TYTMatematik
Matematik · TYT · Temel Sayı Teorisi ve Cebir
Sayma, bir olayın kaç farklı biçimde gerçekleşebileceğini hesaplamaktır. Burada asıl soru "kaç seçenek var" değil, "seçimlerin farklı sayılıp sayılmayacağı"dır. Aynı iki kişi farklı sırayla oturduğunda düzen değişmiş sayılır; aynı kurulu seçmek ise seçim değiştirmez.
Bu konudaki kurallar kısa görünür ama uygulama alanı çok geniştir: sınav yerleşimleri, yarışma sonuçları, şifre kurulumları, görevlendirmeler ve olasılık hesaplarının tamamı bu sayma yöntemlerine dayanır.
Birbiri ardından gelen seçimlerde, her adımdaki seçenek sayıları çarpılarak toplam sonuç bulunur. Bu çarpma kuralı, permütasyon hesabının temelidir.
Faktöriyel, bir tam sayının kendisinden bire kadar olan çarpımıdır. Bir düzenin kaç farklı hâlde yazılabileceğini göstermek için "kaç nesnenin kaç farklı sıralaması vardır" biçiminde düşünülür.
Düzen (permütasyon): sıra önemlidir; n nesnenin n! farklı sıralaması vardır.
Seçim (kombinasyon): sıra önemsizdir; sıra farklı olsa da aynı küme bir kez sayılır.
Tekrarsız seçim: seçilenler arasında tekrar yoktur.
Tekrarlı seçim: seçilen nesneler yeniden seçilebilir, durum sayısı farklıdır.
Dağıtım: sıra önemliyse ikili çarpım, önemsizse bölüme yoluyla hesaplanır.
Bu tablo, iki sayım yönteminin nerede ayrıldığını gösterir. Sorudaki "kaç farklı sırayla", "kaç farklı seçim" gibi ifadeler doğru sütunu işaret eder.
| Özellik | Düzen (Permütasyon) | Seçim (Kombinasyon) |
|---|---|---|
| Sıranın önemi | Önemlidir | Önemsizdir |
| Örnek | Madalya dağıtımı | Kurul seçimi |
| Aynı küme farklı sırada | Farklı sayılır | Aynı sayılır |
| Temel işlem | Çarpma | Bölme ve sadeleştirme |
| Sayı düşüşü | Hızlıdır | Daha yavaştır |
Adım 1 — Sıranın önemini belirle. Aynı nesneler farklı sırada geldiğinde sonuç değişiyorsa düzen, değişmiyorsa seçim sayılır.
Adım 2 — Kapsamı daralt. Yuvarlak masa, sınırlı koşul ya da gruplama varsa önce onu uygula.
Adım 3 — Seçenekleri çarp. Her adımdaki seçenek sayısı çarpılarak toplam düzen bulunur.
Adım 4 — Sıra önemsizse sadeleştir. Aynı kümenin farklı sıralamalarını tek sayıda birleştirmek için bölme yapılır.
Sayma konusundaki hatalar, sıra önemini değerlendirememe ve koşullu durumları görmezden gelmeden kaynaklanır.
Sıra önemliyse düzen, sıra önemsizse seçim sayılır. Düzen, nesnelerin sıralanmasının sonucu değiştirdiği sayımdır ve çarpma kuralıyla hesaplanır. Seçim, sıranın önemsiz olduğu sayımdır ve aynı kümenin farklı sıralamaları tek sayılır. Yuvarlak masa gibi durumlarda bir kişi sabitlenerek dönme hareketi giderilir. Yanyana oturmama gibi koşullar tüm sonuçtan aykırı durumların çıkarılmasıyla uygulanır. Dağıtım problemlerinde hangi nesnenin kime verildiği önemliyse ikili çarpım yapılır.
Kendi kendine dene: Beş kişi bir sıraya oturacaktır. Tüm düzenleri bul, ardından belirli iki kişinin yanyana oturduğu düzenleri bul ve farkı yorumla. Aynı soru için sıralamanın önemsiz olduğu hâlde kaç kurul oluşacağını da hesapla. Son olarak üç haneli, rakamları tekrarsız ve sıfırla başlamayan şifre sayısını bulurken her adımdaki seçenek sayısını yaz.
Sıralamanın önemli olup olmamasına göre düzen ve seçim sayılarını ayırt ederek sayma problemlerini çözme becerisi. Bu konuda ögrenme çıktıları:
Günlük yaşamda ve mesleki bağlamda bir uygulama:
Soru: 4 farklı kitap kaç farklı sırayla dizilebilir?
Sonuç/cevap: 24
Daha ileri bir uygulama:
Soru: 10 kişiden kaç el sıkışma yapılır?
Sonuç/cevap: 45
Soru: Beş kişinin bir sıraya oturmasıyla ilgili tüm düzenleri bulunuz. Belirli iki kişinin yanyana oturduğu düzenleri de bulup farkı yorumlayınız.
Örnek cevap: Puanlama anahtarı: Beş kişinin tüm düzenleri hesaplanır (4 puan). İki kişi tek blok sayılarak o blokla düzenler hesaplanır (6 puan). Blok içi iki sıra olduğu için çarpan eklenir (4 puan). Koşula uyan düzenler farkla bulunur (4 puan). Sonuç yorumlanır (2 puan).
Sayma, bir olayın kaç farklı biçimde gerçekleşebileceğini hesaplamaktır. Burada asıl soru "kaç seçenek var" değil, "seçimlerin farklı sayılıp sayılmayacağı"dır. Aynı iki kişi farklı sırayla oturduğunda düzen değişmiş sayılır; aynı kurulu seçmek ise seçim değiştirmez.
Sayma, bir olayın kaç farklı biçimde gerçekleşebileceğini hesaplamaktır. Burada asıl soru "kaç seçenek var" değil, "seçimlerin farklı sayılıp sayılmayacağı"dır. Aynı iki kişi farklı sırayla oturduğunda düzen değişmiş sayılır; aynı kurulu seçmek ise seçim değiştirmez. Bu konudaki kurallar kısa görünür ama uygulama…
Düzen ile seçim arasındaki ayrım, sıranın önemli olup olmamasına dayanır.
Sıra önemini atlamak: Aynı kurulu iki farklı sırayla seçmek yeni bir seçim üretmez; buna rağmen düzen sayısı verilirse hata olur. Aynı düzeni iki kez saymak: Yuvarlak masada tüm masayı çevirmek aynı düzendir; bir kişi sabitlenerek düzen sayısı azaltılır.
Tekrarsız düzen: P(n, r) = n! / (n − r)! · Tekrarsız seçim: C(n, r) = n! / (r! (n − r)!) · Tekrarlı düzen: P(n, r) = n^r · Tekrarlı seçim: C(n + r − 1, r)
Bir kütüphanede dört farklı kitap vardır. Bu kitaplar tek bir rafa kaç farklı sırayla dizilebilir?
Doğru cevap: A) 24
Adım 1: Sıralamada ilk kitap için seçim yapılır, kalan kitaplar için seçenek sayısı azalır. Adım 2: Seçenek sayıları birbiriyle çarpılarak toplam düzenleme sayısı bulunur. Adım 3: Sonuç 24 sıralama olur. Kitaplar farklı olduğu için aynı iki kitap yer değiştirdiğinde yeni bir düzen oluşur.
Sekiz kişilik bir gruptan sırasının önemi olmaksızın üç kişilik bir kurul kaç farklı biçimde oluşturulabilir?
Doğru cevap: B) 56
Adım 1: Sıra önemsiz olduğu için aynı kişilerden oluşan iki kurul farklı sayılmaz. Adım 2: Kişiler seçilirken sıralama yapılmaz; seçim sayısı kombinasyonla hesaplanır. Adım 3: Sonuç 56 kurul olur. Sıra önemsiz seçimlerde aynı kümenin farklı sıralamaları tek sayılır.
Altı kişi yuvarlak bir masada oturacaktır. Dönme hareketi sayılmayacak biçimde kaç farklı oturma düzeni oluşur?
Doğru cevap: B) 120
Adım 1: Yuvarlak masa düzenlerinde tüm masayı çevirmek aynı düzen olarak kabul edilir. Adım 2: Kişiler sıraya dizilir, sonra dönme hareketini gidermek için bir kişi sabitlenir ve kalan kişiler sıralanır. Adım 3: Sonuç 120 düzen olur. Dönme hareketi sayılmayacağı için kişi sayısı bir azaltılır.
Konu anlatımları hesapsız okunur. Quiz, slayt ve deneme için hesap gerekir.
Matematik için çalışma yolu
Konu anlatımları hesapsız okunur; quiz, slayt ve deneme için hesap gerekir.
Bu sayfa Permütasyon - Kombinasyon konusunun anlatımını, kazanımlarını ve örnek sorularını içerir. Konuyla ilgili tüm sorular için testi çöz, diğer konular için DersTeders ana sayfasına geçebilirsin.
Bu konuyu çalış: hesap aç, ilerlemen kaydedilsin.
Hesap aç