çıkarır.
- Komşu açıları eşit saymak: Paralelkenarda karşılıklı açılar eşittir, komşu açılar tümleyendir; komşu açıları eşit kabul etmek yanlış sonuç verir.
- Dikdörtgen köşegeninde karekökü atlamak: Köşegen bulunurken önce kenarlar karelenir, toplanır ve sonra karekök alınır.
- Yamuk alanında taban farkını kullanmak: Yamuk alanında tabanların toplamı kullanılır; fark alan için kullanılmaz, yalnız yanağın yatay izdüşümünü verir.
- Eşkenar dörtgende köşegenleri farklı almak: Eşkenar dörtgende köşegenler eşittir; farklı köşegen verilmişse o şekil eşkenar dörtgen değildir.
- Köşegen sayısını köşe sayısı sanmak: Köşegen sayısı köşe sayısından daha büyüktür ve köşelerin ikişerli çarpımlarıyla bulunur.
Özet
Dörtgende karşılıklı kenarlar ve açılar eşittir, komşu açılar tümleyendir. Paralelkenarda karşılıklı kenarlar ve açılar eşit, komşu açılar tümleyendir; çevre iki kenarın toplamının iki katıdır ve alanı tabanıyla yüksekliğinin çarpımına eşittir. Köşegenler birbirini eşit böler ve köşegenlerin karelerinin toplamı, kenar karelerinin toplamının iki katına eşittir. Dikdörtgende köşegen iki kenarın karelerinin toplamının kareköküdür. Karede köşegenler eşit ve dik olduğundan alan köşegenin karesinin yarısıdır. Eşkenar dörtgende köşegenler eşit ve dik kesişir. Yamukta yalnız bir çift kenar paraleldir; alanı tabanlarının toplamının yarısıyla yüksekliğinin çarpımına eşittir. Dörtgenin iç açıları toplamı 360 derecedir. Çokgenin köşegen sayısı, köşe sayısının bir eksiğiyle kendisinin çarpımının yarısına eşittir.
Kendi kendine dene: Bir kağıt kâğıt kullanarak bir dikdörtgen ve ondan kestiğin bir kare çiz. Dikdörtgenin köşegenini iki dik üçgen olarak ölç ve pisagor bağıntısının sağlanıp sağlanmadığını denetle. Kare için de aynı ölçümü yapıp alanın köşegenin karesinin yarısına eşit olup olmadığını göster. Ardından bir paralelkenar çiz ve köşegenlerini kesiştirerek dört parçanın alanlarının eşit olup olmadığını incele. Son olarak altı köşeli bir çokgenin köşegen sayısını hem çizerek hem de bağıntıyla hesapla ve iki yolun aynı sonucu verdiğini yaz.
Ne Öğreneceğiz
Paralelkenar, dikdörtgen, kare, eşkenar dörtgen ve yamuk gibi dörtgenlerde kenar, açı, köşegen, yükseklik ve alan bağıntılarını kullanarak dörtgen problemlerini çözme becerisi. Bu konuda ögrenme çıktıları:
- Paralelkenarın kenar ve açı bağıntılarından çevre ve açı hesaplar.
- Dikdörtgen ve karede köşegen bağıntısını uygulayarak alan ve kenar bulur.
- Eşkenar dörtgende köşegenlerin eşitliğini ve dikliğini kullanır.
- Yamuğun alanını tabanlarının toplamı ve yüksekliğiyle hesaplar.
- Paralelkenarda köşegenlerin kareler toplamı bağıntısını uygular.
- Bir çokgenin köşegen sayısından köşe sayısını bulur.
- Dörtgende iç açılar toplamının 360 derece olduğunu uygulama çözümlerine katar.
Basit Örnek ve Günlük Yaşam
Günlük yaşamda ve mesleki bağlamda bir uygulama:
Soru: Kenarları 5 ve 8 olan paralelkenarın çevresi kaçtır?
- Kenarlar toplanır.
- Toplam iki ile çarpılır.
- Sonuç yazılır.
Sonuç/cevap: 26
İleri Örnek
Daha ileri bir uygulama:
Soru: Dörtgenin köşegen sayısı kaçtır?
- Köşe sayısı belirlenir.
- Köşeler ikişerli çarpılır.
- Sonuç yazılır.
Sonuç/cevap: 2
Kendini Dene
Soru: Paralelkenar, dikdörtgen ve kare arasındaki bağıntıyı açıklayınız, her birinin diğerlerinden hangi özellikleri devraldığını yazınız.
Örnek cevap: Puanlama anahtarı: Paralelkenarın temel özellikleri yazılır (5 puan). Dikdörtgenin paralelkenardan farkı belirtilir (5 puan). Karenin her ikisinden de devraldığı özellikler yazılır (5 puan). Üçü arasında alan bağıntılarının nasıl değiştiği açıklanır (5 puan).
