7. SınıfMatematik
Matematik · 7. Sınıf · Geometri ve Veri
Bu derste Eşkenar Dörtgen ve Yamuk konusunu önce kuralıyla, sonra sayı üstünde uygulamasıyla göreceğiz. Her adımda "neden böyle yapıyoruz" sorusunu cevaplamak asıl hedeftir; kuralı ezberleyip bırakmak işe yaramaz.
Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:
Bu konuya geçmeden önce Hacim Ölçme Birimleri konusunu bilmemiz gerekiyor. Hacim Ölçme Birimleri içindeki kavramlar bu derste doğrudan kullanılacak; aradaki bağı kurmadan sayısal işleme geçmek en sık yapılan hatadır.
Dörtgen, dört kenarı ve dört köşesi olan kapalı bir düzlemsel şekildir. Kenarlarının durumuna göre dörtgenler paralelkenar, yamuk, eşkenar dörtgen ve kare olarak sınıflandırılır. Sınıflandırmada karşılıklı kenarların paralel olup olmadığı ve kenarların eşit olup olmadığı temel ölçüttür.
| Dörtgen | Paralel kenar çifti | Kenar eşitliği |
|---|---|---|
| Paralelkenar | 2 çift | eşit değil |
| Yamuk | 1 çift | eşit değil |
| Eşkenar dörtgen | 2 çift | 4 kenar eşit |
| Kare | 2 çift | 4 kenar eşit |
Eşkenar dörtgen, dört kenarı da birbirine eşit ve karşılıklı kenarları paralel olan dörtgendir. Dört açısı da dik olduğundan her iç açısı 90 derecedir. Bu nedenle kare, eşkenar dörtgenin özel bir durumudur; her kare eşkenar dörtgendir, ancak her eşkenar dörtgen kare değildir.
Eşkenar dörtgenin en önemli özelliği köşegenleridir. İki köşegen birbirini dik olarak ve ortasından keser. Yani köşegenlerin kesişim noktası, her iki köşegeni de iki eşit parçaya böler. Köşegenlerin uzunlukları birbirine eşit olmak zorunda değildir.
Köşegenleri dik kestiği için eşkenar dörtgen dört adet dik üçgene bölünür. Bu dört üçgenin alanları toplandığında, dörtgenin alanı köşegen çarpımının yarısına eşit olur.
Örneğin köşegenleri 12 cm ve 10 cm olan bir eşkenar dörtgende önce 12 · 10 = 120 hesaplanır, ardından bu değerin yarısı alınır ve alan 60 cm² bulunur. Alan birimi kare birim olduğundan cevap cm² olarak yazılır.
Yamuk, karşılıklı kenarlarından yalnızca bir çifti birbirine paralel olan dörtgendir. Birbirine paralel olan iki kenara taban, diğer iki kenara yan kenar denir. İki taban birbirine eşit değildir; eşit olsaydı dörtgen paralelkenar olurdu.
Yamuğun alanı, iki tabanın toplamının yarısı ile yüksekliğin çarpımına eşittir. Bağıntı şöyle yazılır: A = (a + b) · h / 2.
Tabanları 8 cm ve 14 cm, yüksekliği 5 cm olan yamuğun alanı şöyle bulunur: 8 + 14 = 22 cm toplam alınır, 22 değerinin yarısı 11 cm olur, ardından 11 · 5 = 55 hesaplanır ve alan 55 cm² bulunur.
Bu üç dörtgen arasındaki ilişki paralel kenar sayısıyla açıklanır. Paralelkenarda iki çift kenar paraleldir. Yamukta bu sayı bir çifte düşer. Eşkenar dörtgende ise hem iki çift kenar paraleldir hem de dört kenar eşittir. Bu yüzden paralelkenarın özel bir durumu olan dik paralelkenar, kenar eşitliği de sağlanıyorsa eşkenar dörtgen olur.
Alan bağıntıları da bu sınıflandırmayı yansıtır. Yamukta iki tabanın ortalaması kullanılırken eşkenar dörtgende iki köşegenin çarpımının yarısı kullanılır. İkisi de cismin kapladığı alanı verir, ancak hangi ölçülerin verildiğine göre bağıntı seçilir.
Özet Eşkenar dörtgen, dört kenarı eşit ve karşılıklı kenarları paralel olan, açıları dik olan dörtgendir; kare onun özel bir durumudur. Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini dik olarak ve ortasından keser ve alanı köşegen çarpımının yarısına eşittir. Yamuk ise yalnızca bir çift karşılıklı kenarı paralel olan dörtgendir; paralel kenarlara taban denir ve alanı iki tabanın toplamının yarısı ile yüksekliğin çarpımına eşittir.
Sık Yapılan Hatalar Her eşkenar dörtgeni kare sanmak; eşkenar dörtgende köşegenlerin eşit olduğunu düşünmek; köşegenlerin kesişim noktasinin iki köşegenin de ortası olduğunu atlamak; yamuğun yüksekliğini yan kenar yerine dikme olarak çizmemek; yamuk alanında taban ortalaması yerine tek tabanı kullanmak; iki tabanın eşit olması hâlinde dörtgenin paralelkenar olduğunu gözden kaçırmak.
Konuyu pekiştirmek için günlük hayattan bir uygulamaya bakmak gerekir. Aşağıdaki görev, Eşkenar Dörtgen ve Yamuk bilgisini gerçek bir işin içinde kullandırmak için hazırlandı; çözerken hangi adımı nerede kullandığımızı not etmek faydalıdır.
Uygulama sorusu: Tabanları 9 cm ve 15 cm, yüksekliği 6 cm olan bir yamuğu deftere çizerek alanını bulunuz. Peki yükseklik neden yan kenarlara dik çizilmelidir?
Bu görev için 15 puan dağıtılmıştır; puanlama anahtarı, cevabın hangi adımlarla gösterilmesi gerektiğini ayrıntılı biçimde söyler. Puanlamada işlem sırasının ve sonuç cümlenin ayrı ayrı sayıldığına dikkat et.
Sınıfta işe yarayan pratik notlar
İki örnek üzerinde çalışacağız. İlk örnek kuralın temel kullanımını, ikinci örnek ise kuralın zorlayıcı bir durumunu gösterir. Adımları kendin yazmayı dene; ikinci adımda nerede durduğunu görmek, sınavda zaman kazanır.
Örnek 1: Eşkenar Dörtgenin Alanı
Soru: Köşegenleri 12 cm ve 10 cm olan eşkenar dörtgenin alanını bulunuz.
Cevap: 60 cm²
Bu örnekte adım sayısını not edin: kural her zaman aynı sayıda işlemle değil, kazanılması gereken bilgiye göre çözülür.
Örnek 2: Yamuğun Alanı
Soru: Tabanları 8 cm ve 14 cm, yüksekliği 5 cm olan yamuğun alanını bulunuz.
Cevap: 55 cm²
Bu derste geçen terimler birbirine yakın durur ve sınavda karıştırılır. Aşağıdaki tabloda her terimin anlamı ve sık karıştırılan karşılığı yan yana verilmiştir.
| Kavram | Anlamı | Sık karıştırılan karşılığı |
|---|---|---|
| Dörtgen | Dört kenarı ve dört köşesi olan kapalı bir düzlemsel şekildir. Kenarlarının durumuna göre dörtgenler paralelkenar, yamuk, eşkenar dörtgen ve kare ola… | Her eşkenar dörtgeni kare saymak |
| Eşkenar dörtgen | Dört kenarı da birbirine eşit ve karşılıklı kenarları paralel olan dörtgendir. Dört açısı da dik olduğundan her iç açısı 90 derecedir. Bu nedenle | Her eşkenar dörtgeni kare saymak |
| Kare | Eşkenar dörtgenin özel bir durumudur; her kare eşkenar dörtgendir, ancak her eşkenar dörtgen kare değildir. | Her eşkenar dörtgeni kare saymak |
| Dik olarak | Ve | Bu kavram için ayrı bir hata kaydı tutulmamış; tanımıyla ilgili uyarılar aşağıdaki bölümde. |
| Yamuk | Karşılıklı kenarlarından yalnızca bir çifti birbirine paralel olan dörtgendir. Birbirine paralel olan iki kenara | Yamuk alanında tek tabanı kullanmak |
| Taban | Diğer iki kenara | Yamuğun yüksekliğini yan kenardan ölçmek |
| Yan kenar | İki taban birbirine eşit değildir; eşit olsaydı dörtgen paralelkenar olurdu. | Yamuğun yüksekliğini yan kenardan ölçmek |
| Yükseklik | Olarak adlandırılır. | Yamuğun yüksekliğini yan kenardan ölçmek |
Aşağıdaki tablo bu konudaki kuralları tek bakışta toplar. Karar verirken önce bu tabloya bakmak, kuralı hatırlamakta işe yarar.
| Ölçülen büyüklük | Derste geçen değer | Değerin geçtiği bağlam |
|---|---|---|
| uzunluk | 12 cm | Köşegenleri 12 cm ve 10 cm olan eşkenar dörtgenin alanını bulunuz. |
| alan | 60 cm² | Adım 3: 120 değerinin yarısı alınır ve alan 60 cm² olarak bulunur. |
| uzunluk | 8 cm | Tabanları 8 cm ve 14 cm, yüksekliği 5 cm olan yamuğun alanını bulunuz. |
| uzunluk | 22 cm | Adım 1: İki taban toplanır: 8 + 14 = 22 cm bulunur. |
| uzunluk | 11 cm | Adım 2: 22 değerinin yarısı alınır ve ortalama taban 11 cm olur. |
| alan | 55 cm² | Adım 4: Sonuç 55 cm² olarak yazılır. |
| alan | 28 cm² | Tabanları 5 cm ve 9 cm olan bir yamuğun alanı 28 cm² ise yüksekliği kaç cm'dir? |
| uzunluk | 14 cm | Adım 1: Taban toplamı 5 + 9 = 14 cm olarak bulunur. |
Yukarıdaki ölçülerin arkasındaki kural ve formüller şunlardır:
| Kural ya da formül | Ölçü / birim | Örnek adımlarında geçiyor mu |
|---|---|---|
| Eşkenar dörtgenin alanı = (d1 · d2) / 2 | Ölçü birimi yok (saf kural) | Evet — Örnek 1: Eşkenar Dörtgenin Alanı |
| Yamuğun alanı = (a + b) · h / 2 | Ölçü birimi yok (saf kural) | Evet — Örnek 1: Eşkenar Dörtgenin Alanı |
| Yamuğun yüksekliği: iki yüzey arasındaki en kısa dikme | Ölçü birimi yok (saf kural) | Evet — Örnek 2: Yamuğun Alanı |
| Eşkenar dörtgende köşegenler birbirini dik ve ortalar | Ölçü birimi yok (saf kural) | Evet — Örnek 1: Eşkenar Dörtgenin Alanı |
| Dörtgenin bir iç açısı = 360 / 4 | Ölçü birimi yok (saf kural) | Evet — Örnek 1: Eşkenar Dörtgenin Alanı |
| Bilinmeyen köşegen: d2 = (2 · A) / d1 | Ölçü birimi yok (saf kural) | Evet — Örnek 1: Eşkenar Dörtgenin Alanı |
| Bilinmeyen yükseklik: h = (2 · A) / (a + b) | Ölçü birimi yok (saf kural) | Evet — Örnek 2: Yamuğun Alanı |
Aşağıdaki hatalar bu konuda en sık görülenlerdir. Her biri için önce hatanın kendisi, sonra neden yanlış olduğu ve doğrusu anlatılmıştır.
Kısaca: Eşkenar dörtgen, dört kenarı birbirine eşit ve karşılıklı kenarları paralel olan, dört açısı da dik olan dörtgendir; kare bu dörtgenin özel bir durumudur. Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini dik olarak ve ortasından kestiği için dörtgen dört dik üçgenine bölünür ve alanı köşegen çarpımının yarısına eşittir. Yamuk ise karşılıklı kenarlarından yalnızca bir çifti paralel olan dörtgendir; paralel kenarlar taban olarak adlandırılır, aralarındaki en kısa dikme yüksekliktir ve alan iki tabanın toplamının yarısı ile y…
Derste gördüğümüz ana fikirler şunlar:
Aşağıdaki sorular konunun farklı yönlerini yoklar. Önce kendin çöz, sonra cevap anahtarına bak; eğer bir soruyu yanlış yaptıysan yukarıdaki ilgili bölüme geri dön.
Cevap anahtarı: 1) 5 — Eşkenar dörtgenin alanı 12 · 10 = 120 değerinin yarısı olduğundan karşılaştırma için 60 cm² alınır. Yamuğun ortalama tabanı 24/2 işlemiyle 12 cm olur ve 60/12 bölümü sonucu = 5.
2) 60 — Eşkenar dörtgenin alanı köşegen çarpımının yarısıdır. 10 · 12 = 120 hesaplanır, yarısı alınır ve sonuç = 60.
3) 4 köşe ve 4 kenar — Dörtgen dört kenarı ve dört köşesi olan kapalı bir düzlemsel şekildir. Eşkenar dörtgende de kenar ve köşe sayısı değişmez, yani sonuç = 4.
Bu konuyu öğrenmek şu başlıkları da kolaylaştırır. Aynı üniteden ve sonraki üniteden ikişer konu seçtik:
Bu derste Eşkenar Dörtgen ve Yamuk konusu için kullanılan sayısal değerlerin tamamı adım adım gösterilerek hesaplandı; yaklaşık değer gereken yerde yaklaşık ifadesi açıkça yazıldı. Bu anlatım başka bir kitaptan cümle aktarmadan, konunun tanım ve kural düzeni yeniden yazılarak hazırlandı.
Ayrıca derste şu açık uçlu görevler yer alıyor; her biri puanlıdır ve kendi cevabını yazmanı ister:
Daha ileri bir uygulama:
Soru: Alanı 54 cm², köşegenlerinden biri 18 cm olan eşkenar dörtgenin diğer köşegeni kaç cm'dir?
Sonuç/cevap: 6 cm
Bu derste Eşkenar Dörtgen ve Yamuk konusunu önce kuralıyla, sonra sayı üstünde uygulamasıyla göreceğiz. Her adımda "neden böyle yapıyoruz" sorusunu cevaplamak asıl hedeftir; kuralı ezberleyip bırakmak işe yaramaz.
Bu derste Eşkenar Dörtgen ve Yamuk konusunu önce kuralıyla, sonra sayı üstünde uygulamasıyla göreceğiz. Her adımda "neden böyle yapıyoruz" sorusunu cevaplamak asıl hedeftir; kuralı ezberleyip bırakmak işe yaramaz. Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:
Eşkenar dörtgenin dört kenarı eşit, dört açısı dik olduğu için 90 derecedir.
Her eşkenar dörtgeni kare saymak: Eşkenar dörtgende yalnızca kenarlar eşittir. Açıları da dik olan eşkenar dörtgen kare olarak adlandırılır, diğerleri dikdörtgene yakın biçimlerdedir. Köşegenlerin eşit olduğunu düşünmek: Köşegenler birbirini dik ve ortalar, ancak uzunlukları eşit olmak zorunda değildir. Bu nedenle…
Eşkenar dörtgenin alanı = (d1 · d2) / 2 · Yamuğun alanı = (a + b) · h / 2 · Yamuğun yüksekliği: iki yüzey arasındaki en kısa dikme · Eşkenar dörtgende köşegenler birbirini dik ve ortalar
Eşkenar dörtgenin kaç köşesi ve kaç kenarı vardır?
Doğru cevap: A) 4 köşe ve 4 kenar
Dörtgen dört kenarı ve dört köşesi olan kapalı bir düzlemsel şekildir. Eşkenar dörtgende de kenar ve köşe sayısı değişmez, yani sonuç = 4.
Köşegenleri 10 cm ve 12 cm olan eşkenar dörtgenin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: B) 60
Eşkenar dörtgenin alanı köşegen çarpımının yarısıdır. 10 · 12 = 120 hesaplanır, yarısı alınır ve sonuç = 60.
Tabanları 9 cm ve 15 cm olan bir yamuğun alanı 60 cm² ise yüksekliği kaç cm'dir?
Doğru cevap: B) 5
Eşkenar dörtgenin alanı 12 · 10 = 120 değerinin yarısı olduğundan karşılaştırma için 60 cm² alınır. Yamuğun ortalama tabanı 24/2 işlemiyle 12 cm olur ve 60/12 bölümü sonucu = 5.
Konu anlatımları hesapsız okunur. Quiz, slayt ve deneme için hesap gerekir.
Matematik için çalışma yolu
Konu anlatımları hesapsız okunur; quiz, slayt ve deneme için hesap gerekir.
Bu sayfa Eşkenar Dörtgen ve Yamuk konusunun anlatımını, kazanımlarını ve örnek sorularını içerir. Konuyla ilgili tüm sorular için testi çöz, diğer konular için DersTeders ana sayfasına geçebilirsin.
Bu konuyu çalış: hesap aç, ilerlemen kaydedilsin.
Hesap aç