Üçgende Açı ve Kenarla İlgili Özellikler ve Bu Özellikler Arasındaki İlişkiler

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Bu derste Üçgende Açı ve Kenarla İlgili Özellikler ve Bu Özellikler Arasındaki İlişkiler başlığını ele alacağız. Önce kavramın kuralını yazacağız, sonra o kuralın sayı üzerinde nasıl işlediğini adım adım göstereceğiz.

Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:

• Kazanım 1: Bir üçgende açı ölçüleri ile karşı kenarlar arasındaki sıralama ilişkisini açıklar ve karşılaştırma problemlerinde kullanır.
• Kazanım 2: Üçgen eşitsizliğini ifade eder; verilen kenar uzunluklarının üçgen oluşturup oluşturmayacağına gerekçesiyle karar verir.
• Kazanım 3: Açıortay ve kenarortay çizgilerini tanır, her birinin üçgende hangi parçayı eşit parçalara böldüğünü açıklar.
• Kazanım 4: Açıortayların ve kenarortayların kesişim noktalarını karşılaştırır ve bu noktaları doğru isimlerle adlandırır.
• Kazanım 5: Dik üçgende hipotenüsün en uzun kenar olduğunu kullanarak açı ile kenar ilişkisini problemlere uygular.
• Kazanım 6: Günlük hayat durumlarında üçgen eşitsizliğini ve açı kenar ilişkisini karar verme aracı olarak kullanır.

Ön bilgi: bundan önce gördüğümüz

Bu konunun dayandığı temel Tales, Öklid ve Pisagor Teoremleri başlığıdır. Tales, Öklid ve Pisagor Teoremleri konusunda kazanılan bilgiyi burada yeniden kullanacağız, bu yüzden o konudaki tanım ve çıkarımları hatırlamak işimizi kolaylaştırır.

• Tales, Öklid ve Pisagor Teoremleri — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.
• Geometrik Dönüşümler — ön bilgi: bu başlıktaki tanımları hatırlamamız gerekiyor.

Üçgende Açı ve Kenar Arasındaki İlişki

Bir üçgende bir açının büyüklüğü ile onun karşısındaki kenarın uzunluğu arasında sıkı bir bağ vardır. Aynı üçgende açı büyüdükçe karşısındaki kenar da büyür. Örneğin kenarları 4 cm, 6 cm ve 8 cm olan bir üçgende 8 cm lik kenarın karşısındaki açı en büyük açıdır; 4 cm lik kenarın karşısındaki açı ise en küçük açıdır. Bu karşılaştırma yapılırken önce kenarlar küçükten büyüğe sıralanır, sonra açılar aynı sırayla ele alınır.

Bu kural tersinden de okunabilir: kenarı büyük olan açı da büyüktür. Bir üçgenin en uzun kenarı ile en büyük açısı aynı köşe karşılıklıdır. Örneğin ABC üçgeninde AB en uzun kenar ise C köşesindeki açı en büyük açıdır. Dik üçgende hipotenüs en uzun kenardır; bu yüzden dik açı 90 derece olmak üzere en büyük açıdır. Dar açılı bir üçgende en büyük açı 90 dereceden küçük, geniş açılı bir üçgende ise 90 dereceden büyüktür.

• Açılar büyükten küçüğe sıralandığında karşı kenarlar da büyükten küçüğe sıralanır.
• İki kenar eşitse, bu kenarlara karşı gelen açılar da eşittir.
• Üç kenarı da eşit olan üçgende üç açı da birbirine eşittir.
• Bir kenar diğer ikisinin toplamına yaklaştıkça karşısındaki açı 180 dereceye yaklaşır.

Açı ile kenar arasındaki bu ilişki, üçgende bir eşitsizlik kurulurken kullanılır. Örneğin bir kenarı diğer ikisinin toplamına eşit olan bir üçgen çizilemez. Aynı biçimde iki kenarının toplamı üçüncü kenardan küçükse ya da iki kenar farkı üçüncü kenardan büyükse çizim de mümkün değildir.

Üçgen Eşitsizliği

Bir üçgende her kenar, diğer iki kenarın toplamından küçük olmak zorundadır. Bu kurala üçgen eşitsizliği denir. Üç kenar için ayrı ayrı yazılabilir: a, b + c toplamından küçüktür; b, a + c toplamından küçüktür; c, a + b toplamından küçüktür. Eşitsizliğin sağlanmadığı durumda doğrusal çizgi ile kapatılamayan bir açıklık kalır ve üçgen oluşmaz.

Üçgen eşitsizliği aynı zamanda en uzun kenarın tek başına bir sınırını verir. Örneğin kenar uzunlukları 5 cm, 5 cm ve 10 cm olan bir üçgen çizilemez; çünkü 10 cm lik kenar, diğer ikisinin toplamı olan 10 cm den küçük değildir. Buna karşılık 5 cm, 6 cm ve 10 cm için eşitsizlik sağlanır ve üçgen çizilebilir. Pratik bir denetim de vardır: en uzun kenar c ise a + b toplamının c den büyük olması aranır.

Açıortay ve Kenarortay

Açıortay, bir köşeden çizilen ve o açıyı iki eşit açıya bölen doğru parçasıdır. Üçgende bir köşeden yalnızca bir açıortay çizilebilir. Açıortayın karşı kenarı iki eşit parçaya bölmez; bu yüzden açıortay çizilen bir üçgende kenar parçalarının eşit olması beklenmez.

Kenarortay ise bir köşeden çizilen ve karşı kenarı iki eşit parçaya bölen doğru parçasıdır. Kenarortay açıyı iki eşit parçaya bölmez. Yani açıortay için eşit olan açılardır, kenarortay için eşit olan kenardaki parçalardır. Bu iki kavram karıştırılmamalıdır.

Üçgende üç açıortay aynı noktada kesişir; bu noktaya iç teğet çemberinin merkezi denir. Üç kenarortay da aynı noktada kesişir ve bu nokta üçgenin ağırlık merkezidir. Yani iki çizgi aynı değil, farklı noktalarda kesişir. Yalnızca ikizkenar ve eşkenar üçgenlerde açıortay ile kenarortay aynı doğru parçası olabilir.

• Açıortay açıyı iki eşit parçaya böler, kenarı bölemez.
• Kenarortay karşı kenarı iki eşit parçaya böler, açıyı bölemez.
• Üç açıortay iç teğet çemberin merkezinde kesişir.
• Üç kenarortay ağırlık merkezinde kesişir.

1. Verilen üç kenarın üçgen eşitsizliğini sağlayıp sağlamadığını denetle.
2. En uzun kenarı bul ve bu kenara karşı gelen açının en büyük açı olduğunu belirle.
3. En büyük açının 90 dereceyle karşılaştırılmasına göre üçgenin türünü belirle.
4. Açıortay ya da kenarortay ile ilgili parçalar soruluyorsa hangi eşitliğin kullanılacağına karar ver.
5. Ölçüleri doğrulamak için bulduğun değeri üçgen eşitsizliğine geri koy.

Örnek Soru ve Çözümü

Soru: Kenarları 2x − 1, 2x ve 2x + 1 birim olan bir üçgenin en büyük açısı 90 derecedir. Buna göre kenarlar kaç birimdir?

Çözüm 1. adım: Hipotenüs, dik açının karşısındaki en uzun kenardır. En uzun kenar 2x + 1 olduğundan Pisagor bağıntısı bu kenar için yazılır.

Çözüm 2. adım: Bağıntıyı yazalım: (2x − 1) kare + (2x) kare = (2x + 1) kare. Terimleri açarsak 4x² − 4x + 1 + 4x² = 4x² + 4x + 1 elde ederiz.

Çözüm 3. adım: Düzenlersek 4x² − 8x = 0 ve buradan 4x(x − 2) = 0 olur. Kenar uzunlukları pozitif olmak zorunda olduğundan x = 0 reddedilir ve x = 2 alınır.

Çözüm 4. adım: Yerine koyarsak kenarlar 3, 4 ve 5 birim olur. Denetim için 3 + 4 = 7, 5 ten büyüktür ve 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5² eşitliği sağlanır. Üçgenin kenarları 3, 4 ve 5 birim bulunur.

Soru: İki kenarı 9 cm ve 14 cm olan bir üçgende üçüncü kenarın alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerleri toplamı kaçtır?

Çözüm 1. adım: Üçgen eşitsizliğinin birinci koşuluna göre üçüncü kenar 9 + 14 = 23 toplamından küçük olmalıdır. Tam sayı olduğundan en büyük değer 22 dir.

Çözüm 2. adım: İkinci koşula göre üçüncü kenar, iki kenarın farkından büyük olmalıdır. 14 − 9 = 5 bulunur ve tam sayı olduğundan en küçük değer 6 dır.

Çözüm 3. adım: İki değeri toplarsak 22 + 6 = 28 bulunur. Sonuç 28 olur.

Sık Yapılan Hatalar

Hata 1: Açıortay ile kenarortayın karıştırılması. Açıortay açıyı iki eşit parçaya böler; kenarortay ise karşı kenarı iki eşit parçaya böler. İkisi aynı anda ancak ikizkenar ve eşkenar üçgende aynı doğruyu verir.

Hata 2: Üçgen eşitsizliğinde büyüklük ilişkisinin tersine çevrilmesi. Kural büyük kenarın küçük kenar toplamından küçük olmasını ister. Eşitlik hâli de üçgen oluşturmaz, çünkü üç doğru parçası tek bir doğru üzerinde toplanır.

Hata 3: En büyük açının karşısındaki kenarı en kısa kenar seçmek. Açı ile kenar aynı sırayı izler; büyük açı daima büyük kenarın karşısındadır.

Hata 4: Pisagor bağıntısında hipotenüsü belirlemeden kareleri toplamaya başlamak. Dik üçgende hipotenüs daima en uzun kenardır ve toplama işlemi dik kenarlarla yapılır.

Hata 5: Açıortayın karşı kenarı iki eşit parçaya böldüğünü varsaymak. Bu eşitlik kenarortay için geçerlidir; açıortay yalnızca açıyı böler.

Hata 6: Birim tutarsızlığı. Kenarların biri cm, diğeri m olarak verilmişse önce aynı birime çevrilmelidir. Yanlış birimle kurulan eşitsizlik yanlış karar verdirir.

Özet

Üçgende açı ile kenar aynı sırayı izler: en büyük açının karşısında en uzun kenar, en küçük açının karşısında en kısa kenar bulunur. Eşit kenarlara eşit açılar karşılık gelir. Üçgen eşitsizliği, her kenarın diğer ikisinin toplamından küçük olmasını zorunlu kılar; sağlanmayan durumda üçgen çizilemez. Açıortay açıyı iki eşit parçaya böler ve üç açıortay iç teğet çemberinin merkezinde kesişir. Kenarortay karşı kenarı iki eşit parçaya böler ve üç kenarortay ağırlık merkezinde kesişir. Dik üçgende hipotenüs en uzun kenardır ve Pisagor bağıntısı burada devreye girir. Problemlerde önce eşitsizlikle en uzun kenar belirlenmeli, sonra bağıntı kurulmalı ve sonuç yeniden denetlenmelidir.

Günlük hayattan bir uygulama

Bu derste öğrendiklerimizi günlük hayatta görmek, konuyu kalıcı hale getirir. Aşağıdaki görevde Üçgende Açı ve Kenarla İlgili Özellikler ve Bu Özellikler Arasındaki İlişkiler bilgisi bir işin içinde kullanılıyor; çözümü kendiniz yazmayı deneyin.

Uygulama sorusu: ABC üçgeninde AB = 12 cm, BC = 16 cm ve CA = 20 cm kenarları verilmiştir. Bu üçgenin türünü belirleyiniz, en büyük açının ölçüsünü bulunuz, çevresini ve alanını hesaplayınız. İncelemenizi üçgen eşitsizliği ve açı ile kenar ilişkisi açısından gerekçelendiriniz.

Bu görev için 20 puan dağıtılmıştır; puanlama anahtarı, cevabın hangi adımlarla gösterilmesi gerektiğini ayrıntılı biçimde söyler. Puanlamada işlem sırasının ve sonuç cümlenin ayrı ayrı sayıldığına dikkat et.

Yararlı ipuçları

• Kenarlar verilmişse önce küçükten büyüğe sıralayın, sonra açılarla eşleştirin; böylece en büyük açıyı yanlışlıkla bulmazsınız.
• Kenar uzunluğu sorularında en uzun kenarı bulup üçgen eşitsizliğini yalnızca onun için denetlemek hızlı bir yöntemdir.
• Dik üçgende kareleri toplarken toplanan iki kenarın dik kenar olduğundan emin olun, toplama sonucu hipotenüsü vermelidir.
• Açıortay ya da kenarortay sorusu görürseniz soruda geçen eşitliğin açıda mı kenarda mı olduğuna bakarak karar verin.
• Cevapta ondalık geliyorsa kareköklü sonuçlarda yuvarlama yapmayın; tam kare çarpanı dışarı çıkarılmış hâli tercih edin.
• Problemde verilen sayıların birimini denetleyin; farklı birimlerle kurulan eşitsizlik sessizce yanlış sonuç verir.

Çözülmüş örnek adımları

İki örnek üzerinde çalışacağız. İlk örnek kuralın temel kullanımını, ikinci örnek ise kuralın zorlayıcı bir durumunu gösterir. Adımları kendin yazmayı dene; ikinci adımda nerede durduğunu görmek, sınavda zaman kazanır.

Dik Üçgende Kenar Bulma

Soru: İç açıları 30 derece, 60 derece ve 90 derece olan bir üçgenin en uzun kenarı 18 birimdir. Üçgenin kenarları kaç birimdir?

1. Adım 1: En büyük açının karşısındaki kenar en uzun kenardır; 90 derecelik dik açının karşısında 18 birimlik kenar vardır.
2. Adım 2: Bu kenar hipotenüstür ve kenarlar 30 derece, 60 derece, 90 derece özel üçgen oranındadır.
3. Adım 3: 30 derecelik açının karşısındaki kenar hipotenüsün yarısıdır; 18 / 2 = 9 birim bulunur.
4. Adım 4: Kalan kenar 18² − 9² = 324 − 81 = 243 ifadesinin karekökü olduğundan 9√3 birimdir.

Cevap: Üçgenin kenarları 9 birim, 9√3 birim ve 18 birimdir.

Bu örnekte adım sayısını not edin: kural her zaman aynı sayıda işlemle değil, kazanılması gereken bilgiye göre çözülür.

Üçgen Eşitsizliği ile Karar Verme

Soru: Kenarları 7 cm, 9 cm ve 15 cm olan bir parçadan üçgen kesilebilir mi?

1. Adım 1: En uzun kenar belirlenir; 15 cm en büyük ölçüdür.
2. Adım 2: Üçgen eşitsizliği en uzun kenar için denetlenir; 15, 7 + 9 toplamından küçük olmalıdır.
3. Adım 3: 7 + 9 = 16 bulunur ve 16, 15 ten büyüktür.
4. Adım 4: Eşitsizlik sağlandığı için parçadan üçgen kesilebilir.

Cevap: 7 cm, 9 cm ve 15 cm ölçüleriyle üçgen kesilebilir.

Kavram, anlam ve sık karıştırılan karşılık

Bu derste geçen terimler birbirine yakın durur ve sınavda karıştırılır. Aşağıdaki tabloda her terimin anlamı ve sık karıştırılan karşılığı yan yana verilmiştir.

Konudaki kural ve ölçü özeti

Konudaki kural ve ölçüleri tek tabloda topladık. Bu tablo, tekrar anlarında ilk bakılacak yerdir.

Yukarıdaki ölçülerin arkasındaki kural ve formüller şunlardır:

Sık karşılaşılan yanlışlar

Hata yapmamak için önce hatanın nereden geldiğini bilmek gerekir. Aşağıdaki listede her hata için yanlış giden yol ve doğru yol birlikte verilmiştir.

• Açıortayın kenarı böldüğünü düşünmek Açıortay yalnızca köşedeki açıyı iki eşit parçaya böler. Karşı kenarı iki eşit parçaya bören çizgi kenarortaydır; bu iki eşitliğin konumu birbirine karıştırılır.
• Eşitliği üçgen eşitsizliğinde kabul etmek Bir kenar diğer ikisinin toplamına eşitse doğru parçaları tek bir doğru üzerinde toplanır ve kapalı üçgen bölgesi oluşmaz. Eşitlik de sağlanmamış sayılır.
• En büyük açıyı en kısa kenarın karşısında aramak Açı ile kenar aynı sırayı izler. En uzun kenarın karşısındaki açı en büyük açıdır; sıralamayı ters çevirmek en sık yapılan hatadır.
• Hipotenüsü toplanan kenarlardan biri sanmak Dik üçgende kareleri toplanan iki kenar daima dik kenardır. Toplamın karekökü hipotenüsü verir ve hipotenüs en uzun kenardır.
• Üçgen eşitsizliğinin ikinci koşulunu atlamak Üçüncü kenar yalnızca iki kenarın toplamından küçük olmakla kalmaz, iki kenarın farkından da büyük olmak zorundadır. Bu koşul atlanırsa üçgen olmayan bir grup kabul edilebilir.
• Farklı birimli kenarları aynı ölçüde karşılaştırmak Bir kenar cm, ötekisi m olarak verilmişse önce ortak birime çevrilir. Çevrim yapılmadan kurulan eşitsizlik sessizce yanlış karar verdirir.

Kısaca özet

Kısaca: Üçgende açı ile kenar aynı sırayı izler: en büyük açının karşısında en uzun kenar, en küçük açının karşısında en kısa kenar bulunur ve eşit kenarlara eşit açılar karşılık gelir. Üçgen eşitsizliği, her kenarın diğer ikisinin toplamından küçük olmasını zorunlu kılar; sağlanmadığında üçgen çizilemez. Dik üçgende hipotenüs en uzun kenar…

Anlatımı bir cümlede özetleyeceksek, şunu söyleyebiliriz:

• Açı ölçüsü ile karşı kenar uzunluğu aynı üçgende aynı sırayı izler; büyük açı daima büyük kenarın karşısındadır.
• Üçgen eşitsizliğinde eşitlik de kabul edilmez; kenar diğer ikisinin toplamına eşitse üçgen oluşmaz.
• Açıortayın böldüğü eşit parçalar açılardır, kenarortayın böldüğü eşit parçalar ise kenardaki iki uzunluktur.
• Üç açıortay iç teğet çemberinin merkezinde, üç kenarortay ise ağırlık merkezinde kesişir; bu iki nokta farklıdır.
• Dik üçgende hipotenüs en uzun kenardır ve dik açı 90 derece olmak üzere en büyük açıdır.
• Üçgen eşitsizliğinin ikinci koşulu gözden kaçırılır; iki kenarın farkı da üçüncü kenardan küçük olmalıdır.
• Bulunan kenar uzunluğu mutlaka üçgen eşitsizliğine geri konularak denetlenmelidir.

Kendin dene: üç soru

Bu üç soru konunun özetidir. Çözmeden önce her biri için hangi kuralı kullanıyorum diye düşün; cevap anahtarı sonda verilmiştir.

1. İç açıları x, 2x ve 3x olan bir üçgenin en uzun kenarı 18 cm ise en kısa kenar kaç cm dir? (Şıklar: 6 cm · 12 cm · 9 cm · 6 kök 3 cm)
2. İç açıları 4x, 6x ve 8x derece olan bir üçgenin en büyük açısı kaç derecedir? (Şıklar: 60 derece · 80 derece · 100 derece · 40 derece)
3. Bir üçgende açı ölçüsü ile karşısındaki kenar uzunluğu arasındaki ilişki nedir? (Şıklar: Açı büyüdükçe karşısındaki kenar küçülür · Açı büyüdükçe karşısındaki kenar da büyür · Açı ile kenar arasında bir ilişki yoktur · Her üçgende açı ölçüleri kenar uzunluklarına eşittir)

Cevap anahtarı: 1) 9 cm — Açılar toplamı 180 derece olduğundan x + 2x + 3x = 180 ve 6x = 180 bulunur. Açılar 30 derece, 60 derece ve 90 derece olur ve üçgen dik üçgendir. Dik üçgende 30 derecelik açının karşısındaki kenar hip…

2) 80 derece — İç açıların toplamı 180 derece olduğundan 4x + 6x + 8x = 180 yazılır ve 18x = 180 bulunur. Buradan x = 10 elde edilir. En büyük açı 8x olduğundan ölçüsü 80 derecedir.

3) Açı büyüdükçe karşısındaki kenar da büyür — Bir üçgende açı ölçüsü büyüdükçe o açının karşısındaki kenar da büyür. Açılar ile kenarlar aynı sırayı izler; en büyük açının karşısında en uzun kenar bulunur, en küçük açının karşısında en kısa kena…

Yakın konular

Konunun yerine oturması için komşu başlıkları da bilmek gerekir. Şunlarla birlikte çalışmak konuyu pekiştirir:

• Benzer Üçgenler Oluşturma — aynı ünitede, bir sonraki adım.
• Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.
• Grafik ve Tablo Yorumlama — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.
• Teorik ve Deneysel Olasılık — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.

Bu anlatım hakkında

Üçgende Açı ve Kenarla İlgili Özellikler ve Bu Özellikler Arasındaki İlişkiler başlığındaki her sayısal iddia elle doğrulanabilir biçimde yazıldı: soruda verilen değer, uygulanan kural ve bulunan sonuç yan yana durur. Metin özgün yazılmıştır, başka bir kaynaktan alıntı yapılmamıştır.

Ayrıca derste şu açık uçlu görevler yer alıyor; her biri puanlıdır ve kendi cevabını yazmanı ister:

• ABC üçgeninde AB = 12 cm, BC = 16 cm ve CA = 20 cm kenarları verilmiştir. Bu üçgenin türünü belirleyiniz, en büyük açının ölçüsünü bulunuz, çevresini ve alanını hesaplayınız. İncelemenizi üçgen eşits… (20 puan)
• Aşağıdaki kenar uzunluklarından hangileriyle üçgen çizilebileceğini üçgen eşitsizliğini kullanarak belirleyiniz ve hangilerinin dik üçgen olduğunu hesaplayarak gösteriniz: (a) 5, 5, 9 (b) 6, 8, 10 (c… (20 puan)
• Bir üçgenin kenar uzunlukları 2x − 1, 2x ve 2x + 1 birimdir. Üçgenin en büyük açısı 90 derece olduğuna göre x in değerini bulunuz ve üçgenin kenarlarını belirleyiniz. Bulduğunuz sonucun üçgen eşitsiz… (10 puan)

İleri Örnek

Daha ileri bir uygulama:

Soru: BC kenarı 26 cm olan bir üçgende B köşesinden kenarortay çiziliyor. BC kenarı bu çizgiyle kaç cm lik parçalara ayrılır?

1. Adım 1: Kenarortay karşı kenarı iki eşit parçaya böler.
2. Adım 2: BC kenarının uzunluğu 26 cm olarak verilmiştir.
3. Adım 3: Parçaların uzunluğu 26 / 2 = 13 cm bulunur.
4. Adım 4: Her iki parçanın da 13 cm olduğu denetlenir.

Sonuç/cevap: BC kenarı iki eşit 13 cm lik parçaya ayrılır.

Karşılaştırma Tablosu