Denklem Çözme

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Bu konunun çıkacak sonuçları şunlardır: birinci dereceden denklem kurabilecek ve iki tarafında işlem yaparak çözebilecek, denklemdeki bir terimi diğer taraftan yalnızlaştırabilecek, denklem sorularının gündelik hayat karşılıklarını kurup çözebilecek, denge denklemleriyle bir denklem sisteminin aynı şey olmadığını ayırt edebilecek ve denklem kurarken birim tutarlılığını denetleyebileceksiniz.

Denklem kurma, TYT Matematik testinin temel becerisidir. Bir denklemde bilinmeyen sayısı yerine bir harf konur ve iki taraf eşit olacak biçimde işlem yapılır. Kurgunun doğru kurulup kurulmadığı, çözüm aşamasından önce denklemdeki iki tarafın aynı birimi taşımasıyla denetlenir.

Sınavda en sık yapılan hata, denklemin kendisinde değil, kurulan denklemin sorunun şartlarıyla uyuşmamasında görülür. Bu yüzden denklemi kurduktan sonra "bu denklem sorudaki koşulları gerçekten yansıtıyor mu" diye bir denetim adımı eklemek, hatalı cevabı sınavda fark etmenin en güvenli yoludur.

Ön bilgi: işlem önceliği ve denklem denetimi

Bu konuyu çözmek için bilinmesi gereken üç araç var. Birincisi işlem önceliğidir: çarpma ve bölme, toplama ve çıkarmadan önce yapılır; parantez varsa önce parantez içi hesaplanır. İkincisi, denklemin bir tarafını yalnızlaştırmaktır: bir terimi diğer tarafa taşırken işaret değişir, ortak çarpanı dağıtırken her terime dağıtılır. Üçüncüsü, denetimdir: bulunan çözümü denklemde yerine koyup iki tarafın eşit olup olmadığına bakmak.

Bu üç araç birbirini tamamlar. İşlem önceliği denklemin hangi biçimde yazılacağını belirler, yalnızlaştırma çözümü üretir, denetim ise üretilen çözümün gerçekten doğru olduğunu kanıtlar. Sınavda hızlı çalışmak isteyen öğrenci denetim adımını atlar; bu, sınavın son bölümünde puan kaybının en yaygın nedenidir.

Günlük hayattan örnek

Günlük hayatta denklem kurmanın en tanıdık örneği bileşik faiz hesaplarıdır. Bir bankaya yatırılan paranın her yıl kendi üzerine yüzde 20 kazandığını düşünün. Yatırılan para 500 birimse bir yıl sonra 500 · 1,2 = 600 birim olur. İki yıl sonra 600 · 1,2 = 720 birim olur; dikkat edilirse ikinci yılın kazancı 100 birim değil 120 birimdir. Bu artış, yüzde 20'nin artık 600 üzerinden hesaplandığını gösterir. Burada x yıllık süreyi, 500 · 1,2^x ise toplam tutarı ifade eder; bir denklem kurulursa yıl sayısı bilinen nicelik olarak girer.

İkinci örnek, işçilik hesaplarıdır. Bir usta yanında çırak çalışıyor. Usta tek başına bir işi 12 günde, çırak tek başına 24 günde bitirebiliyor. Birlikte çalışırlarsa iş kaç günde biter? Ustanın bir günde yaptığı iş 1/12, çırağın yaptığı iş 1/24'tür. Toplam 1/12 + 1/24 = 2/24 + 1/24 = 3/24 = 1/8 olur. Yani birlikte bir günde işin 1/8'ini yaparlar ve iş 8 günde biter. Burada denklem kurmak yerine kesirler daha hızlıdır ama, sonucu denklemle doğrulamak her zaman faydalıdır: 1/8 · 8 = 1 olduğu için iş tamamlanır.

Üçüncü örnek, yaş problemleridir. Bir baba ile oğlunun yaşları toplamı 50'dir ve babanın yaşı oğlunun 3 katıdır. Oğlun yaşı x ise babanın yaşı 3x'tir ve x + 3x = 50 yazılır. Buradan 4x = 50 ve x = 12,5 bulunur; babanın yaşı 37,5 olur. Dikkat: yaşın 12,5 çıkması bu tip sorularda olağandır çünkü yaş "bugüne kadar geçen süre" anlamındadır ve kesirli olabilir.

Dördüncü örnek, maliyet karşılaştırmasıdır. Bir servis, sabit bir açılış ücreti ve saat başına değişen bir ücret uyguluyor. Sabit ücret 50 birim, saatlik ücret 20 birimse toplam ücret ücrete bağlı denklemle modellenir. Bu tür modeller, "kaç saatte eşitlenir" gibi karşılaştırma sorularında doğrudan denklem kurmayı gerektirir.

Sınav odaklı örnekler

Aşağıdaki örnekler, sınavda bu konunun en sık karşınıza çıkan üç biçimini örnekler. Her birinde yalnız sonuca değil, sonuca götüren mantık zincirine de bakın.

Soru: 3x - 7 = 2x + 5 denkleminin çözümü kaçtır?
Cevap: 12. Çözüm: 2x'yi her iki taraftan çıkarırsak 3x - 2x - 7 = 5 olur, yani x - 7 = 5. Her iki tarafa 7 ekleyerek x = 12 bulunur. Denetim: 3 · 12 - 7 = 36 - 7 = 29 ve 2 · 12 + 5 = 24 + 5 = 29; iki taraf eşittir.

Soru: 5 katının yarısı, 5'in kaç katıdır?
Cevap: 1/2. Çözüm: Sayı x ise 5 katı 5x'tir ve onun yarısı 5x / 2 olur. Bunu 5x ile karşılaştırırsak 5x / 2 = 1/2 · 5x yazılabilir, yani aranan katsayı 1/2'dir. Buradaki tuzak, 5 katının yarısı ile 5'in yarısının aynı olduğunu sanmaktır; oysa 5 katı 5x olduğu için yarısı 5x / 2'dir ve bu, 5'in x / 2 katına eşittir.

Soru: Bir sayının yarısı ile üçte birinin toplamı, o sayının kaç katıdır?
Cevap: 5/6. Çözüm: Sayı x ise x / 2 + x / 3 toplanır. Ortak paydaya getirirsek (3x + 2x) / 6 = 5x / 6 elde edilir. Bu, x'in 5/6 katıdır. Dikkat: katsayıların toplanması doğru sonucu verir, çarpılmaması gerekir.

Adım Adım Çözülmüş Örnek

Aşağıdaki örnekte parantez içi çarpma, dağıtma ve denetim adımlarını uçtan uca uyguluyoruz. Parantezli denklemler sınavda en sık atlanan adımlardan birini barındırır: dağıtma kuralı.

Soru: 2(x + 3) - 5 = x + 8 denklemini çözünüz.

1. Parantez içindeki çarpımı dağıtın. 2(x + 3) = 2 · x + 2 · 3 = 2x + 6 olur. Dağıtma kuralı, ortak çarpanın her terime ayrı ayrı uygulanmasıdır; katsayı ya da sabit terimden birini atlamak en sık hatadır.
2. Denklemi sadeleştirin. 2x + 6 - 5 = x + 8 yazılır ve sabit terimler toplanır: 2x + 1 = x + 8.
3. x terimlerini taraf birleştirin. Her iki taraftan x çıkarılır: 2x - x + 1 = 8 olur, yani x + 1 = 8.
4. Sabitleri taraf birleştirin. Her iki taraftan 1 çıkarılır: x = 7 bulunur.
5. Denetim yapın. Çözümü yerine koyunuz: 2(7 + 3) - 5 = 2 · 10 - 5 = 20 - 5 = 15 ve 7 + 8 = 15. İki taraf eşittir, denklem sağlanmıştır.

Cevap: x = 7.

Kavram Karşılaştırma Tablosu

Aşağıdaki tablo, denklem çözme ile ilgili sık karıştırılan kavramları ve aralarındaki farkı göstermektedir. Doğru kavramı seçmek, çözümün ikinci adımını doğru kurmayı sağlar.

Sınavda Yapılan Hatalar (Sık Yapılan Hatalar)

Aşağıdaki hatalar denklem çözme başlıklarında en çok puan kaybettiren durumlardır. Her birinin neden yanlış olduğu ayrı bir gerekçeyle açıklanmıştır.

• Dağıtma kuralında sabit terimi atlamak: 2(x + 3) ifadesi dağıtıldığında 2x + 6 elde edilir. Yalnız 2x yazıp sabit terimi unutmak, ifadenin değerini tamamen değiştirir ve çözüm yanlış çıkar.
• Taraf değiştirirken işareti değiştirmemek: Bir terimi diğer tarafa taşırken işareti değişir. 3x + 2 = x biçimindeki denklemde x'i çıkarırken işaret değiştirilerek 2x = x - 2 yazılır; sabit terimi de işaret değiştirerek taşımak gerekir.
• İşlem önceliğini atlama: 2x + 3 · 4 ifadesinde çarpma önce yapılır ve sonuç 2x + 12 olur. 2(x + 3) · 4 gibi parantezli bir yazım yoksa toplamayı önce yapmak hatadır.
• Denklemi denetlemeden bırakmak: Bulunan çözümü yerine koymamak, son bölümde puan kaybettiren en yaygın alışkanlıktır. Denetim bir ek işlem değil, çözümün doğruluğunun tek garantisidir.
• Birimi denetlememek: Hızı km/saat, mesafeyi km cinsinden veren bir soruda hızı metre/saat olarak alıp işlem yapmak sonucu büyük ölçüde değiştirir. Denklem kurulduktan sonra iki tarafın birimi aynı mı diye bakılmalıdır.
• Yaş problemlerinde yıl atlamak: "Şu an" ile "geçen yıl" arasında bir fark vardır. Bu farkı görmezden gelerek yalnız x ve 3x'i toplamaya çalışmak, denklemin yanlış kurulmasına yol açar.
• Denklem sistemi ile tek denklemi karıştırmak: Bir denklemde tek bilinmeyen varken doğrudan çözülür. İki bilinmeyenli bir denklem sistemi, denklemler eklenip çıkarılarak önce tek bilinmene indirgenmelidir.

Özet

Denklem kurma, bilinmeyeni bir harfle temsil etme ve iki tarafı eşit tutma becerisidir. Dağıtma, taraf değiştirme ve taraf birleştirme üç temel işlemdir; üçü de aynı mantığa dayanır: her terimi aynı tarafta toplamak. İşlem önceliği, hangi işlemin önce yapılacağını belirler ve parantez yoksa çarpma toplamadan önce gelir.

Çözümden sonra denetim yapmak, çözümün doğruluğunu kanıtlayan tek adımdır. Denetimde iki tarafın sayısal değeri hesaplanıp karşılaştırılır; eşitse çözüm doğrudur. Bu adım, sınavın son bölümündeki sorularda zaman kaybettirmeden doğruluğu garanti eder.

Kendini dene

Aşağıdaki soruları çözerek konunun dokuz bölümünü tekrar edin. Her sorunun yanında gerekçenizi de yazın; gerekçesiz verilen cevap sınavda işe yaramaz.

1. 4x + 9 = 2x + 21 denklemini çözünüz.
2. 3(x - 2) = 15 denklemini çözünüz.
3. Bir sayının 3 katının 2 eksiği, aynı sayının 5 katına eşittir. Bu sayı kaçtır?
4. Bir sınıftaki kız öğrenciler erkek öğrencilerin 2 katıdır ve toplam öğrenci sayısı 45'tir. Kaç kız öğrenci vardır?
5. Bir babanın yaşı, oğlunun yaşının 4 katıdır ve yaşları toplamı 50'dir. Babanın yaşı kaçtır?
6. Bir işçi bir işi 10 günde bitirir. Aynı iş 4 işçi birlikte çalışırsa kaç günde biter?
7. Bir sayının yarısı ile 5'in toplamı, o sayının 3 katına eşittir. Bu sayı kaçtır?

Kontrol cevapları: 1) 4x + 9 = 2x + 21'den her iki taraftan 2x çıkarılır: 2x + 9 = 21. Her iki taraftan 9 çıkarılır: 2x = 12. Her iki tarafa 2 bölünür: x = 6. Denetim: 4 · 6 + 9 = 33 ve 2 · 6 + 21 = 33. 2) 3(x - 2) = 15 dağıtıldığında 3x - 6 = 15 olur. Her iki tarafa 6 eklenir: 3x = 21. 3'e bölünür: x = 7. Denetim: 3(7 - 2) = 15. 3) Sayı x ise 3x - 2 = 5x yazılır. Her iki taraftan 3x çıkarılır: -2 = 2x. Her iki tarafa 2 eklenir: 0 = 2x + 2. 2x'i sola taşırsak -2 = 2x ve her iki tarafa 2 ekleyerek x = -1 bulunur. Sayının -1 olması, sorudaki "bir sayının" ifadesinin negatif sayıları da kapsadığını gösterir; denklem her x için tek bir çözüm verdiği için başka bir çözüm yoktur. 4) Kız: erkek = 2: 1 ve toplam parça sayısı 3'tür. Bir birim 45 / 3 = 15 olur. Kız öğrenciler 2 birim olduğundan 2 · 15 = 30 bulunur; erkekler 15'tir. 5) Oğul x yaşındaysa baba 4x yaşındadır ve x + 4x = 50 yazılır. 5x = 50 ve x = 10 bulunur. Babanın yaşı 4 · 10 = 40'tır. Denetim: 10 + 40 = 50. 6) Tek işçi bir günde işin 1/10'unu yapar. Dört işçi birlikte bir günde 4/10 = 2/5'ini yapar. İş tamamlanana kadar geçen gün sayısı için 1 / (2/5) = 5/2 = 2,5 gün bulunur. Dikkat: sonuç kesirlidir çünkü dört işçinin yaptığı iş, tek işçinin 4/10 katıdır, 1'in katı değil; bir işçi sayısı arttıkça süre azalır ama tam sayıya düşmek zorunda değildir. 7) x / 2 + 5 = 3x yazılır. 5'i sağa taşırız: x / 2 = 3x - 5. Her iki tarafa 2 çarpılır: x = 6x - 10. 6x'i sola taşırsak 10 = 5x ve x = 2 bulunur. Denetim: 2 / 2 + 5 = 6 ve 3 · 2 = 6.