Konu Anlatımı
Bu Konuda Neler Öğreneceğiz?
Bir kuralın her girdi için tek bir çıktı vermesi, matematikte fonksiyon adıyla anılır. Bir kuvvetin karesi, bir sıcaklığın dönüşümü, bir fiyatın hesaplanması hep bu biçimdedir: girdi belirlenir, kural uygulanır, tek bir çıktı elde edilir. Aynı girdiye iki farklı çıktı veren bir kural fonksiyon değildir.
Bu konunun asıl gücü, sözel olarak anlatılan kuralları sayısal hâle getirmesidir. Sınavda bir kural önce Türkçe cümleyle verilir, öğrenciden bu cümleyi bir kurala çevirmesi istenir. Bu çeviriyi yapabilmek için kavramların ne anlama geldiği bilinmelidir.
Ön Bilgi: Koordinat Düzlemi ve Oran
Bir fonksiyonun kuralı, koordinat düzleminde bir eğri olarak çizilir. Bu eğrinin her noktasının yatay koordinatı tanım kümesinde, düşey koordinatı ise görüntü kümesinde yer alır. Bir fonksiyon grafiğinin düşey eksenle birden çok noktada kesişmesi mümkün değildir.
Doğrusal bir kuralın katsayısı, iki nokta arasındaki değişimlerin oranına denk gelir. Yatay eksende kaç birim ilerlediğimizde düşey eksende kaç birim değiştiğimizi incelemek, katsayıyı bulmanın en hızlı yoludur.
Temel Kurallar
Fonksiyon tanımı: Her elemanı tanım kümesinden bir elemanına bağlayan kurala fonksiyon denir. Aynı girdiye iki farklı çıktı verilemez; iki farklı girdi aynı çıktıyı verebilir.
Tanım ve görüntü kümesi: Kuralın okunduğu küme tanım kümesi, kuralın verdiği değerlerin oluşturduğu küme görüntü kümesidir. Değer atılan bir girdi tanım kümesine dâhil edilmez.
Ters fonksiyon: Bir fonksiyon birebir ve görüntü kümesine sürdürülebilir ise tersi de bir fonksiyondur. Ters kuralda işlemler sırasıyla geriye doğru yürütülür.
Bileşke fonksiyon: İki fonksiyon birleştirildiğinde önce içteki fonksiyon uygulanır, elde edilen değer dıştakinin girdisi olur. Bileşkenin sonucu adım sırasına bağlıdır.
Parçalı tanım: Bir kural, girdinin belli bir koşula uymasına göre farklı biçimlerde tanımlanabilir. Bu durumda önce koşulun hangi tarafta olduğu belirlenir, sonra o parça uygulanır.
Kavram Karşılaştırma Tablosu
Bu tablo, birbirine benzeyen görünen kavramları ayırır. Aralarındaki fark, kuralın okunduğu yere bakılarak anlaşılır: kuralın girdisi hangi kümeden okunuyorsa o küme tanım kümesidir.
| Kavram | Neyi belirtir | Nasıl bulunur |
|---|
| Tanım kümesi | Kuralın okunduğu girdiler | Koşul dışı kalanlar çıkarılır |
| Görüntü kümesi | Kuralın verdiği çıktılar | Kural uygulanarak bulunur |
| Ters fonksiyon | Çıktıdan girdiye dönüş | İşlemler ters sırayla yapılır |
| Bileşke fonksiyon | İki kuralın arka arkaya uygulanması | İçten dışa sırayla |
| Parçalı tanım | Koşula göre değişen kural | Önce koşul belirlenir |
Adım Adım Çözülmüş Örnek
Adım 1 — Girdiyi ve çıktıyı ayırın. Soruda hangi sayının kurala verildiği, hangi sayının sorulduğu açıkça yazılır. Bazen iki farklı sayı verilir ve hangisinin kurala gireceği belirlenmelidir.
Adım 2 — Kuralı işlem sırasına göre uygulayın. Kuvvet işlemi, çarpma ve bölme toplama çıkarmadan önce yapılır. Bileşke kurallarda içteki adım daima önce çalışır.
Adım 3 — Ters kuralda işlemleri geriye çevirin. Ters fonksiyonda işlem sırası değişir; önce eklenen çıkarılır, sonra çarpılan değere bölünür, en son bölünen çarpılır.
Adım 4 — Sonucu birim ve bağlamla denetleyin. Sıcaklık gibi bir büyüklükte sonucun negatif çıkması ya da makul sınırları aşması, işlem sırasında hata yapıldığını gösterir.
Sık Yapılan Hatalar
Fonksiyon konusundaki hatalar çoğunlukla kuralı yanlış yazmaktan ya da işlemleri yanlış sıraya koymaktan kaynaklanır. Doğru kuralı bulmak işin yarısı, sırayı doğru kurmak diğer yarısıdır.
- Ters kuralda işlem sırasını korumak: Ters fonksiyonda ekleme çıkarma, çarpma bölme, bölme çarpma sırasıyla uygulanır; aynı sırayı tekrarlamak yanlış sonuç verir.
- Kuvvet işlemini geciktirmek: Karesel kurallarda kare alma işlemi toplama ve çıkarmadan önce yapılmalıdır; sona bırakılırsa sonuç değişir.
- Değer atılan girdiyi tutmak: Paydası sıfır olan girdiler tanım kümesine giremez; böyle bir eleman kümeden çıkarılır ve eleman sayısı azalır.
- Bileşkede sırayı ters almak: Bileşke fonksiyonda içteki adım önce uygulanır; iki adımın yerini değiştirmek başka bir sonuç verir.
- Parçalı kuralda eşiği atlamak: Eşiğin kendisi üst sayılır; eşiğe eşit bir girdide ikinci parça uygulanır.
- Ters fonksiyonun varlığını denetlememek: Ters fonksiyon ancak fonksiyon birebir ise vardır; birebir olmayan bir kurulun tersi bir kural olsa da bir fonksiyon değildir.
Özet
Kural önce doğru kurulur, işlemler sonra sıraya konur. Fonksiyon, tanım kümesindeki her girdiye tam olarak bir çıktı bağlayan kuraldır. Kuralın okunduğu küme tanım kümesi, verilen değerlerin oluşturduğu küme görüntü kümesidir; paydası sıfır olan girdiler tanım kümesine dâhil edilmez. Doğrusal bir kuralın katsayısı, iki nokta arasındaki değişimin yatay değişime bölünmesiyle bulunur. Ters fonksiyonda işlemler geriye doğru yürütülür: önce eklenen sabit çıkarılır, sonra çarpılan katsayıya bölünür. Bileşke fonksiyonda önce içteki adım, sonra dıştaki adım uygulanır. Parçalı tanımlı kurallarda önce koşulun hangi tarafta olduğu belirlenir. Karesel kurallarda kuvvet işlemi en başta yapılır.
Kendi kendine dene: Evde ışık kullanımını ölçen bir kural kur: saat sayısını girdi alıp harcadığını gösterir. Bu kuralın tanım kümesini, görüntü kümesini yaz ve grafiğini bir koordinat düzleminde çiz. Sonra ters kuralı bulup kendi saatlerin için ters kuralın ne verdiğini karşılaştır. İki farklı kuralı bileşke hâline getirerek hangi sırayla yürütmen gerektiğini açıkla ve parçalı bir kural kurarak eşik değerini belirle.
Ne Öğreneceğiz
Fonksiyonun tanım kümesi, değer kümesi ve görüntü kümesi kavramlarını; fonksiyon grafiklerini, ters fonksiyonu, bileşke fonksiyonu ve parçalı tanımı kullanarak kural uygulayan soruları çözme becerisi. Bu konuda ögrenme çıktıları:
- Fonksiyon, tanım kümesi ve görüntü kümesi kavramlarını tanımlar.
- Verilen bir kuralı uygulayarak istendiği sayısal girdinin değerini bulur.
- İki nokta verilmiş doğrusal bir kuralın çarpıcı katsayısını hesaplar.
- Ters fonksiyonu bulur ve ters kuralı doğru işlem sırasıyla uygular.
- Bileşke fonksiyonda işlemleri içten dışa doğru sırayla yürütür.
- Parçalı tanımlı kurallarda eşiğin hangi tarafta olduğunu belirler.
- Bir grafiğin eksenleri kestiği noktaları denklem çözümüyle ilişkilendirir.
Basit Örnek ve Günlük Yaşam
Günlük yaşamda ve mesleki bağlamda bir uygulama:
Soru: f(x) = 3x + 2 için f(5) kaçtır?
- Girdi kuralın yerine yazılır.
- Çarpma yapılır.
- Sabit eklenir.
Sonuç/cevap: 17
İleri Örnek
Daha ileri bir uygulama:
Soru: f(x) = x² için x eksi 2, 0 ve 1 alınırsa görüntü kümesi nedir?
- Her girdi yerine konur.
- Değerler hesaplanır.
- Sonuçlar kümesi yazılır.
Sonuç/cevap: {4, 0, 1}
Kendini Dene
Soru: Bir fonksiyonun grafik çizimi verilmeden tanım kümesi ile görüntü kümesi arasındaki ilişkiyi açıklayınız.
Örnek cevap: Puanlama anahtarı: Kuralın okunduğu kümenin tanım kümesi olduğu yazılır (4 puan). Kuralın verdiği değerlerin kümesi görüntü kümesi olduğu belirtilir (4 puan). Görüntü kümesinde bir değerin eksik olması durumunda fonksiyon olmayacağı açıklanır (4 puan). Örnek bir kural üzerinden ilişki gösterilir (3 puan).
