Teorik Olasılık

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Bu derste Teorik Olasılık konusunu önce kuralıyla, sonra sayı üstünde uygulamasıyla göreceğiz. Her adımda "neden böyle yapıyoruz" sorusunu cevaplamak asıl hedeftir; kuralı ezberleyip bırakmak işe yaramaz.

Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:

• Kazanım 1: Olasılığın bir olayın gerçekleşme derecesini anlattığını açıklar.
• Kazanım 2: Olasılığın 0 ile 1 arasındaki değerleri aldığını ve uç değerlerin anlamını bilir.
• Kazanım 3: Teorik olasılığı uygun sonuç sayısını tüm sonuç sayısına bölerek hesaplar.
• Kazanım 4: Eşit olasılıklı sonuçlar arasından uygun sonuçları sayıp oranı çıkarır.
• Kazanım 5: Deneysel olasılığı hesaplayarak teorik olasılıkla karşılaştırır.
• Kazanım 6: Olasılık değerini kesir, ondalık ve yüzde olarak ifade eder.

Ön bilgi: bundan önce gördüğümüz

Bu konuyu anlamanın ön koşulu Kategorik ve Nicel (Sürekli) Veri Dağılımları bilgisidir. Kategorik ve Nicel (Sürekli) Veri Dağılımları konusundaki temel kavramlar bu derste örneklerin üzerinde yeniden karşımıza çıkacak.

• Kategorik ve Nicel (Sürekli) Veri Dağılımları — bağlantı: bu derste yeniden karşımıza çıkacak konu.
• Eşkenar Dörtgen ve Yamuk — bu adımda öğrendiklerimiz bugünkü konunun dayanağı oluyor.

Olasılık Kavramı

Olasılık, bir olayın gerçekleşme derecesini belirten, 0 ile 1 arasında bir sayıdır. Rastgele bir deneyde hangi sonucun çıkacağı önceden bilinmez; ancak bu sonuca ne kadar yakın olduğumuzu olasılıkla ifade ederiz. Olasılık bir tahmin değil, sonuçların sayılmasına dayanan bir orandır.

Örneğin bir zar atıldığında üstüne çıkacak sayıyı önceden söyleyemeyiz, ama zarın hangi sayıyı göstereceğine dair olasılıkları hesaplayabiliriz.

Olasılığın Değer Aralığı

Bir olayın olasılığı 0 ile 1 arasında bir değerdir. Bu aralığın iki ucu özel anlam taşır. Bir olayın kesinlikle gerçekleşmeyeceği biliniyorsa olasılığı 0'dır. Bir olayın kesinlikle gerçekleşeceği biliniyorsa olasılığı 1'dir. Aradaki değerler olayın gerçekleşme derecesini gösterir.

• Hiç gerçekleşmeyen olay: olasılık 0
• Her zaman gerçekleşen olay: olasılık 1
• Bazen gerçekleşen olay: olasılık 0 ile 1 arasında

Teorik Olasılığın Hesaplanması

Teorik olasılık deney yapılmadan hesaplanır. Deneyde çıkabilecek bütün sonuçlar sayılır, bunlardan aranan özelliği taşıyanlar uygun sonuç olarak ayrılır ve uygun sonuç sayısı tüm sonuç sayısına bölünür.

Teorik olasılık = Uygun sonuç sayısı / Tüm sonuç sayısı

Bu bağıntının uygulanabilmesi için sonuçların eşit olasılıklı olması gerekir. Eşit olasılıklı deneyde her sonuç eşit sıklıkla karşılık bulur; deney çok kez tekrarlanırsa her sonuç yaklaşık aynı sıklıkta görülür.

Günlük Hayattan Olasılık Örnekleri

Olasılık günlük hayatta da karşımıza çıkar. Bir kutuya 4 kırmızı ve 6 mavi top koyup rastgele bir top çektiğimizde kırmızı top çıkma olasılığını merak ederiz. Bir öğrenci okula geldiği günlerde yağmur yağma olasılığını, bir maçta galibiyet olasılığını konuşuruz. Hepsi aynı mantıkla hesaplanır.

Olasılık dört farklı biçimde yazılabilir. Aynı değeri ifade eden bu yazımlar birbirine dönüştürülebilir ve karşılaştırma yaparken aynı biçime getirilmesi işi kolaylaştırır.

Deneysel Olasılık ve Örneklem

Deneysel olasılık, gerçek bir deneyde gözlenen sonuçların sayısının deneme sayısına bölünmesiyle bulunur. Örneğin bir deney 40 kez yapılıp 26 kez olumlu sonuç alınmışsa deneysel olasılık 26/40 işlemiyle hesaplanır.

Deneme sayısı arttıkça deneysel olasılık, teorik olasılığa yaklaşır. Bu nedenle çok sayıda tekrarla yapılan deneylerin sonuçları güvenilir sayılır; az sayıda deneyde ise sonuçlar teorik değerden uzaklaşabilir. Bir olayı incelerken yeterli sayıda örneklem toplanması bu yüzden önemlidir.

Özet Olasılık, bir olayın gerçekleşme derecesini belirten ve 0 ile 1 arasında değer alan bir büyüklüktür. Kesinlikle gerçekleşmeyen olayın olasılığı 0, kesinlikle gerçekleşen olayın olasılığı 1'dir. Teorik olasılık deney yapılmadan, uygun sonuç sayısının tüm sonuç sayısına bölünmesiyle hesaplanır ve sonuçların eşit olasılıklı olması gerekir. Deneysel olasılık ise deneme sayısına gözlenen uygun sonuç sayısının bölünmesiyle bulunur. Deneme sayısı arttıkça deneysel olasılık teorik olasılığa yaklaşır. Olasılık kesir, ondalık ve yüzde olarak ifade edilebilir; karşılaştırma yaparken aynı biçime çevrilmesi gerekir.

Sık Yapılan Hatalar Uygun sonuç ile tüm sonuç yerlerini ters yazmak; uygun sonuç bulunmadığı hâlde sıfırdan farklı bir olasılık üretmek; eşit olasılıklı olmayan deneyde teorik bağıntıyı olduğu gibi kullanmak; bağımsız iki denemede olasılıkları toplamak; olasılığı 1'den büyük ya da negatif bir değer olarak yazmak; deneysel olasılığı az sayıda deneme sonucuna göre kesin kabul etmek.

Günlük hayattan bir uygulama

Konuyu pekiştirmek için günlük hayattan bir uygulamaya bakmak gerekir. Aşağıdaki görev, Teorik Olasılık bilgisini gerçek bir işin içinde kullandırmak için hazırlandı; çözerken hangi adımı nerede kullandığımızı not etmek faydalıdır.

Uygulama sorusu: Bir sınıfta bir hafta boyunca her gün için hava durumunu güneşli, bulutlu, yağmurlu ya da rüzgârlı olarak kaydediniz. Elde ettiğiniz veriyi uygun grafikle gösteriniz ve hangi durumun olasılığının en yüksek olduğunu nedenine açıklayarak nasıl belirtirsiniz?

Bu görev için 20 puan dağıtılmıştır; puanlama anahtarı, cevabın hangi adımlarla gösterilmesi gerektiğini ayrıntılı biçimde söyler. Puanlamada işlem sırasının ve sonuç cümlenin ayrı ayrı sayıldığına dikkat et.

Bu konuyu çalışırken işinize yarayacak notlar

• Hesaplamaya başlamadan önce tüm sonuçları yaz, sonra uygun olanları işaretle; sıralama gözden kaçarsa hata kolayca olur.
• Sonucu sadeleştirilmiş kesir olarak yaz ve istersen ondalık ya da yüzde karşılığını da belirt.
• Bağımsız denemelerde olasılıkları çarp, birbirini dışlayan durumlarda topla.
• Olasılık değerinin 0 ile 1 arasında olduğunu son kontrolde mutlaka doğrula.
• Teorik ve deneysel olasılığı karşılaştırırken deneme sayısını da yaz; az denemede fark normaldir.

Adım adım çözülmüş örnekler

İki örnek üzerinde çalışacağız. İlk örnek kuralın temel kullanımını, ikinci örnek ise kuralın zorlayıcı bir durumunu gösterir. Adımları kendin yazmayı dene; ikinci adımda nerede durduğunu görmek, sınavda zaman kazanır.

Örnek 1: Zarla İlgili Olasılık

Soru: Bir zar atıldığında üstüne 5'ten küçük bir sayı gelme olasılığı nedir?

1. Adım 1: Zarın yüzlerinde 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 sayıları vardır, tüm sonuç sayısı 6'dır.
2. Adım 2: 5'ten küçük sayılar 1, 2, 3 ve 4 olduğundan uygun sonuç sayısı 4'tür.
3. Adım 3: Uygun sonuç sayısı tüm sonuç sayısına bölünür ve 4/6 işlemi yapılır.
4. Adım 4: Sadeleştirme sonucu elde edilir.

Cevap: 2/3

Bu örnekte adım sayısını not edin: kural her zaman aynı sayıda işlemle değil, kazanılması gereken bilgiye göre çözülür.

Örnek 2: Torbadan Top Çekme

Soru: Torbadaki 3 kırmızı ve 5 mavi toptan rastgele bir top çekildiğinde mavi top çıkma olasılığı nedir?

1. Adım 1: Torbadaki toplam top sayısı 3 + 5 = 8 olarak hesaplanır.
2. Adım 2: Uygun sonuç mavi toplardır ve sayısı 5'tir.
3. Adım 3: Uygun sonuç sayısı tüm sonuç sayısına bölünür.

Cevap: 5/8