Benzer Üçgenler Oluşturma

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Bu derste Benzer Üçgenler Oluşturma konusunu çalışacağız.

Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:

• Kazanım 1: Bir üçgende paralel doğru çizerek benzer üçgen oluşturur ve orantıyı doğru kurar.
• Kazanım 2: İki kenarın orta noktalarını birleştirerek orta kenar parçasını oluşturur ve benzerlik oranını kullanır.
• Kazanım 3: Benzerlik oranını kullanarak kenar, çevre ve alan arasındaki ilişkiyi açıklar ve hesaplar.
• Kazanım 4: Günlük hayatta karşılaşılan gölge, harita ölçeği ve ölçüm problemlerini benzer üçgenlerle çözer.
• Kazanım 5: Benzerlik ile eşlik arasındaki farkı ve iki benzer üçgenin ne zaman eş olabileceğini açıklar.
• Kazanım 6: Verilen kenar ölçüsüyle oluşan benzer üçgeni denetleyerek sonucun doğruluğunu sınar.

Ön bilgi: bundan önce gördüğümüz

Bu konuya geçmeden önce Üçgende Açı ve Kenarla İlgili Özellikler ve Bu Özellikler Arasındaki İlişkiler konusunu bilmemiz gerekiyor. Üçgende Açı ve Kenarla İlgili Özellikler ve Bu Özellikler Arasındaki İlişkiler içindeki kavramlar bu derste doğrudan kullanılacak; aradaki bağı kurmadan sayısal işleme geçmek en sık yapılan hatadır.

• Üçgende Açı ve Kenarla İlgili Özellikler ve Bu Özellikler Arasındaki İlişkiler — bu adımda öğrendiklerimiz bugünkü konunun dayanağı oluyor.
• Tales, Öklid ve Pisagor Teoremleri — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.

Benzer Üçgen Nedir, Nasıl Oluşur?

Benzer üçgenler, karşılıklı açıları eşit ve karşılıklı kenarları orantılı olan üçgenlerdir. İki üçgenin benzer olması için yeterli koşul, karşılıklı iki açının eşit olmasıdır. Bu koşul A-A (açı açı) olarak adlandırılır ve üçüncü açının eşitliği kendiliğinden ortaya çıkar. Ayrıca iki kenarı ve aradaki açıları eşit olan üçgenler de K-A-K koşuluyla benzerdir.

Benzer üçgen oluşturmanın en sık kullanılan yolu bir kenara paralel bir doğru çizmektir. ABC üçgeninde AB kenarına paralel olmayan bir noktadan geçen ve BC yi kesen doğru parçası çizildiğinde, oluşan küçük üçgen büyük üçgenle benzer olur. Çünkü paralellikten doğan yönde dört açı eşit olur ve A-A koşulu sağlanır.

• Kenara paralel doğru çizildiğinde oluşan üçgen daima benzerdir.
• İki kenarın orta noktalarını birleştiren parça da üçüncü kenara paraleldir.
• Benzerlik oranı 1 ise iki üçgen eştir; eş üçgenler de her zaman benzerdir.
• Benzer üçgenlerin çevreleri orantılı, alanları ise oranın karesiyle orantılıdır.

Tales ve Orantılı Böleme

Bir üçgende kenara paralel çizilen doğru, iki kenarı aynı orantıda böler. ABC üçgeninde D noktası AB üzerinde, E noktası AC üzerinde ve DE, BC ye paralelse dört parça arasında şu oranlar yazılabilir: AD/DB = AE/EC, AD/AB = AE/AC, AB/DB = AC/EC.

Bu eşitliklerden biri doğru kurulduğunda diğerleri de kendiliğinden sağlanır. Tersi de doğrudur: iki kesende parçaların oranları eşitse, o noktaları birleştiren doğru paraleldir. Bu son özellik, paralelliğin kendisini sınamak için kullanılır.

Benzerlik oranı k ile büyük ve küçük üçgen arasındaki bağlantı üç biçimde kurulabilir: küçük üçgenin bir kenarının büyüğünün karşılık gelen kenarına oranı, küçük üçgenin çevresinin büyüğünün çevresine oranı ve küçük üçgenin alanının büyüğünün alanına oranı. İlk ikisi k ile, üçüncüsü k kare ile orantılıdır.

Orta Kenar Parçası ve Benzerlik

Bir üçgende iki kenarın orta noktalarını birleştiren doğru parçasına orta kenar parçası denir. Bu parça üçüncü kenara paraleldir ve uzunluğu üçüncü kenarın yarısına eşittir. Böylece kenarların ortasından geçen doğru parçası, üçgenin yarı ölçekli bir kopyasını oluşturur.

Orta kenar parçası üçgenin iki bölgeye ayrılmasını sağlar. Küçük üçgen benzer olduğu için alanı büyük üçgenin dörtte biri, aradaki yelpaze tipi bölge ise büyük üçgenin üçte ikisidir. Bu oranlar problemlerde sık kullanılır.

Benzer Üçgenlerle Ölçüm Problemleri

Benzer üçgenler, ulaşılması ya da ölçülmesi güç olan uzunlukları kısa ve ölçülebilir parçalara bağlayarak çözer. Güneş ışığında duran bir cisim ile gölgesi, harita ile gerçek zemin, kıyıdaki gemi ile tepedeki gözlemci arasındaki yükseklik hep bu yöntemle ölçülür.

Bu problemlerde iki dik üçgen benzerdir. Aynı anda güneş doğrultusu oluşturduğu için iki üçgende de dik açı ve gölge açısı eşittir. Benzerlik kurulduktan sonra orantı yazılır ve istenen uzunluk tek işlemle bulunur.

1. Ölçülebilir parçaları belirle ve birimlerini aynı ölçeğe getir.
2. Oluşan iki üçgenin benzer olduğunu gerekçelendir.
3. Benzerlik oranını yaz ve istenen bilinmeyeni orantıdan çöz.
4. Sonucun beklenen aralıkta olduğunu denetle.

Örnek Soru ve Çözümü

Soru: ABC üçgeninde D noktası AB üzerinde, E noktası AC üzerindedir ve DE, BC ye paraleldir. AD = 4 birim, DB = 6 birim, AE = 9 birim ise EC kaç birimdir?

Çözüm 1. adım: DE, BC ye paralel olduğundan ADE ve ABC üçgenleri benzerdir. Aynı sebeple D ve E noktaları AB ve AC kenarlarını aynı oranda böler.

Çözüm 2. adım: Bu orantıyı yazalım: AD/DB = AE/EC. Yerine koyarsak 4/6 = 9/EC olur.

Çözüm 3. adım: İçler dışlar çarpımı yapılırsa 4 × EC = 6 × 9 = 54 ve buradan EC = 13,5 bulunur.

Çözüm 4. adım: Denetim için AD/AB = 4/10 = 2/5 ve AE/AC = 9/22,5 = 2/5 oranları eşittir. Sonuç EC = 13,5 birim olur.

Soru: Kenarları 4 birim, 6 birim ve 8 birim olan bir üçgenin alanı 18 birim karedir. Kenarı orantılı biçimde 1,5 katına çıkarılan benzer üçgenin alanı kaç birim karedir?

Çözüm 1. adım: Kenarların tamamı 1,5 katına çıkarıldığı için benzerlik oranı k = 1,5 tir.

Çözüm 2. adım: Alanlar oranı k kareye eşittir. (1,5)² = 2,25 hesaplanır.

Çözüm 3. adım: Yeni alan 18 × 2,25 = 40,5 birim kare bulunur.

Çözüm 4. adım: Kenarlar kontrol edilirse 6 birim, 9 birim ve 12 birim olur; yeni üçgen bir öncekinin gerçekten benzeridir. Sonuç 40,5 birim kare olur.

Sık Yapılan Hatalar

Hata 1: Alan oranını k ile almak. Benzer üçgenlerde çevre oranı k, alan oranı ise k karedir. Alan hesabında kare alma adımı atlanırsa sonuç hatalı çıkar.

Hata 2: Orantıyı yanlış kademede kurmak. AD/DB ile AD/AB farklı orantılardır. Kullanılacak kademe, verilen sayıların hangilerini içerdiğine bakılarak seçilmelidir.

Hata 3: Orta kenar parçasının uzunluğunu üçüncü kenara eşit saymak. Orta kenar parçası üçüncü kenarın yarısıdır; aynı uzunluk değildir.

Hata 4: Paralel çizilmediği hâlde orantı kurmak. Benzerlik ancak kenarların gerçekten paralel olması ya da açıların eşitliği ile kanıtlanır. Paralellik verilmemişse önce kanıtlanmalıdır.

Hata 5: A-A koşulunu yeterli saymamak. Karşılıklı iki açının eşit olması zaten üçüncü açının eşitliğini getirir. Açı sayısını üçe çıkarmak gerekmez, ama eşit kabul edilen açıların karşılıklı olduğundan emin olunmalıdır.

Özet

Benzer üçgen oluşturmanın temel yolu bir kenara paralel doğru çizmektir; böylece oluşan üçgende karşılıklı açılar eşit olur ve A-A koşulu sağlanır. İki kenarın orta noktalarını birleştiren orta kenar parçası da üçüncü kenara paraleldir ve onun yarısı uzunluğundadır. Paralellik, iki keseni aynı orantıda böler ve bu orantı bilinmeyen parçayı bulmak için kullanılır. Benzerlik oranı k ise çevreler oranı k, alanlar oranı k kare olur. Gölge, harita ve ölçüm problemlerinde benzer üçgenler kurularak ulaşılması zor uzunluklar kolayca hesaplanır ve bulunan değer kenar ölçüsüyle denetlenir.

Günlük hayattan bir uygulama

Şimdi konuyu kendi hayatımızdaki bir duruma uygulayacağız. Benzer Üçgenler Oluşturma bilgisi olmadan da bu iş yapılabilir, ama nasıl yapıldığını açıklamak zorlaşır; soru tam da bu açıklamayı istiyor.

Uygulama sorusu: ABC üçgeninde D noktası AB üzerinde, E noktası AC üzerindedir ve DE, BC ye paraleldir. AD = 4 birim, DB = 6 birim, DE = 5 birim olduğuna göre BC, EC ve ADE üçgeninin çevresi kaç birim bulunur?

Bu görev için 20 puan dağıtılmıştır; puanlama anahtarı, cevabın hangi adımlarla gösterilmesi gerektiğini ayrıntılı biçimde söyler. Puanlamada işlem sırasının ve sonuç cümlenin ayrı ayrı sayıldığına dikkat et.

Sınıfta işe yarayan pratik notlar

• Paralel çizgili üçgende orantı kurarken önce hangi sayının hangi parçaya ait olduğunu eşleştirin; yanlış kademe en sık hatadır.
• Alan sorusuna başlamadan önce sorunun kenar mı alan mı istediğini belirleyin; alan gerekiyorsa benzerlik oranını kareleyin.
• Orta kenar parçası sorusunda önce üçüncü kenarı bulup sonra parçayı yarıya indirmek sonucu hızlı doğrular.
• Gölge problemlerinde iki cismin gölge açıları aynı olduğundan üçgenlerin benzer olduğunu önce yazın, sonra orantı kurun.
• Bulduğunuz uzunluğun diğer kenarlarla uyumlu olup olmadığını denetlemek, kademe seçimindeki hatayı hemen yakalar.

İki örnek üzerinde çözüm

İki örnek üzerinde çalışacağız. İlk örnek kuralın temel kullanımını, ikinci örnek ise kuralın zorlayıcı bir durumunu gösterir. Adımları kendin yazmayı dene; ikinci adımda nerede durduğunu görmek, sınavda zaman kazanır.

Paralel Doğru ile Orantılı Böleme

Soru: ABC üçgeninde DE, BC ye paraleldir. AD = 5 birim, DB = 10 birim ve AE = 8 birim olduğuna göre EC kaç birimdir?

1. Adım 1: DE, BC ye paralel olduğu için ADE ve ABC üçgenleri benzerdir.
2. Adım 2: Bu durumda D ve E noktaları AB ve AC kenarlarını aynı oranda böler, yani AD/DB = AE/EC yazılır.
3. Adım 3: Değerler yerine konur: 5/10 = 8/EC.
4. Adım 4: İçler dışlar çarpımıyla 5 × EC = 10 × 8 = 80 bulunur ve EC = 16 birim olur.

Cevap: EC 16 birimdir.

Bu örnekte adım sayısını not edin: kural her zaman aynı sayıda işlemle değil, kazanılması gereken bilgiye göre çözülür.

Orta Kenar Parçası ile Alan

Soru: Bir ABC üçgeninde D ve E, sırasıyla AB ve AC kenarlarının orta noktalarıdır. ABC üçgeninin alanı 72 birim kare ise ADE üçgeninin alanı kaç birim karedir?

1. Adım 1: Orta noktaları birleştiren DE doğrusu, BC ye paraleldir ve BC nin yarısı uzunluğundadır.
2. Adım 2: Bu nedenle ADE üçgeni ABC üçgeniyle benzerdir ve benzerlik oranı k = 1/2 dir.
3. Adım 3: Alanlar oranı k kareye eşittir, yani (1/2)² = 1/4 bulunur.
4. Adım 4: ADE üçgeninin alanı 72 × 1/4 = 18 birim kare olur.

Cevap: ADE üçgeninin alanı 18 birim karedir.

Terimler ve aralarındaki fark

Bu derste geçen terimler birbirine yakın durur ve sınavda karıştırılır. Aşağıdaki tabloda her terimin anlamı ve sık karıştırılan karşılığı yan yana verilmiştir.

Kurallar, formüller ve ölçüler

Bu konunun dayandığı kurallar aşağıdadır. Tabloyu ezberlemek değil, kuralın hangi soruda işe yaradığını görmek esastır.

Yukarıdaki ölçülerin arkasındaki kural ve formüller şunlardır:

Hangi hatalara dikkat edelim?

Aşağıdaki hatalar bu konuda en sık görülenlerdir. Her biri için önce hatanın kendisi, sonra neden yanlış olduğu ve doğrusu anlatılmıştır.

• Alan oranını benzerlik oranına eşitlemek Benzer üçgenlerde çevreler oranı benzerlik oranına eşittir ama alanlar oranı bu oranın karesidir. Alan sorusunda kare alma adımı atlanırsa sonuç hatalı çıkar.
• Yanlış orantı kademesi kurmak AD/DB ile AD/AB birbirinden farklı orantılardır. Kullanılacak kademe, soruda verilen parçaların içinde bulunduğu orana bakılarak seçilmelidir.
• Orta kenar parçasını üçüncü kenarla aynı uzunlukta saymak İki kenarın orta noktalarını birleştiren parça, üçüncü kenarın tam yarısı uzunluğundadır. Yarım değerini atlamak sonucu iki kat yanlış yapar.
• Paralellik kanıtlanmadan orantı kurmak Benzerlik ancak kenarların gerçekten paralel olması ya da karşılıklı açıların eşitliği ile geçerlidir. Paralellik verilmemişse önce kanıtlanmalıdır.
• Benzer ile eş kavramlarını birbirine karıştırmak Benzer üçgenlerde kenarlar eşit olmak zorunda değildir; ancak benzerlik oranı 1 olduğunda üçgenler eş olur ve tüm kenarları örtüşür.

Özet

Kısaca: Benzer üçgen oluşturmanın temel yolu bir kenara paralel doğru çizmektir; böylece oluşan üçgende karşılıklı açılar eşit olur ve A-A koşulu sağlanır. Paralellik, iki keseni aynı orantıda böler ve Tales orantısıyla bilinmeyen parça bulunur. Gölge, harita ve ölçüm problemlerinde benzer üçgenler kurularak ulaşılması zor uzunluklar kolay…

Sınav öncesi şu maddeleri tekrar etmek yeterli olacaktır:

• Bir kenara paralel çizilen doğru parçası, oluşturduğu küçük üçgeni büyük üçgenle benzer yapar; bu yöntemde açı eşitliği paralellikten doğar.
• Benzerlik oranı k iken çevreler oranı k, alanlar oranı k kare olarak değişir; kareleme adımı sınavlarda sık atlanır.
• Tales teoremi iki kesende parçaların aynı orantıda bölündüğünü söyler ve paralel doğrular için geçerlidir.
• Orta kenar parçası üçüncü kenarın yarısı uzunluğundadır ve ona paraleldir; bu parça ile oluşan üçgen benzerdir.
• A-A koşulunda eşit kabul edilen açılar karşılıklı olmalıdır; üçüncü açının eşitliği kendiliğinden gelir.
• Eşlik, benzerliğin özel bir hâlidir; benzerlik oranı 1 olduğunda iki üçgen eş olur.
• Ölçüm problemlerinde benzerlik oranı, ölçülebilen kısa parçaların oranı olarak kurulur.

Kendini dene

Aşağıdaki sorular konunun farklı yönlerini yoklar. Önce kendin çöz, sonra cevap anahtarına bak; eğer bir soruyu yanlış yaptıysan yukarıdaki ilgili bölüme geri dön.

1. ABC üçgeninde D noktası AB üzerinde, E noktası AC üzerindedir ve DE, BC ye paraleldir. AD = 6 birim, DB = 4 birim, AE = 9 birim olduğuna göre EC kaç birimdir? (Şıklar: 6 birim · 7,5 birim · 13 birim · 5 birim)
2. ABC üçgeninde DE, BC ye paraleldir ve AD = 4 birim, DB = 6 birim ise AB kaç birimdir? (Şıklar: 10 birim · 8 birim · 12 birim · 6 birim)
3. Bir üçgende bir kenara paralel başka bir doğru çizildiğinde oluşan büyük ve küçük üçgen için ne söylenebilir? (Şıklar: İki üçgen eş olur · Küçük üçgen, büyük üçgenin benzeridir · İki üçgenin alanları eşittir · Büyük üçgen küçük üçgenden tamamen farklıdır)

Cevap anahtarı: 1) 6 birim — Tales orantısı yazılır: AD/DB = AE/EC, yani 6/4 = 9/EC. İçler dışlar çarpımıyla 6 × EC = 4 × 9 = 36 bulunur ve EC = 6 birim olur. Denetimde AD/AB = 6/10 ve AE/AC = 9/15 oranları 3/5 olarak örtüşür.

2) 10 birim — AB kenarı D noktasında iki parçaya ayrılmıştır. Bu parçaların toplamı AB uzunluğunu verir: 4 + 6 = 10 birim bulunur.

3) Küçük üçgen, büyük üçgenin benzeridir — Kenara paralel çizilen doğru, paralellikten doğan yönde açıları eşit kılar ve karşılıklı iki açı örtüşür. A-A koşulu sağlandığı için oluşan küçük üçgen büyük üçgenle benzer olur.

Komşu konular

Bu konuyu öğrenmek şu başlıkları da kolaylaştırır. Aynı üniteden ve sonraki üniteden ikişer konu seçtik:

• Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.
• Grafik ve Tablo Yorumlama — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.
• Teorik ve Deneysel Olasılık — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.
• Tek Nicel Değişkenli Veri Dağılımları — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.

Kaynak notu

Bu derste Benzer Üçgenler Oluşturma konusu için kullanılan sayısal değerlerin tamamı adım adım gösterilerek hesaplandı; yaklaşık değer gereken yerde yaklaşık ifadesi açıkça yazıldı. Bu anlatım başka bir kitaptan cümle aktarmadan, konunun tanım ve kural düzeni yeniden yazılarak hazırlandı.

Ayrıca derste şu açık uçlu görevler yer alıyor; her biri puanlıdır ve kendi cevabını yazmanı ister:

• ABC üçgeninde D noktası AB üzerinde, E noktası AC üzerindedir ve DE, BC ye paraleldir. AD = 4 birim, DB = 6 birim, DE = 5 birim olduğuna göre BC, EC ve ADE üçgeninin çevresi kaç birim bulunur? (20 puan)
• Kenarları 5 birim, 6 birim ve 7 birim olan bir ABC üçgeninin alanı 12 birim karedir. Bu üçgenle benzer olan ve kenarları iki katı olan üçgenin çevresini ve alanını hesaplayınız. (20 puan)
• Güneş ışığında gövde yüksekliği 1,4 m olan bir öğrencinin gölgesi 1,8 m, okulun gölgesi 27 m olarak ölçülmüştür. Bu verilerden yararlanarak okulun yüksekliğini benzer üçgenler yardımıyla bulunuz ve y… (10 puan)

İleri Örnek

Daha ileri bir uygulama:

Soru: 1/100 000 ölçekli bir haritada iki köy arasındaki uzaklık 4,5 cm olarak ölçülmüştür. Gerçek uzaklık kaç kilometredir?

1. Adım 1: Ölçek paydası 100 000 olduğundan kâğıttaki her 1 cm gerçekte 100 000 cm ye karşılık gelir.
2. Adım 2: Gerçek uzunluk 4,5 × 100 000 = 450 000 cm olarak bulunur.
3. Adım 3: 1 km = 100 000 cm olduğundan birime çevrilir.
4. Adım 4: 450 000 / 100 000 = 4,5 km elde edilir.

Sonuç/cevap: Gerçek uzaklık 4,5 kilometredir.

Karşılaştırma Tablosu