TYTMatematik
Matematik · TYT · Temel Sayı Teorisi ve Cebir
Bu konunun çıkacak sonuçları şunlardır: kök kavramını ve kök ile üs arasındaki bağıntıyı kurabilecek, tam sayı köklerini ve kök bulma yöntemlerini kullanabilecek, köklü ifadeleri sadeleştirebilecek, köklü ifadelerde dört işlemi yapabilecek, paydaları kök içeren kesirleri rasyonelleştirebilecek ve kökleri üslü biçimle karşılaştırarak sıralama yapabileceksiniz.
Köklü ifadeler, üslü ifadelerin ters yönüdür ve aralarında kesin bir bağ vardır: √a = a^(1/2), üçüncü kök a = a^(1/3), n'inci kök a = a^(1/n). Bu bağıntı iki işe yarar. Birincisi, kökü tam sayıya indirmeyi sağlar; ikincisi, karşılaştırma sorularında tabanları ortak üse getirme imkânı verir.
Sınavda kök sorularının büyük kısmı iki işten birine dayanır: karekökü tam sayıya indirmek veya kök içindeki ifadeyi üslü biçime çevirip karşılaştırmak. Bu iki beceriyi otomatikleştirmek, konudaki soruların çoğunu hızla çözdürür.
Bu konuyu çözmek için bilinmesi gereken üç araç var. Birincisi, kökün üsle yazımıdır: √(n · a) ifadesi √n · √a biçiminde ayrılır, burada n bir tam kare çarpanıdır. İkincisi, tam kare ayırmadır: bir sayıyı asal çarpanlarına ayırıp çift üslü olanları kök dışına çıkarmak, kalanları kök içinde bırakmaktır. Üçüncüsü, köklerin çarpım kuralıdır: √a · √b = √(a · b).
Bu araçlar birbirine bağlıdır. Tam kare ayırma, kökü sadeleştiren işlemdir; kökün üsle yazımı, aynı işlemi üslü dilde anlatır; çarpım kuralı ise çarpma yaparak kök birleştirmeyi sağlar. Üçü de aynı temel fikre dayanır: kök içindeki her tam kare çarpan, kök dışına bir çarpan olarak çıkarılabilir.
Köklü ifadeler günlük hayatta en çok alan hesabında görünür. Bir duvarın köşegen uzunluğu, dik üçgenlerde Pisagor bağıntısıyla bulunur. Bir dik üçgenin kenarı 5 santimetre ve 12 santimetre ise köşegen √(25 + 144) = √169 = 13 santimetre çıkar. Buradaki 25, 144 ve 169'un hepsi tam kare olduğu için kök tam sayıya iner. Bu, kök sorularının en sevilen örneklerinden biridir, çünkü 5-12-13 üçgeni gerçek bir üçgenin kenar uzunluklarıdır.
Kök içindeki toplam tam kare değilse kök sadeleşmez. Aynı bağıntıyla √(9 + 7) = √16 = 4 olur, ama √(9 + 8) = √17 ifadesi sadeleşmez, çünkü 17 bir tam kare değildir. Bu ayrım, bir kökün tam sayı olup olmadığını kontrol etmenin en hızlı yoludur.
İkinci örnek, alan hesabıdır. Bir dik üçgenin alanı (a · b) / 2 ile hesaplanır. Buna karşılık bir dikdörtgenin köşegeni √(a² + b²) ile bulunur. Aynı iki kenar için dik üçgenin alanı ile dikdörtgenin köşegeni arasında sayısal bir bağ yoktur; bu yüzden "alan" ile "köşegen" kavramları karıştırılmamalıdır.
Üçüncü örnek, ölçek ve görüntü düzeneğidir. Bir haritadaki mesafeyi gerçek mesafeye çevirmek için ölçeği kullanırız; bu doğru orantıdır. Aynı biçimde, bir nesnenin görüntüsünü gerçek boyutuna çevirmek için büyütme oranını kullanırız. Kökler, bir karekök alınarak iki katına çıkarılan uzunluklarda devreye girer: alan iki katına çıktığında her kenar √2 katına çıkar. Bu, köklerin geometrideki en somut karşılığıdır.
Aşağıdaki örnekler, sınavda bu konunun en sık karşınıza çıkan üç biçimini örnekler. Her birinde yalnız sonuca değil, sonuca götüren mantık zincirine de bakın.
Soru: √0,49 + √0,81 ifadesinin sonucu kaçtır?
Cevap: 1,7. Çözüm: √0,49 = 0,7 ve √0,81 = 0,9 bulunur. Toplam 0,7 + 0,9 = 1,6 olur. Buradaki tuzak, ondalıkların karelerini kontrol etmemektir; 0,49 = 0,7² ve 0,81 = 0,9² olduğu doğrudur. Sınavda ondalık bir sayının karekökünü soruyorsanız, önce karesini kontrol edip tam sayı olup olmadığına bakın.
Soru: √50 ifadesinin en sade hâli aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: 5√2. Çözüm: 50 = 25 · 2 olarak ayrılır. √50 = √25 · √2 = 5√2 bulunur. 2 bir tam kare değildir, bu yüzden kök içinde kalır. Dikkat: 5√2 ile 2√5 aynı şey değildir; sadeleştirme işleminde hangi çarpanın tam kare olduğunu belirlemek belirleyicidir.
Soru: √3 · √12 ifadesinin en sade hâli kaçtır?
Cevap: 6. Çözüm: Köklerin çarpım kuralıyla √3 · √12 = √36 yazılır. √36 = 6 olduğundan cevap 6'dır. Burada kök dışına çıkan tam sayının karesini unutmak, 3 ya da 12 gibi bir ara değeri cevap olarak yazmaya yol açar.
Aşağıdaki örnekte kökü tam sayıya indirmeyi ve kök içindeki ifadeyi üslü biçime çevirerek karşılaştırmayı birlikte uyguluyoruz. İki beceri, sınavda kök sorularının neredeyse tamamını çözer.
Soru: Aşağıdaki sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayınız: √8, √6, 2√3, √5
Cevap: √5 < √6 < √8 < 2√3.
Aşağıdaki tablo, köklü ifadelerle ilgili sık karıştırılan kavramları ve aralarındaki farkı göstermektedir. Doğru kavramı seçmek, çözümün ikinci adımını doğru kurmayı sağlar.
| Kavram | Tanım | Örnek | Sınavda Yapılan Hata |
|---|---|---|---|
| Karekök | İçi tam kare olan kök | √49 = 7 | Kökün hep tam sayı olduğunu sanmak |
| Üslü yazım | √a = a^(1/2) | √8 = 8^(1/2) | Üssü 2 sanmak |
| Tam kare çarpan | Kök dışına çıkan çarpan | √(25 · 2) = 5√2 | Karekökü 5 · 2 = 10 saymak |
| Kök çarpımı | √a · √b = √(a · b) | √3 · √12 = √36 = 6 | Katsayıları çarpıp kökü bırakmak |
| Kareköklenebilirlik | Kök içinin tam kare olup olmadığı | √25 sadeleşir, √17 sadeleşmez | İçeriğe bakmadan kökü tam sayı saymak |
| Üçüncü kök | Bir sayının küpünün kökü | ³√27 = 3 | Karekök ile karıştırmak |
| Köklü sıralama | Aynı derece ise içleri karşılaştırılır | √5 < √6 < √8 | Katsayıya bakıp içe bakmamak |
| Rasyonelleştirme | Paydadan kökü kaldırmak | 1/√2 = √2/2 | Eşdeğerliği tanımamak |
Aşağıdaki hatalar köklü ifadeler başlıklarında en çok puan kaybettiren durumlardır. Her birinin neden yanlış olduğu ayrı bir gerekçeyle açıklanmıştır.
Köklü ifadelerde temel kural, kök içindeki her tam kare çarpanın kök dışına çıkarılmasıdır. √(n · a) ifadesinde n tam kare ise √n kök dışına, kalan çarpan kök içinde kalır. Kalan çarpan da tam kare değilse sadeleştirme biter. Bu tek kural hem birleşik kökleri hem de katsayılı kökleri kapsar.
Karşılaştırma sorularında en güvenilir yol, tüm ifadeleri kök içine almaktır. 2√3 = √12 yazıldığında artık dört sayı da aynı biçimdedir ve sıralama, kök içi sayıların karşılaştırılmasıyla yapılır. Bu, "hangi katsayı büyük" gibi görünür ama yanıltıcı bir yaklaşımdan kurtulmanın en kısa yoludur.
Aşağıdaki soruları çözerek konunun dokuz bölümünü tekrar edin. Her sorunun yanında gerekçenizi de yazın; gerekçesiz verilen cevap sınavda işe yaramaz.
Kontrol cevapları: 1) 72 = 36 · 2 olduğundan √72 = 6√2; 98 = 49 · 2 olduğundan √98 = 7√2 bulunur. 2) √5 · √20 = √100 = 10 olur. 20 = 4 · 5 olarak ayrılabilir ama çarpım kuralıyla tek adımda √100 elde edilir. 3) 3√2 · 2√6 = 6 · √12 = 6 · 2√3 = 12√3 bulunur. Katsayılar 3 · 2 = 6, kök içleri 2 · 6 = 12 ve √12 = 2√3 olur. 4) ³√64 = 4'tür, çünkü 4³ = 64. √64 = 8'dir, çünkü 8² = 64. Karşılaştırmada √64 < √64 yani 4 < 8 olur. Dikkat: 64 bir küp olmasına rağmen tam kare değildir; 64 = 2⁶ ve 6 tek olduğu için karekökü 8, üçüncü kökü 4 olur. 5) Sayılar √13, 2√7, √11 ve 3√2'yi kök içine alırsak √13, √28, √11 ve √18 elde ederiz. İçler 11 < 13 < 18 < 28 olduğundan sıralama √11 < √13 < 3√2 < 2√7 olur. 6) Köşegen √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15 birim bulunur. 225 bir tam karedir, kök tam sayıya iner. 7) 1/√3 ifadesinin pay ve paydası √3 ile çarpılır: (1 · √3)/(√3 · √3) = √3/3 bulunur.
Bu konunun çıkacak sonuçları şunlardır: kök kavramını ve kök ile üs arasındaki bağıntıyı kurabilecek, tam sayı köklerini ve kök bulma yöntemlerini kullanabilecek, köklü ifadeleri sadeleştirebilecek, köklü ifadelerde dört işlemi yapabilecek, paydaları kök içeren kesirleri rasyonelleştirebilecek ve kökleri üslü biçimle…
Bu konunun çıkacak sonuçları şunlardır: kök kavramını ve kök ile üs arasındaki bağıntıyı kurabilecek, tam sayı köklerini ve kök bulma yöntemlerini kullanabilecek, köklü ifadeleri sadeleştirebilecek, köklü ifadelerde dört işlemi yapabilecek, paydaları kök içeren kesirleri rasyonelleştirebilecek ve kökleri üslü biçimle…
Kök toplama işlemine dağıtılamaz; yalnız çarpma ve bölmede dağıtılır.
Toplamı dağıtmak: Kök, toplama işlemine dağıtılamaz. Kökün içindeki toplamın karesi köklerin toplamının karesine eşit değildir. Kökü çarpanlara dağıtmak: Kök bir çarpana dağıtılamaz; yalnız çarpma kuralı vardır.
√a · √b = √(a·b) · √a ÷ √b = √(a ÷ b) · √(a + b) ≠ √a + √b · √(x²) = |x|
Bir kare bahçenin toplam alanı 144 metrekare olarak ölçülmüştür. Bu bahçenin bir kenarı kaç metredir?
Doğru cevap: A) 12
Adım 1: Kare bir şekilde alan, bir kenarın karesine eşittir. Adım 2: Alan değeri karekök alınarak kenar uzunluğu bulunur ve metre cinsinden yazılır. Adım 3: Sonuç 12 metre olur. Karekök alırken sonuç daima olumlu değer olarak alınır, çünkü uzunluk negatiftir.
Bir saha ölçümünde 2, 25 dekarlık bir parsel kare biçimindedir. Bu parselin bir kenarı kaç dekardır?
Doğru cevap: B) 1,5
Adım 1: Kare parselde alan, kenar uzunluğunun karesidir. Adım 2: Alanın karekökü alınarak kenar uzunluğu bulunur ve uzunluk birimiyle yazılır. Adım 3: Sonuç 1,5 dekar olur. Karekök iki buçuk değerinin karesi verilen alanla örtüşür.
Bir dikdörtgenin kenar uzunlukları karekök 48 ve karekök 27 birim olarak verilmiştir. Bu dikdörtgenin alanı kaç birim karetir?
Doğru cevap: C) 36
Adım 1: Dikdörtgende alan, iki kenarın çarpımıdır. Adım 2: Kökler çarpıldığında köklerin içleri çarpılır, kökün dışına çıkan değer hesaplanır. Adım 3: Sonuç 36 birim kare olur. Köklerin çarpımı köklerin içinin çarpımının kareköküne eşittir.
Konu anlatımları hesapsız okunur. Quiz, slayt ve deneme için hesap gerekir.
Matematik için çalışma yolu
Konu anlatımları hesapsız okunur; quiz, slayt ve deneme için hesap gerekir.
Bu sayfa Köklü İfadeler konusunun anlatımını, kazanımlarını ve örnek sorularını içerir. Konuyla ilgili tüm sorular için testi çöz, diğer konular için DersTeders ana sayfasına geçebilirsin.
Bu konuyu çalış: hesap aç, ilerlemen kaydedilsin.
Hesap aç