Oran - Orantı

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Bu konunun çıkacak sonuçları şunlardır: iki niceliğin oranını hesaplayabilecek ve oranın sadeleştirilmiş hâlini bulabilecek, doğru ve ters orantılı ilişkiyi ayırt edebilecek, üçüncü nicelikten iki niceliği bilme durumunda eksik olanı bulabilecek, doğru ve ters orantı problemlerini denklem kurarak çözebilecek ve yüzde, oran ve problem ilişkisini kullanabileceksiniz.

Oran-orantı konusu TYT Matematik testinde en çok işe yarayan konulardan biridir, çünkü içinde farklı nicelik türlerini birbirine dönüştürme yeteneği vardır. Bir arabanın hızı, bir işçinin verimi, iki malzemenin karışım oranı hep orantı ilişkisiyle ifade edilir. Sınav sorusunun gücü, bu dönüşümü doğru kurmaktır.

Doğru ve ters orantı ayrımı şu kurala dayanır: biri artarken diğeri artıyorsa doğru, biri artarken diğeri azalıyorsa ters orantılıdır. Bu günlük gözlem, sınavda hangi modeli kuracağınıza karar vermek için yeterlidir.

Ön bilgi: kesirler, denklem kurma ve yüzde

Bu konuyu çözmek için bilinmesi gereken dört araç var. Birincisi, oranın sadeleştirilmiş hâlidir: iki sayının oranı, ikisini de aynı sayıya bölerek elde edilen basit hâldir. İkincisi, doğru orantı kuralıdır: a/b = c/d ise a · d = c · b bağıntısı sağlanır. Üçüncüsü, denklem kurma tekniğidir: parçayı bulmada parçanın kendisi yerine parçanın bir katı denklemde kullanılır. Dördüncüsü, yüzde hesabıdır: A'nın yüzde p'si, A · p / 100 ile bulunur.

Bu araçlar bir zincir hâlinde çalışır. Önce oran kurulur, sonra sadeleştirilir, ardından doğru ya da ters model seçilir, denklem kurulur ve denklem çözülür. Yüzde ise oranın 100'de biri olduğu için bu zincirin son adımında ya da başlangıcında devreye girer.

Günlük hayattan örnek

Günlük hayatta oran en açık biçimde karışımlarda görünür. Bir maddeyi seyreltmek için su ekleyeceksiniz. Elinizde 2 litre su içeren bir sürahi var ve içine, mevcut suyun yarısı kadar su eklerseniz toplam 3 litre olur. Buradaki oran 2: 1, yani eklenen su mevcut suyun yarısıdır. Bu oranı bir kesre çevirirsek 1/2 elde ederiz ve sonucu 2 · (1 + 1/2) = 3 olarak hesaplayabiliriz.

İkinci örnek, harçlık ve birikimdir. Bir öğrencinin parasının 1/4'ini harçlığa ayırdığını ve geriye 45 lira kaldığını söyleyelim. Bu bir ters ilişkidir: ayrılan tutar arttıkça kalan tutar azalır. Kalan tutar 45 lira olduğuna göre geriye kalan pay 3/4'tür. Harçlık ayrılan tutar ise 1/4'tür, yani 45 · (1/3) = 15 lira olur. Dikkat: parçayı bulmak için paydaların toplamını 4 değil, parçanın kendi paydasını, yani 4'ü kullanırız.

Üçüncü örnek, hız ve yol ilişkisidir. Bir araç saatte 90 kilometre hızla gidiyor. 2 saatte kaç kilometre yol alır? Burada hız ile süre çarpıldığı için yol bulunur: 90 · 2 = 180 kilometre. Hız sabit tutulduğunda süre iki katına çıkarsa yol da iki katına çıkar; bu, doğru orantının günlük hayattaki en tanıdık örneğidir.

Dördüncü örnek, yüzde artışıdır. Bir sayı üzerinde yüzde 20 artış yapılırsa yeni değer eskisinin 1,2 katı olur. Çünkü yüzde 20 artış, artışın 100'de 20'si, yani 1/5'i demektir ve 1 + 1/5 = 1,2 eder. Yüzde 50 azaltma ise değeri yarıya indirir, çünkü 1/2 = 0,5'tir. Yüzde ile oran arasındaki bu ilişki, artış ve azalma hesaplarında sık kullanılır.

Sınav odaklı örnekler

Aşağıdaki örnekler, sınavda bu konunun en sık karşınıza çıkan üç biçimini örnekler. Her birinde yalnız sonuca değil, sonuca götüren mantık zincirine de bakın.

Soru: 3: 5 oranının sadeleştirilmiş hâli nedir ve 12 sayısı bu oranın hangi parçasıdır?
Cevap: 3/5, 12 ilk parçadır (3 · 4 = 12, 5 · 4 = 20). Çözüm: Oranı kesre çeviriyoruz: 3: 5 = 3/5. 3 sayısını 4 ile çarparsak 12 elde ederiz; aynı çarpanı 5'e uygularsak 20 olur ve 12: 20 oranı 3: 5 ile sadeleşir. Bu, orantı sorularının temel mantığıdır: iki niceliğe aynı çarpanı uygulamak oranı değiştirmez.

Soru: Bir sınıftaki kız öğrenciler erkek öğrencilerin 2 katıdır. Sınıfta toplam 36 öğrenci bulunduğuna göre kaç kız öğrenci vardır?
Cevap: 24. Çözüm: Kız: erkek = 2: 1 olur. Toplam parçalar 2 + 1 = 3'tür ve 36 sayısı bu üç parçaya karşılık gelir. Bir birim 36 / 3 = 12 olur. Kız öğrenciler 2 birim olduğundan 2 · 12 = 24 bulunur. Burada parçayı bulma yöntemi doğru çalışır; kız öğrencilerin kendisi 2 birim olduğu için doğrudan 36 · 2 = 72 denemek hatadır.

Soru: Bir aracın 120 kilometrelik yolu 2 saatte tamamlaması için ortalama hızı kaç kilometre/saat olmalıdır?
Cevap: 60. Çözüm: Yolu hıza bölersek süre elde ederiz: 120 / 2 = 60. Burada doğru orantı vardır, çünkü hız arttıkça aynı sürede gidilen yol artar. Ters orantı olsaydı, yolu süreye bölerdik ve hızı bulamazdık; burada yol büyük, süre küçük olduğu için bölme yönünü seçmek gerekir.

Adım Adım Çözülmüş Örnek

Aşağıdaki örnekte üçüncü bir niceliğin devreye girdiği bir orantı sorusunu çözüyoruz. Bu tip sorular sınavda en çok uğraştıran türdür; adımları izlemek güvenli yolu gösterir.

Soru: 12 kalemlik bir kutu ile 8 kalemlik bir kutunun toplam fiyatı 300 birimdir. 12 kalemlik kutu 180 birim olduğuna göre 8 kalemlik kutu kaç birimdir?

1. İki kutu arasında oran kurun. Aynı türden iki malzeme için kalem sayıları doğru orantılıdır: 12 kalemlik kutu: 8 kalemlik kutu = 3: 2 olarak sadeleştirilir.
2. Fiyatların oranının kalem sayılarının oranıyla aynı olduğunu kabul edin. Aynı türden kalemlerde kalem başına fiyat eşit olduğundan 12 kalemlik kutunun fiyatı ile 8 kalemlik kutunun fiyatının oranı 3: 2 ile aynıdır.
3. Toplamı kullanarak tek kutunun fiyatını bulun. 3 + 2 = 5 birim 300 birime karşılık gelir, dolayısıyla bir birim 300 / 5 = 60 birimdir.
4. 8 kalemlik kutunun fiyatını hesaplayın. 8 kalemlik kutu 2 birim olduğundan 2 · 60 = 120 birim olur.
5. Doğrulama yapın. 180 + 120 = 300 olduğu için toplam şart sağlanır. Ayrıca 180 / 120 = 3 / 2 olduğundan fiyat oranı da kalem oranıyla örtüşür. İki denetim de tuttuğuna göre sonuç güvenilirdir.

Cevap: 8 kalemlik kutu 120 birimdir.

Kavram Karşılaştırma Tablosu

Aşağıdaki tablo, oran-orantı konusuyla ilgili sık karıştırılan kavramları ve aralarındaki farkı göstermektedir. Doğru kavramı seçmek, çözümün ikinci adımını doğru kurmayı sağlar.

Sınavda Yapılan Hatalar (Sık Yapılan Hatalar)

Aşağıdaki hatalar oran-orantı başlıklarında en çok puan kaybettiren durumlardır. Her birinin neden yanlış olduğu ayrı bir gerekçeyle açıklanmıştır.

• Parçayı bulmada toplamı doğrudan çarpmak: Parçayı bulmak için toplamı iki sayının toplamına böler, bir birimi bulur ve sonra istenen parçayla çarpmalısınız. Toplamı doğrudan parçayla çarpmak sonucu kat kat büyütür. Örneğin toplam 36 ve parça 2 ise 36 · 2 = 72 yerine 36 / (2 + 1) · 2 = 24 bulunur.
• Doğru ve ters orantıyı karıştırmak: Aynı sürede gidilen yol hıza bağlıdır ve doğru orantılıdır. Hız sabitken kat edilen süre, gidilen yola ters orantılıdır. Model yanlış seçildiğinde denklem de yanlış kurulur ve denklem doğru olsa bile yorumu yanlış çıkar.
• Oranı kesre çevirmeyi unutmak: 3: 5 bir kesre çevrilebilir ama 3 · 5 bir çarpımdır. Oran sorularının tamamı sadeleştirme gerektirdiği için oranı en başta kesre çevirmek, sonraki adımları hızlandırır.
• Sadeleştirme yapmadan karşılaştırmak: 12: 20 ile 3: 5 aynı orandır ama rakamları farklıdır. Karşılaştırma yapmadan önce her iki oranı da en küçük tam sayılara indirgemek, kaba kuvvetle yapılacak denemeleri ortadan kaldırır.
• Birim dönüşümünü atlamak: 2 kilometre ile 2000 metreyi doğrudan karşılaştırmak hatalıdır. Birim dönüşümü yapılmadan kurulan oran, niceliklerin farklı ölçeklerle verildiği durumlarda sonucu tamamen değiştirir.
• Yüzde artış ile çarpmayı karıştırmak: Yüzde 20 artış, değeri 1,2 ile çarpmaktır; yüzde 20 azalma 0,8 ile çarpmaktır. Yüzde 20 azalma, artışın 1/5'idir ama artışın tam tersi değildir; çünkü artışın tabanı ile azalmanın tabanı farklıdır.
• Üçüncü niceliği göz ardı etmek: Hız, süre ve yol arasındaki ilişkide üçüncü nicelik sabit değildir. Hız sabitlenirse yol ile süre doğru orantılıdır; süre sabitlenirse yol ile hız doğru orantılıdır. Hangi niceliğin sabit olduğu belirlenmeden orantı kurulamaz.

Özet

Oran iki niceliğin bölümüdür; iki nicelik arasındaki ilişkinin doğru mu ters mi olduğu, günlük gözlemle belirlenir. Biri artarken diğeri de artıyorsa doğru orantı, biri artarken diğeri azalıyorsa ters orantı vardır. Model seçildikten sonra oran sadeleştirilir, toplam parçaların toplamına bölünür ve bir birim üzerinden istenen parça bulunur.

Yüzde, oranın 100'de biridir. Yüzde p artış, değeri 1 + p/100 ile çarpmak; yüzde p azalış, 1 - p/100 ile çarpmaktır. Birim dönüşümü yapılmadan kurulan oranlar yanlış sonuç verdiği için, sorudaki tüm nicelikleri önce aynı birime indirgemek alışkanlık hâline getirilmelidir.

Kendini dene

Aşağıdaki soruları çözerek konunun dokuz bölümünü tekrar edin. Her sorunun yanında gerekçenizi de yazın; gerekçesiz verilen cevap sınavda işe yaramaz.

1. 18: 24 oranını en küçük tam sayılara indirgeyerek yazınız.
2. Bir sınıfta 40 öğrenci vardır. Kız öğrenciler erkek öğrencilerin 3 katı olduğuna göre sınıfta kaç kız öğrenci bulunur?
3. Bir araba 3 saatte 240 kilometre yol alıyorsa 5 saatte kaç kilometre yol alır?
4. Bir işçi bir işi 12 günde tamamlıyor. Aynı iş 4 işçi birlikte yaptığında kaç günde tamamlanır?
5. Bir sayının yüzde 25'i azaltılır, sonra yüzde 10'u artırılırsa son sayı, başlangıç sayısının kaç katı olur?
6. 2,5 kilogram şekerin 3,5 kilogramı tüketilmiştir. Kalan şeker kaç kilogramdır ve bu sayı başlangıç miktarının ne kadarıdır?
7. Biri diğerinin 3/5'i kadar olan iki sayının farkı 12 ise büyük sayı kaçtır?

Kontrol cevapları: 1) 18 ve 24'ün en büyük ortak böleni 6'dır; 18 / 6 = 3 ve 24 / 6 = 4 olduğundan oran 3: 4 biçimindedir. 2) Kız: erkek = 3: 1 olur ve toplam parça sayısı 4'tür. Bir birim 40 / 4 = 10 olur; kız öğrenciler 3 birim olduğundan 3 · 10 = 30 bulunur, erkekler 10'dur. 3) Yol hızla doğru orantılıdır. Saatlik 240 / 3 = 80 kilometre hızla gidildiğinden 5 saatte 80 · 5 = 400 kilometre yol alınır. 4) Bu bir ters orantıdır: süre ile işçi sayısı çarpımı sabittir. 12 · 1 = 4 · t denklemi kurulur ve t = 3 gün bulunur. 5) İlk adımda sayı 0,75 katına iner. İkinci adımda 1,1 ile çarpılır: 0,75 · 1,1 = 0,825 bulunur. Son sayı başlangıç sayısının 0,825 katıdır; yani yüzde 17,5 azalmış olur. Dikkat: yüzde 25 azaltmadan sonra yüzde 10 artış, ilk duruma dönmez, çünkü artışın tabanı küçülmüştür. 6) 3,5 - 2,5 = 1 kilogram kalmıştır. Bu, başlangıç miktarının 1 / 2,5 = 0,4 = yüzde 40'ıdır. 7) Oran 3: 5 olduğuna göre fark 2 birime karşılık gelir ve 2 birim 12 olduğundan bir birim 6'dır. Büyük sayı 5 birim olduğundan 5 · 6 = 30 bulunur.