AYTMatematik
Matematik · AYT · Piramit, Koni, Küre
Bu konuda geometrik cisimlerle ilgili karışık problemleri nasıl çözeceğimizi öğreneceğiz. Piramit, koni, küre ve bunlara benzeyen dik prizmalar için verilen bilgileri (yarıçap, çap, taban kenarı, taban alanı, yükseklik, yanal ayrıt, yanal yükseklik) doğru seçmek, eksik olanı üçgenlerden ya da küre kesitlerinden tamamlamak ve sonunda tek bir sayıya ulaşmak temel beceridir.
Piramitte hacim V = (1/3) · taban alanı · yükseklik bağıntısıyla bulunur; taban çokgen olduğu için önce taban alanı hesaplanır. Konide V = (1/3) · π · r · r · h ve toplam yüzey alanı A = π · r · r + π · r · l bağıntıları kullanılır. Kürede ise V = (4/3) · π · r · r · r ve A = 4 · π · r · r geçerlidir.
Taban alanı 36 cm kare, yüksekliği 9 cm olan bir piramidin hacmi soruluyor. Piramit bağıntısı kullanılır: 36 · 9 ÷ 3 = 108 cm küp. Burada tabanın çokgen türü sorun değildir, çünkü taban alanı doğrudan verilmiştir.
Taban kenarı 24 cm, yüksekliği 20 cm olan kare tabanlı bir piramidin toplam yüzey alanı soruluyor. Önce bir yüzün yüksekliği bulunur: √(20 · 20 − 12 · 12) = 16 cm. Sonra dört yüzün alanı 4 · (24 · 16 ÷ 2) = 768 cm kare ve taban alanı 24 · 24 = 576 cm kare hesaplanır. Toplam 576 + 768 = 1344 cm karedir.
Bir küresel kap örneğinde ise yarıçapın üç katına çıkması hacmin 27 katına çıkması demektir; buna karşılık yüzey alanı yalnızca 9 katına çıkar. Bu ayrım problemlerde sıkça karıştırılır.
| Cisim | Hacim bağıntısı | Yüzey alanı bağıntısı | Karıştırılan nokta |
|---|---|---|---|
| Piramit | (1/3) · taban alanı · h | taban alanı + yan yüzeylerin toplamı | Taban kenarı ile taban alanı karıştırılır |
| Koni | (1/3) · π · r · r · h | π · r · r + π · r · l | Yan yükseklik ile yükseklik karıştırılır |
| Küre | (4/3) · π · r · r · r | 4 · π · r · r | Yüzey alanında r · r, hacimde r · r · r kullanılır |
| Dik prizma | taban alanı · h | 2 · taban alanı + çevre · h | Taban alanı yerine taban çevresi kullanılır |
Kapasite soruları: Kaç günde boşalır ya da kaç saniyede dolar tipi sorularda önce cismin hacmini bul, sonra birim zamandaki değişim miktarına böl.
Benzer cisim soruları: Benzer cisimlerde uzunluk oranı a ise yüzey alanı oranı a · a, hacim oranı a · a · a olur.
Kesit soruları: Taban düzlemine paralel kesitlerde kesit tabanla benzerdir; benzerlik oranı yüksekliklerden alınır.
Yüzey kaplama soruları: Kaç cm kare kâğıt ya da boya gerekir denince yalnızca soruda istenen yüzeyler hesaba katılır.
Geometrik cisimlerle ilgili problemlerde çözüm, verilen ölçüleri tanımak ve eksik olanı tamamlamakla başlar. Piramit ve koni aynı taban ve yükseklikteki prizmanın üçte biri kadar hacimlidir; küre aynı yarıçap ve yükseklikteki koninin dört katıdır. Üçgen kuralları eksik ayrıt ve yükseklik hesabını, oran kuralları ise benzer cisim ve kesit sorularını çözer. Kendinize şu üç soruyu sorun: Hangi ölçü eksikti, hangi bağıntı gerekti, sonucun birimi doğru mu?
Günlük yaşamda ve mesleki bağlamda bir uygulama:
Soru: Taban alanı 45 cm kare, yüksekliği 8 cm olan bir piramidin hacmi kaç cm küptür?
Sonuç/cevap: 120 cm küp
Bu konuda geometrik cisimlerle ilgili karışık problemleri nasıl çözeceğimizi öğreneceğiz. Piramit, koni, küre ve bunlara benzeyen dik prizmalar için verilen bilgileri (yarıçap, çap, taban kenarı, taban alanı, yükseklik, yanal ayrıt, yanal yükseklik) doğru seçmek, eksik olanı üçgenlerden ya da küre kesitlerinden…
Bu konuda geometrik cisimlerle ilgili karışık problemleri nasıl çözeceğimizi öğreneceğiz. Piramit, koni, küre ve bunlara benzeyen dik prizmalar için verilen bilgileri (yarıçap, çap, taban kenarı, taban alanı, yükseklik, yanal ayrıt, yanal yükseklik) doğru seçmek, eksik olanı üçgenlerden ya da küre kesitlerinden…
Piramit ve koni, aynı taban ve yüksekliğe sahip prizmanın üçte biri kadar hacimlidir.
Taban kenarını taban alanı gibi kullanmak: Kare tabanlı bir gövdede taban alanı kenarın karesidir, kenarın kendisi değildir. Küre yüzey alanını hacim bağıntısıyla hesaplamak: Yüzey alanında r · r çarpanı, hacimde r · r · r çarpanı bulunur.
Piramit: V = (1/3) · taban alanı · h · Koni: V = (1/3) · π · r · r · h · Küre: V = (4/3) · π · r · r · r · Küre yüzey alanı: A = 4 · π · r · r
Yarıçapı 6 cm olan bir küre biçimindeki kap, hacminin yarısına kadar suyla doldurulmuştur. Kapta bulunan suyun hacmi kaç cm küptür?
Doğru cevap: A) 452,16 cm küp
452,16 cm küp kavramı Geometrik Cisimlerle İlgili Problemler konusunun temel bir kavramıdır. Detaylar konu anlatımında verilmiştir.
Taban yarıçapı 9 cm, yüksekliği 12 cm olan bir koninin yanal yüzey alanı kaç cm karedir?
Doğru cevap: D) 423,9 cm kare
423,9 cm kare kavramı Geometrik Cisimlerle İlgili Problemler konusunun temel bir kavramıdır. Detaylar konu anlatımında verilmiştir.
Taban kenarı 30 cm, yüksekliği 17 cm olan kare tabanlı düzgün bir piramidin tabanı ve yan yüzeyleri boyanacaktır. Boyanacak toplam alan kaç cm karedir?
Doğru cevap: D) 1380 cm kare
1380 cm kare kavramı Geometrik Cisimlerle İlgili Problemler konusunun temel bir kavramıdır. Detaylar konu anlatımında verilmiştir.
Konu anlatımları hesapsız okunur. Quiz, slayt ve deneme için hesap gerekir.
Matematik için çalışma yolu
Konu anlatımları hesapsız okunur; quiz, slayt ve deneme için hesap gerekir.
Bu sayfa Geometrik Cisimlerle İlgili Problemler konusunun anlatımını, kazanımlarını ve örnek sorularını içerir. Konuyla ilgili tüm sorular için testi çöz, diğer konular için DersTeders ana sayfasına geçebilirsin.
Bu konuyu çalış: hesap aç, ilerlemen kaydedilsin.
Hesap aç