Grafik ve Cebirsel Temsili Verilen Fonksiyonların Limiti

Konu Anlatımı

Ne Öğreneceğiz?

Bu konuda limit kavramını, bir fonksiyonun hem grafik yardımıyla hem de cebirsel (yazılı) biçimde nasıl incelendiğini öğreneceğiz. Bir fonksiyonun limiti, fonksiyonun o noktadaki tek bir değerinden değil, o noktaya yaklaşırken aldığı değerlerin gittiği sabitten ibarettir. Konunun temel sorusu şudur: verilen bir fonksiyonda x değişkeni a değerine giderken fonksiyonun değeri hangi sayıya gider? Bu soruyu grafikten okumak ve cebirsel olarak hesaplamak iki ayrı yoldur; ikisi de aynı sonucu vermek zorundadır.

Ön Bilgi: Yaklaşma ve Fonksiyon Değeri

Fonksiyonların her x için tek bir y değeri verdiğini hatırlayalım. Buna karşılık limit birden çok değer üzerine kurulur. Değişken 3'e son derece yaklaşırken fonksiyon 2,999 gibi bir değer, 3,001 gibi bir değer alabilir; limit arayışındaki temel soru bu değerlerin tek bir sayıya yaklaşıp yaklaşmadığıdır. Bir fonksiyonun noktadaki değeri ile noktadaki limiti farklı kavramlardır. Limit için fonksiyonun o noktada tanımlı olması gerekmez; grafikte o noktada boşluk (delik) bulunan bir eğrinin limiti yine vardır.

Limit hesabında iki yaklaşma yönü vardır. Sağdan limit için değişken, a değerine büyük değerlerden gelir; soldan limit için küçük değerlerden gelir. Bu iki değer birbirine eşitse noktada iki taraflı limit tanımlıdır. Eşit değilse grafikte bir sıçrama vardır ve noktada limit bulunmaz. Tanım kümesinin o noktanın bir tarafında boş olması da dikkate alınır: bu durumda yalnızca tek taraflı bir limitten söz edilebilir.

Grafikten Limit Okuma

Grafikten limit okumak üç adımlı bir iştir. Birincisi, ilgili noktanın sağ tarafını izleyerek gelen değerlerin gittiği yüksekliği bulmak; ikincisi, aynı işlemi noktanın sol tarafı için yapmak; üçüncüsü bu iki yüksekliği karşılaştırmaktır. İkisi aynıysa grafik, limitin o değer olduğunu gösterir. Eğri noktaya giderken yatay bir doğruya yaklaşıyorsa o doğrunun y değeri limit olur. Eğri dik biçimde yukarı ya da aşağı kaçıyorsa değerler sınırsız büyür ve limit sonsuz büyük değere gider.

Grafikte üç ayırt edici durum vardır. Delik durumunda eğri noktada kesilir ama iki tarafta aynı yüksekliğe döner; burada limit vardır. Sıçrama durumunda iki taraf farklı yükseklikte biter; limit yoktur. Dikey asimptot durumunda eğri bir noktaya doğru sonsuza gider; noktadaki limit sonsuz büyük değerdir. Bu üç durumu ayırt etmek, sonraki konularda belirsizlik durumlarının çözülebilmesi için zorunludur.

Sağdan ve Soldan Limit

Sağdan limit, yatay eksende a noktasının sağındaki eğri parçasına bakılarak bulunur. Örneğin soldan x · x + 3, sağdan x + 5 biçiminde tanımlı bir fonksiyonda sağdan değer a + 5 olur. Cebirsel karşılığı, değişkenin a değerinden büyük değerlerle yerine yazılmasıdır. Aynı düşünce soldan limit için de tekrarlanır; bu kez değişken, a değerinden küçük değerlerle yerine yazılır. Parçalı fonksiyonlarda hangi dalın kullanılacağını seçmek, tek taraflı limit sorularının bütün anahtarıdır.

İki taraflı limit var olmasının koşulu, sağdan ve soldan limitlerin eşit olmasıdır. Bu koşul sağlanmıyorsa grafikte noktada sıçrama vardır. Bazı sorularda parçalı fonksiyondaki sabit bilinmeyen k harfi, limitin var olması koşuluna göre bulunur. Bu durumda iki tarafın verdiği değer eşitlenir ve bir denklem kurulur. Sağdan limitin sıfırdan küçük, soldan limitin sıfırdan büyük olması da sık karşılaşılan bir sonuçtur; bu durumda noktada limit yoktur.

Limit Kuralları ile Cebirsel Hesaplama

Fonksiyonun ifadesi verilmişse limit kuralları kullanılır. Toplam ve fark kuralı, sabit çarpan kuralı, çarpma kuralı, bölme kuralı, kuvvet kuralı ve karekök kuralı sırasıyla limitlerin toplanmasına, çarpılmasına ve bölünmesine izin verir. Bölme kuralının kullanılabilmesi için paydanın limitinin sıfırdan farklı olması şarttır; bu koşul sağlanmıyorsa işlem yapılmaz ve belirsizlik durumu incelenir.