Konu Anlatımı
Bu Konuda Neler Öğreneceğiz?
Sayılardan, harflerden, tam sayı kuvvetleri ve toplama çarpma işaretleri bir araya geldiğinde bir cebirsel ifade oluşur. Değişkenin yalnız tam sayı kuvvetleriyle ve negatif olmayan üslerle bulunduğu özel ifadeye polinom denir. Polinomlar, gerçek ölçümlerde maliyet, alan, süre gibi değerleri tek bir kuralla anlatmanın en kısa yoludur.
Bu konuda öğrenilenler doğrudan uygulamada kullanılır. Bir maliyet kuralının belirli bir girdide ne vereceğini bulmak, bir ifadenin hangi değerlerde sıfıra eşit olduğunu belirlemek ve bir ifadeyi daha kullanışlı bir biçime dönüştürmek hep bu başlıkta yapılır. Kalan teoremi ise uzun bölme işlemlerini tek bir yerine koymayla çözer.
Ön Bilgi: Cebirsel İşlemler
Aynı güçteki terimler toplanıp çıkarılırken katsayıları işlem görür, değişken kısımları aynen kalır. Farklı güçteki terimler toplanamaz; bu yüzden bir polinom her zaman benzerliklerine göre toplanmış hâlde yazılır.
İki ifade çarpılırken her terim diğer çarpılan ifadedeki bütün terimlerle eşlenir. Bu nedenle terim sayısı artar. Değişkenin karesi alınırken katsayının da karesi alınır; katsayının karesini almak en sık yapılan hatadır.
Temel Kurallar
Polinom ve derece: Terimleri tam sayı kuvvetlerinden oluşan ifade polinomdur. Derecesi, en yüksek üssü olan terimin üssüdür. Sıfır polinomunun derecesi belirtilmez.
Katsayılar toplamı: Bir polinomun katsayılarının toplamı, kurala 1 yerine konduğunda elde edilen değerdir. Bu kural değişkenin gücü ne olursa olsun geçerlidir.
Çarpanlara ayırma: İki kare farkı iki çarpanın çarpımıdır. Ortak çarpan görüldüğünde her terimden en yüksekli çarpan ortak çarpan olarak alınır.
Kalan teoremi: Bir polinomun birinci dereceden bir ifadeye bölümünden kalanı, polinomun bölünecek değer yerine konmasıyla bulunur. Bölümü bulmaya gerek yoktur.
Kare tamamlama: Baş katsayısı bir olan karesel ifadede x in katsayısının yarısının karesi alınır, sabit terimden çıkarılıp parantezin içine eklenir.
Kavram Karşılaştırma Tablosu
Bu tablo, polinomlarla ilgili sık karıştırılan kavramları ayırır. Sağdaki sütun, kavramın hangi işlemle ya da hangi sayıyla ilgili olduğunu gösterir ve sorunun hangi yöntemle çözüleceğini belirler.
| Kavram | Ne ifade eder | Nasıl bulunur |
|---|
| Derece | En yüksek üssü olan terimin üssü | Terimlere bakarak |
| Katsayılar toplamı | Bütün katsayıların toplamı | Kurala 1 konarak |
| Kökler toplamı | Köklerin toplamı | x katsayısının işaretinin tersi |
| Bölümden kalan | Bölme sonucu artan değer | Değer yerine konarak |
| Baş katsayı | En yüksek üssün katsayısı | En yüksek üssü olan terime bakarak |
Adım Adım Çözülmüş Örnek
Adım 1 — Kuralı terimlerine ayırın. Polinom yazıldığı gibi incelenir, hangi terimin hangi kuvvette ve hangi katsayıyla durduğu yazılır. Sıralama gerekmez ama eksik terim sıfır kabul edilir.
Adım 2 — İşlem sırasına uygun hesaplayın. Kuvvet işlemi, sonra çarpma, sonra toplama ve çıkarma sırasına uyulur. Parantez içindeki kuvvetler ayrı ayrı alınır.
Adım 3 — Kullanılacak kuralı seçin. Değer soruluyorsa yerine koyma, kök soruluyorsa çarpanlara ayırma, bölümden kalan soruluyorsa kalan teoremi kullanılır.
Adım 4 — Sonucu denetleyin. Sabit terim yalnızca sabit terimlerin çarpımıdır. Kökler toplamı x katsayısından, kalan ise yerine konan değerden gelir; bu üçü karıştırılmamalıdır.
Sık Yapılan Hatalar
Polinom hataları genellikle iki yerden kaynaklanır: kuvvet işleminin katsayıya uygulanmaması ve hangi sayının hangi kuraldan geldiğinin ayırt edilememesi.
- Katsayının karesini almamak: x in karesi alınırken katsayının da karesi alınır; yalnız değişkenin karesi alınırsa sonuç yanlış çıkar.
- Katsayılar toplamında kuvvet işlemi yapmak: Katsayılar toplamı için kurala 1 konur ve doğrudan değer alınır; terimleri ayrı ayrı kuvvetlendirmeye gerek yoktur.
- Köklerin toplamı ile çarpımını karıştırmak: Köklerin toplamı x katsayısının işaretinin tersi, çarpımları ise sabit terimdir; bu ikisi yer değiştirilirse sonuç yanlış olur.
- Kalanı bulurken bölümü aramak: Kalan teoremi bölümü hiç aramaz; polinom bölünecek değer yerine konur ve çıkan değer doğrudan kalandır.
- Kare tamalamada çıkarmayı atlamak: Parantezin içine eklenen değer aynı zamanda sabit terimden çıkarılmalıdır; çıkarma yapılmazsa ifade eşdeğer olmaz.
- Derece toplamı ile derece çarpımını karıştırmak: İki polinom çarpıldığında dereceler toplanır; toplama yapılırken derece en yüksek üssü değiştirmez.
Özet
Katsayılar toplamı için kurala 1 konur, kalan için değer yerine konur. Polinom, değişkenin tam sayı kuvvetlerinden oluşan ifadedir ve derecesi en yüksek üssü olan terimin üssüdür. Katsayılarının toplamı, kurala 1 konduğunda elde edilen değerdir. İki kare farkı çarpanlarına ayrılarak çarpan bulmayı kolaylaştırır. Bir polinomun birinci dereceden bir ifadeye bölümünden kalanı, polinomun bölünecek değer yerine konmasıyla bulunur ve bölümü aramaya gerek yoktur. Kare tamalamada x in katsayısının yarısının karesi alınır, bu değer sabit terimden çıkarılıp parantezin içine eklenir. Polinom çarpımında dereceler toplanır. Köklerin toplamı x katsayısının işaretinin tersi, çarpımları ise sabit terimdir.
Kendi kendine dene: Evde bir sınav çalışması planı kur ve çözülen soru sayısına bağlı harcanan süreyi bir polinomla ifade et: sabit bir hazırlık süresi, soru başına sabit bir süre ve soru sayısının karesine bağlı bir tekrar payı olsun. Kuralı yaz, derecesini bul, katsayılar toplamını hesapla ve kurala 5 soru konduğunda sürenin kaç dakika olacağını bul. Sonra aynı ifadeyi kare tamamlama yöntemiyle yeniden yazarak iki biçimin aynı sonucu verdiğini doğrula.
Ne Öğreneceğiz
Polinom tanımı, derece, katsayılar toplamı, çarpanlara ayırma, bölümden kalan bulma ve kare tamamlama yöntemleriyle cebirsel ifadeleri inceleyip sonuçlandırma becerisi. Bu konuda ögrenme çıktıları:
- Polinomu tanımlar ve derecesini, baş katsayısını ve terimlerini belirtir.
- Verilen bir polinom kuralını uygulayarak istendiği girdideki değeri bulur.
- Katsayılar toplamı, köklerin toplamı ve çarpımı kurallarını kullanır.
- İki kare farkı, iki kare toplamı ve ortak çarpan yöntemiyle çarpanları bulur.
- Bölümden kalanı kalan teoremiyle hızlı biçimde hesaplar.
- Kare tamamlama yöntemiyle karesel ifadeyi karesel bir kümeye dönüştürür.
- Polinom toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinde dereceyi izler.
Basit Örnek ve Günlük Yaşam
Günlük yaşamda ve mesleki bağlamda bir uygulama:
Soru: P(x) = 2x karesi eksi 3x artı 1 için P(2) kaçtır?
- Kuvvet işlemleri yapılır.
- Terimler toplanır.
- Sonuç yazılır.
Sonuç/cevap: 3
İleri Örnek
Daha ileri bir uygulama:
Soru: (x artı 2) çarpı (2x eksi 3) çarpımının derecesi kaçtır?
- Her çarpanın derecesi bulunur.
- Dereceler toplanır.
- Sonuç yazılır.
Sonuç/cevap: 2
Kendini Dene
Soru: Katsayılar toplamı kuralını açıklayınız ve iki farklı polinomda bu kuralı kullanarak sonucu doğrulayınız.
Örnek cevap: Puanlama anahtarı: Kural söylenir, katsayılar toplamının kurala 1 konduğunda elde edilen değere eşit olduğu yazılır (5 puan). İlk polinom seçilir ve katsayıları toplanır (4 puan). İkinci polinom seçilir ve aynı işlem tekrarlanır (4 puan). İki sonuç karşılaştırılır (2 puan).
