Çarpanlara Ayırma

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Bu konunun çıkacak sonuçları şunlardır: sayısal ifadeleri çarpanlarına ayırarak tam çarpanlara ulaşabilecek, tam çarpanlarla çarpıldığında sonucun değişmediğini kavrayabilecek, çarpan çeşidini belirleyebilecek, ortak çarpan ve ortak çarpan çeşidini bulabilecek, en büyük ortak çarpan ile en küçük ortak çarpan arasındaki ilişkiyi kurabilecek ve ifadeleri karşılaştırırken çarpanlara ayırma yöntemini uygulayabileceksiniz.

Çarpanlara ayırma, TYT Matematik testinde iki biçimde gelir: doğrudan "x² - 9 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hâli nedir" biçiminde, ya da "hangi ifade x + 3'e bölünür" biçiminde. İkinci biçim daha zordur, çünkü bölünenliği denemek gerekir. Bu yüzden önce çarpanlarına ayırma tekniğini sağlam kurmak, ikinci biçimde de hız kazandırır.

Yöntemin çekirdeği şudur: çarpılan sayının işareti kontrol edilir. İki terim toplanacaksa işaretler aynıdır ve ortak çarpan çıkarılır. İki terim çarpılacaksa işaretler farklıdır ve iki kare farkı özdeşliği kullanılır. Bu iki ayrım, konunun bütününü iki kalıba indirger.

Ön bilgi: çarpılan sayının işaret kuralı

Bu konuyu çözmek için bilinmesi gereken üç araç var. Birincisi, çarpılan sayının işaret kuralıdır: iki terim çarpılan sayılarken işaretler farklı olmalıdır; işaretler aynıysa toplanırlar. İkincisi, iki kare farkı özdeşliğidir: a² - b² = (a - b)(a + b). Üçüncüsü, tam kare ifadelerin toplam özdeşliğidir: a² + 2ab + b² = (a + b)².

Bu üç araç arasındaki bağ şöyle işe yarar. Ortak çarpan bulmak için işaret kuralı kullanılır. İki kare farkı, işaret kuralının özel bir durumudur: a² - b² ifadesi, işaretler farklı olduğu için (a - b)(a + b) biçiminde çarpımlanabilir. Tam kare toplamı ise işaret kuralının işe yaramadığı durumlar için vardır; a² + b² gibi bir ifade ancak tam kare tamamlanarak çarpımlanabilir.

Günlük hayattan örnek

Günlük hayatta çarpanlara ayırmanın en açık örneği, arazi ölçüsüdür. Bir tarla dikdörtgen biçimindedir ve bir kenarı diğerinden 4 metre uzundur. Tarlanın çevre uzunluğunu ifade etmek istiyorsanız, kısa kenar x metre olmak üzere uzun kenar x + 4'tür ve çevre 2 · (x + x + 4) = 4x + 8 olur. Bu ifadeyi çarpanlarına ayırmak isterseniz 4x + 8 = 4(x + 2) yazılır ve 4 ortak çarpan olarak dışarı çıkar.

Bir de zemin kaplama örneği düşünün. Bir odanın iki kenarı, kenar uzunluğunun karesinden 5 eksik ve 3 fazladır. Bu odanın taban alanını tek bir ifadeyle yazıp çarpanlarına ayırmak istiyorsunuz. Uzun kenar x + 3, kısa kenar x² - 5 alınır. Alan (x + 3)(x² - 5) olur ve bu ifade genişletildiğinde x³ + 3x² - 5x - 15 elde edilir. Genişletilmiş hâli çarpanlarına ayrıldığında (x + 3)(x² - 5) geri elde edilir; yani bu örnekte çarpanlara ayırma işlemi bize geri dönüşü sağlar.

Çarpanlara ayırmanın günlük hayattaki en somut kullanımı ise fiyatlı karşılaştırmalar yerine oranlama maliyet hesabıdır. Bir kırtasiye paketi 6 kalem ve 12 silgi içeriyor, diğer bir paket 4 kalem ve 6 silgi içeriyor. Bu iki paketin kalem başına ve silgi başına maliyetlerini karşılaştırmak için paket fiyatlarını içerikle bölmek gerekir; bu işlem rasyonel sayılarla bölmedir ve çarpanlara ayırma ile doğrudan ilişkilidir, çünkü fiyatın içeriğin bir çarpanı olduğu görülür.

Sınav odaklı örnekler

Aşağıdaki örnekler, sınavda bu konunun en sık karşınıza çıkan üç biçimini örnekler. Her birinde yalnız sonuca değil, sonuca götüren mantık zincirine de bakın.

Soru: x² - 49 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hâli aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: (x - 7)(x + 7). Çözüm: İki kare farkı özdeşliği doğrudan uygulanır: x² - 49 = x² - 7² = (x - 7)(x + 7). Dikkat: 49 bir tam kare olduğu için kökü 7'dir ve kök dışına çıkan çarpan 7 olur.

Soru: 3x² - 12 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hâli aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: 3(x² - 4). Çözüm: İki terim toplanacağı için işaretler aynıdır ve ortak çarpan aranır. Her iki terim 3'ün katı olduğundan 3 ortak çarpandır ve dışarı çıkarılır: 3x² - 12 = 3(x² - 4) bulunur. Parantez içi tam çarpanlara ayrılmış değildir; soru tam çarpan isteniyorsa bir adım daha ilerlenir ve 3(x - 2)(x + 2) yazılır.

Soru: x² + 6x + 9 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hâli aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: (x + 3)². Çözüm: İlk terim x² bir tam karedir ve 9 = 3² de tam karedir. Ortadaki terim 6x, a² + 2ab + b² özdeşliğinde 2ab'ye karşılık gelir ve 2ab = 6x ise ab = 3x, yani a = x ve b = 3 olur. Bu nedenle ifade (x + 3)² biçimindedir. Sınavda "son iki terimin karekökü toplamının iki katı orta terimi verir" kısayolu hızlı sonuç verir: (√9 + √9) · 2 = 6 olur ve işaretler aynı olduğu için toplama vardır.

Adım Adım Çözülmüş Örnek

Aşağıdaki örnekte bir ifadeyi üç aşamalı olarak tam çarpanlarına ayırıyoruz. Her aşamanın hangi kurala dayandığını görmek, benzer ifadelerde kendi kendinize yol bulmanızı sağlar.

Soru: 6x² - 24 ifadesini tam çarpanlarına ayırınız ve çarpan çeşidini belirtiniz.

1. Önce işaretleri denetleyin. İki terim 6x² ve -24 toplanacağı için işaretler aynıdır. Bu, iki kare farkı değil ortak çarpan bulunacak demektir.
2. En büyük ortak çarpanı dışarı çıkarın. Her iki terim 6'nın katıdır: 6x² / 6 = x² ve -24 / 6 = -4. Bu nedenle 6x² - 24 = 6(x² - 4) yazılır.
3. Parantez içini denetleyin. Parantez içinde x² - 4 bulunur ve işaretler farklıdır, yani burada iki kare farkı özdeşliği uygulanır. 4 bir tam kare olduğundan kökü 2'dir: x² - 4 = (x - 2)(x + 2).
4. Toplam çarpan çeşidini belirtin. 6 = 2 · 3 olduğundan tam çarpanlara ayrılmış hâl 2 · 3 · (x - 2)(x + 2) yazılabilir. Toplam dört çarpan vardır ve çarpan çeşidi dörttür.
5. Doğrulama yapın. (x - 2)(x + 2) = x² - 4 olduğuna göre 6 · (x² - 4) = 6x² - 24 elde edilir. Genişletme işlemi sonucu doğru verir.

Cevap: 6x² - 24 = 2 · 3 · (x - 2)(x + 2). Çarpan çeşidi 4'tür.

Kavram Karşılaştırma Tablosu

Aşağıdaki tablo, çarpanlara ayırma ile ilgili sık karıştırılan kavramları ve aralarındaki farkı göstermektedir. Doğru kavramı seçmek, çözümün ikinci adımını doğru kurmayı sağlar.

Sınavda Yapılan Hatalar (Sık Yapılan Hatalar)

Aşağıdaki hatalar çarpanlara ayırma başlıklarında en çok puan kaybettiren durumlardır. Her birinin neden yanlış olduğu ayrı bir gerekçeyle açıklanmıştır.

• İki kare toplamını çarpanlamaya çalışmak: x² + 16 ifadesi (x + 4)(x - 4) biçiminde yazılamaz, çünkü bu yazım (x + 4)(x - 4) = x² - 16 verir. İki kare toplamı yaşamsal olarak tam kare tamamlanarak çarpanlanır ya da hiç çarpanlanmaz.
• Tam kare olmayan sayının kökünü çıkarmak: x² - 20 ifadesinde 20 tam kare değildir. Bu nedenle ifade çarpanlarına ayrılamaz. Sınavda tam kare olup olmadığını denetlemek, boşuna uğraşmayı önler.
• Ortak çarpanı içeride bırakmak: 6x² - 24 ifadesinde 6 ortak çarpan olduğu hâlde içeride bırakılıp yalnız (x² - 4) yazılırsa ifade tam çarpanlarına ayrılmamış olur. Sınav soruları genellikle tam çarpan ister.
• Ortak çarpan çeşidini eksik saymak: 6x² - 24'te çarpanlar 2, 3, x - 2 ve x + 2'dir; dört tanedir. 6'nın tam çarpanlara ayrılması unutulursa üç sanılır ve cevap yanlış çıkar.
• Çift sayı katsayıyı iki kez dışarı almak: 8x² - 32 ifadesinde 8 ortak çarpandır ama 8 = 2³ olduğu için dışarı aldıktan sonra içeride kalan ifade 2(x² - 4) olmaz; doğru ayrım 8(x² - 4)'tür ve 8'i bir kez daha dışarı almak hatadır.
• İşaret kuralını gözden kaçırmak: x² + 2x ifadesinde işaretler aynı olduğu için ortak çarpan x alınır ve x(x + 2) elde edilir. Bu, iki kare farkı değildir; özdeşliği karıştırmak yanlış sonuç verir.
• İç içe özdeşlikte tek adımda durmak: x⁴ - 1 ifadesi (x² - 1)(x² + 1) olarak durdurulursa tam çarpanlara ayrılmamış olur. Son adımda x² - 1 = (x - 1)(x + 1) uygulanarak (x - 1)(x + 1)(x² + 1) elde edilir.

Özet

Çarpılan sayının işaretleri aynıysa ortak çarpan aranır, farklıysa iki kare farkı özdeşliği kullanılır. Bu tek ayrım, konudaki bütün soruları iki kalıba indirger. Ortak çarpan bulunduktan sonra parantez içi yeniden denetlenir; içeride de çarpanlara ayrılacak bir ifade kalmışsa işlem devam eder.

Tam çarpan çeşidini soran sorularda sayısal katsayı da tam çarpanlara ayrılır: 6 = 2 · 3 yazıldığı için çarpan çeşidine iki adet katkı gelir. Bu adım atlandığında cevap eksik çıkar ve sınavda en sık yapılan budur. Sonuç, doğru bulunan çarpanların sayısıdır.

Kendini dene

Aşağıdaki soruları çözerek konunun dokuz bölümünü tekrar edin. Her sorunun yanında gerekçenizi de yazın; gerekçesiz verilen cevap sınavda işe yaramaz.

1. 4x² - 36 ifadesini tam çarpanlarına ayırınız ve çarpan çeşidini belirtiniz.
2. x² - 9 ifadesi hangi tek çarpanlara bölünür? Bölme işlemini de yazınız.
3. 9x² - 6x + 1 ifadesini çarpanlarına ayırınız.
4. x³ - x ifadesini tam çarpanlarına ayırınız.
5. Bir dikdörtgenin bir kenarı diğerinden 3 metre uzundur. Kısa kenar x metre olduğuna göre çevresini ifade ediniz ve çarpanlarına ayırınız.
6. 12x² - 75 ifadesini tam çarpanlarına ayırınız ve çarpan çeşidini bulunuz.
7. x⁴ - 81 ifadesini tam çarpanlarına ayırınız.

Kontrol cevapları: 1) 4x² - 36 = 4(x² - 9) = 4(x - 3)(x + 3) = 2² · (x - 3)(x + 3) bulunur. Dört çarpan vardır, yani çarpan çeşidi 4'tür. 2) x² - 9 = (x - 3)(x + 3) olduğundan ifade (x - 3)(x + 3) tek çarpanlarına bölünür ve bölümü 1'dir. 3) 9x² - 6x + 1 ifadesinde ilk terim (3x)², son terim 1² ve orta terim 2 · 3x · 1 = 6x olduğuna göre ifade (3x - 1)² biçimindedir. 4) x³ - x = x(x² - 1) = x(x - 1)(x + 1) bulunur; üç çarpan vardır. 5) Kısa kenar x, uzun kenar x + 3 olduğundan çevre 2 · x + 2 · (x + 3) = 2x + 2x + 6 = 4x + 6 olur. Bu ifadede 4 ve 6 ortak çarpan olduğundan 4x + 6 = 2(2x + 3) biçiminde çarpanlarına ayrılır. Burada ortak çarpan 2'dir; 4 = 2² olduğu için tam sayısal kısım 2'dir, 2x + 3 ise tek çarpan olarak kalır. 6) 12x² - 75 = 3(4x² - 25) = 3(2x - 5)(2x + 5) bulunur. Burada 3 bir asal çarpan olduğu için tam çarpanlara ayrılmış hâlde zaten 3 · (2x - 5)(2x + 5) yazılır. Çarpanlar 3, 2x - 5 ve 2x + 5 olmak üzere üç tanedir, yani çarpan çeşidi 3'tür. Dikkat: 12x² - 75 ifadesinin 3'ün katı olması için 75'in de 3'ün katı olması gerekir ve 75 = 3 · 25 olduğu için bu sağlanır. 7) x⁴ - 81 = (x² - 9)(x² + 9) = (x - 3)(x + 3)(x² + 9) bulunur; x² + 9'un tam kare toplamı olduğu için daha fazla ayrılamaz. Dört çarpan vardır.