Kategorik ve Nicel (Sürekli) Veri Dağılımları

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Bu derste Kategorik ve Nicel (Sürekli) Veri Dağılımları konusunu önce kuralıyla, sonra sayı üstünde uygulamasıyla göreceğiz. Her adımda "neden böyle yapıyoruz" sorusunu cevaplamak asıl hedeftir; kuralı ezberleyip bırakmak işe yaramaz.

Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:

• Kazanım 1: Veriyi kategorik ve nicel olarak sınıflandırır ve örnek verir.
• Kazanım 2: Nicel verilerin kesikli ya da sürekli değişken olduğunu belirler.
• Kazanım 3: Sütun, çizgi, daire grafik ve histogramın hangi durumda kullanılacağını açıklar.
• Kazanım 4: Aritmetik ortalamayı hesaplar ve verinin merkezini yorumlar.
• Kazanım 5: Medyan ve mod değerini bulur, ortalama ile karşılaştırır.
• Kazanım 6: Açıklık değerini hesaplayarak verinin yayılımını yorumlar.

Ön bilgi: bundan önce gördüğümüz

Bu konuyu anlamanın ön koşulu Eşkenar Dörtgen ve Yamuk bilgisidir. Eşkenar Dörtgen ve Yamuk konusundaki temel kavramlar bu derste örneklerin üzerinde yeniden karşımıza çıkacak.

• Eşkenar Dörtgen ve Yamuk — bu adımda öğrendiklerimiz bugünkü konunun dayanağı oluyor.
• Hacim Ölçme Birimleri — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.

Veri Nedir?

Veri, bir araştırma sırasında toplanan bilgilerin her biridir. Bir sınıftaki öğrencilerin boyları, bir mahallenin nüfusu, bir maçın gol sayıları hep veridir. Veriler toplandıktan sonra düzenlenir, tabloda gösterilir ve uygun grafikle sunulur. Amaç, veriden anlam çıkarmaktır.

Kategorik (Nitel) Veri

Sayısal olarak ölçülemeyen, yalnızca durum belirten verilere kategorik veri denir. Bir kişinin göz rengi, cinsiyeti, kan grubu, sınıf düzeyi ve bir ülkenin adı bu türe girer. Kategorik veriler sayıya çevrilemez, yalnızca sınıflanır ve sayılır.

Kategorik verilerin en sık görülen değeri mod olarak adlandırılır. Örneğin bir sınıfta göz rengi kahverengi olan öğrenci sayısının en çok olduğu söylenirse bu değer kategorik verinin modudur.

Nicel Veri ve Kesikli Sürekli Değişken Ayrımı

Ölçülebilen, sayısal değerler alan verilere nicel veri denir. Boy, kütle, sınav puanı ve aralık niceldir. Nicel veriler iki kümeye ayrılır:

• Kesikli (noktasal) veri: yalnızca tam sayı değerleri alır. Öğrenci sayısı, oda sayısı, kitap adedi buna örnektir.
• Sürekli veri: iki değer arasında kesintisiz sayı değerleri alabilir. Boy, sıcaklık, hız ve hacim buna örnektir.

Örneğin bir sınıftaki öğrenci sayısı 27 olabilir, 27,5 olamaz; bu yüzden kesiklidir. Bir öğrencinin boyu ise 146,3 cm ile 146,4 cm arasında her değeri alabildiği için süreklidir.

Verileri Sunmanın Grafikleri

Sütun grafikte sütunların yüksekliği, ilgili değere sahip veri sayısını gösterir ve sütunlar arasında boşluk bırakılır. Kategorik verilerin karşılaştırılmasında sık kullanılır. Çizgi grafikte noktalar çizgiyle birbirine bağlanır ve bir ölçümün zamana göre değişimi en iyi bu grafikte görülür. Daire grafikte grafik, bir bütünün oluşan parçalarını oranlarıyla gösterir ve dilimler toplamı 360 dereceye karşılık gelir. Histogram ise sürekli verilerin aralıklara bölünüp her aralıktaki sıklığın yan yana sütunlarla gösterilmesinde kullanılır.

Merkezi Eğilim Ölçüleri

Verilerin toplandığı merkezi tanımlayan üç ölçü vardır.

• Aritmetik ortalama: verilerin toplamının veri sayısına bölünmesiyle bulunur.
• Medyan: veriler sıralandığında ortada kalan değerdir. Veri sayısı çift ise ortadaki iki değerin ortalaması alınır.
• Mod: en çok tekrar eden değerdir; veri grubunda tekrarı olmayan bir veri grubunda mod yoktur.

Uç değerler çok büyük ya da çok küçükse ortalama bu değerlerden etkilenir ve merkezden uzaklaşır. Bu durumda medyan daha güvenilir bir ölçüdür.

Yayılım ve Açıklık

Verilerin merkezden ne kadar uzaklaştığını gösteren ölçüye açıklık denir ve en büyük değer ile en küçük değer arasındaki farkla bulunur. Açıklık küçükse veriler merkezin çevresinde sıkışmıştır; açıklık büyükse veriler birbirinden çok uzaktır. Bu nedenle aynı ortalamaya sahip iki veri grubundan açıklığı küçük olanı daha düzenli ve dengelidir.

Özet Veri, kategorik ve nicel olarak ikiye ayrılır. Ölçülemeyen durum belirten veriler kategoriktir; ölçülebilen veriler niceldir. Nicel veriler tam sayı değerleri alıyorsa kesikli, iki değer arasında kesintisiz değer alabiliyorsa süreklidir. Sütun grafik sıklıkları, çizgi grafik zamana göre değişimi, daire grafik parça oranlarını, histogram sürekli veri aralıklarını gösterir. Verinin merkezini ortalama, medyan ve mod; yayılımını ise açıklık ölçer. Uç değerler ortalamayı çektiğinde medyan, veriler birbirine yakın olduğunda ise açıklık yorumlanır.

Sık Yapılan Hatalar Kategorik veriyi sayısal bir veri gibi ortalama ya da medyanla ölçmeye çalışmak; sürekli bir değişkeni sürekli görmeyip kesikli saymak; modu bulurken en büyük değeri seçmek; medyanda verileri sıralamadan ortadaki sayıyı almak; açıklığı ortalama ile medyan arasındaki fark sanmak; sürekli veriler için daire grafik seçmek; histogram ile sütun grafik arasındaki sütun bitişikliği farkını gözden kaçırmak.

Günlük hayattan bir uygulama

Konuyu pekiştirmek için günlük hayattan bir uygulamaya bakmak gerekir. Aşağıdaki görev, Kategorik ve Nicel (Sürekli) Veri Dağılımları bilgisini gerçek bir işin içinde kullandırmak için hazırlandı; çözerken hangi adımı nerede kullandığımızı not etmek faydalıdır.

Uygulama sorusu: Sınıfınızdaki 10 arkadaşınızın boylarını ölçerek verileri sıralayınız; medyanı, modu ve açıklığı bulunuz. Her ölçümün hangi bilgiyi verdiğini nasıl açıklarsınız?

Bu görev için 20 puan dağıtılmıştır; puanlama anahtarı, cevabın hangi adımlarla gösterilmesi gerektiğini ayrıntılı biçimde söyler. Puanlamada işlem sırasının ve sonuç cümlenin ayrı ayrı sayıldığına dikkat et.

Bu konuyu çalışırken işinize yarayacak notlar

• Veriyi sınıflandırırken önce ölçüp ölçemediğini sor; ölçülemiyorsa kategoriktir.
• Medyan için verileri sıralamayı, ortalama için toplamı bulmayı unutma.
• Uç değerler çok büyükse ortalamayı değil medyanı kullan; bu seçim gerekçesiyle birlikte yazılır.
• Grafik seçerken önce verinin türünü, sonra grafik türünü belirle; yanlış grafik yanlış yorum yaptırır.
• Açıklığı bulurken yalnızca en büyük ve en küçük değere bakman yeterlidir.

Adım adım çözülmüş örnekler

İki örnek üzerinde çalışacağız. İlk örnek kuralın temel kullanımını, ikinci örnek ise kuralın zorlayıcı bir durumunu gösterir. Adımları kendin yazmayı dene; ikinci adımda nerede durduğunu görmek, sınavda zaman kazanır.

Örnek 1: Aritmetik Ortalama Hesaplama

Soru: 6, 8, 10, 12 ve 14 verilerinin aritmetik ortalamasını bulunuz.

1. Adım 1: Verilerin toplamı 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = 50 olarak hesaplanır.
2. Adım 2: Veri sayısı 5 olarak sayılır.
3. Adım 3: 50/5 işlemi uygulanır ve ortalama 10 bulunur.

Cevap: 10

Bu örnekte adım sayısını not edin: kural her zaman aynı sayıda işlemle değil, kazanılması gereken bilgiye göre çözülür.

Örnek 2: Medyan Bulma

Soru: 7, 3, 9, 4 ve 11 verilerinin medyanını bulunuz.

1. Adım 1: Veriler küçükten büyüğe sıralanır: 3, 4, 7, 9, 11.
2. Adım 2: Veri sayısı 5 olduğundan ortada kalan üçüncü değer aranır.
3. Adım 3: Üçüncü değer 7 olduğundan medyan 7 olarak bulunur.

Cevap: 7

Kavram karşılaştırma tablosu

Bu derste geçen terimler birbirine yakın durur ve sınavda karıştırılır. Aşağıdaki tabloda her terimin anlamı ve sık karıştırılan karşılığı yan yana verilmiştir.

Kural, formül ve ölçü tablosu

Aşağıdaki tablo bu konudaki kuralları tek bakışta toplar. Karar verirken önce bu tabloya bakmak, kuralı hatırlamakta işe yarar.

Yukarıdaki ölçülerin arkasındaki kural ve formüller şunlardır:

Sık Yapılan Hatalar

Bu konudaki tipik hataları gözden geçirmek, tekrar hata yapmayı en hızlı azaltan yoldur. Her hatanın gerekçesi yazılmıştır.

• Kategorik veriyi ortalama ya da medyanla ölçmek: Göz rengi veya kan grubu sayısal değer almaz, yalnızca sınıflanır. Bu verilerin merkezini veren ölçüt moddur, ortalamadır.
• Sürekli değişkeni kesikli saymak: Boy 146,3 cm ve 146,4 cm arasındaki her değeri alabildiği için süreklidir. Kesikli olması için yalnızca tam sayılar arasında olması gerekir.
• Modu en büyük değer sanmak: Mod en çok tekrar eden değerdir, en büyük değer değildir. En büyük değer verinin sonudur, tepe değeri onun ortasında aranır.
• Medyanı sıralamadan bulmak: Medyan için veriler önce küçükten büyüğe sıralanır. Sıralama yapılmadan ortadaki sayı alınırsa sonuç yanlış olur.
• Histogramı sütun grafikle aynı sanmak: Histogramda sütunlar aralıkları temsil ettiği için bitişik çizilir. Sütun grafikte ise sütunlar arasında boşluk bırakılır.

Bu dersten akılda kalması gerekenler

Kısaca: Veriler kategorik ve nicel olarak ikiye ayrılır. Ölçülemeyip yalnızca durum belirten veriler kategoriktir ve bunlarda mod ölçütü kullanılır. Ölçülebilen veriler niceldir; tam sayı değerleri alıyorsa kesikli, iki değer arasında kesintisiz değer alabiliyorsa süreklidir. Sütun grafik sıklıkları, çizgi grafik zamana göre değişimi, daire grafik bütünün parçalarını, histogram sürekli veri aralıklarını gösterir. Verinin merkezini aritmetik ortalama, medyan ve mod ölçer; ortalama toplamın veri sayısına bölünmesiyle, medya…

Derste gördüğümüz ana fikirler şunlar:

• Kategorik veri ölçülemez, yalnızca durum belirtir ve sayılarla ifade edilemez.
• Nicel veri ölçülebilir; iki değer arasında kesintisiz alabiliyorsa sürekli, yalnızca tam sayı alabiliyorsa kesiklidir.
• Veri sayısı çift olduğunda medyan, ortadaki iki değerin ortalaması olarak bulunur.
• Veri grubunda hiçbir değer tekrar etmiyorsa mod yoktur.
• Açıklık, en büyük değer ile en küçük değerin farkıdır ve verinin yayılımını gösterir.
• Sütun grafikte sütunlar arasında boşluk bırakılır, histogramda sütunlar bitişik çizilir.
• Çizgi grafik zamanla değişen ölçümleri, daire grafik ise bütünün parçalarını göstermek için seçilir.

Kontrol soruları

Kendi kendine dene: çözümü sen yaz, sonra anahtarla karşılaştır. Doğru yaptığın soruların altını çizmek, sınav öncesi hızlı tekrar sağlar.

1. 6, 8, 9, 11, 14 ve 22 sayılarının medyanı ile açıklığı sırasıyla kaçtır? (Şıklar: 9 ve 16 · 12 ve 16 · 10 ve 16 · 10 ve 26)
2. Boyları 140, 145, 150, 155 ve 160 cm olan bir öğrenci grubunun açıklığı kaç cm'dir? (Şıklar: 10 · 160 · 20 · 25)
3. Aşağıdakilerden hangisi kategorik bir veridir? (Şıklar: Bir öğrencinin kan grubu · Bir öğrencinin boyu · Bir sınıftaki kitap sayısı · Bir öğrencinin sınav puanı)

Cevap anahtarı: 1) 10 ve 16 — Altı veri olduğundan medyan ortadaki iki değerin ortalamasıdır; 9 ve 11 için (9 + 11) / 2 işlemi sonucu 10 olur. En büyük 22, en küçük 6 olduğundan 22 − 6 = 16 hesaplanır, sonuç 10 ve 16 olur.

2) 20 — Açıklık en büyük değer ile en küçük değerin farkıdır. 160 − 140 = 20 hesaplanır, sonuç = 20.

3) Bir öğrencinin kan grubu — Kategorik veri sayısal olarak ölçülemez, durum belirtir. Bir öğrencinin kan grubu yalnızca adlarla anıldığı için bu veriye sayısal değer verilemez ve kategorik sayılır.

İlgili konular

Bu konuyu öğrenmek şu başlıkları da kolaylaştırır. Aynı üniteden ve sonraki üniteden ikişer konu seçtik:

• Teorik Olasılık — aynı ünitede, bir sonraki adım.

Kaynak ve doğruluk notu

Bu konuda ölçü, birim ve kural iddiaları hesapla doğrulanmıştır. Kategorik ve Nicel (Sürekli) Veri Dağılımları için kullanılan her kural, konunun kendi örneklerinde gösterilerek verilmiştir; anlatım kendi ifadelerimizle yeniden düzenlenmiştir.

Ayrıca derste şu açık uçlu görevler yer alıyor; her biri puanlıdır ve kendi cevabını yazmanı ister:

• Sınıfınızdaki 10 arkadaşınızın boylarını ölçerek verileri sıralayınız; medyanı, modu ve açıklığı bulunuz. Her ölçümün hangi bilgiyi verdiğini nasıl açıklarsınız? (20 puan)
• Bir kütüphanede haftalık kitap ödünç sayıları 120, 145, 130, 160 ve 150 olarak kaydedilmiştir. Ortalamayı, medyanı ve açıklığı hesaplayınız; bu veriyi hangi grafikle sunmanız uygun ve neden? (25 puan)
• Sınıfınızda arkadaşlarınızın hangi içeceği tercih ettiğini araştırarak kategorik veri toplayınız. Bu veriyi hangi grafikle gösterirsiniz ve mod nasıl belirlenir? (15 puan)

İleri Örnek

Daha ileri bir uygulama:

Soru: Sınıftaki öğrencilerin içecek tercihleri ile haftalık ders çalışma süreleri inceleniyor. Her veri için uygun grafik türünü belirleyiniz.

1. Adım 1: İçecek tercihi kategorik olduğu için sütun grafik ya da daire grafik seçilir.
2. Adım 2: Ders çalışma süresi sürekli nicel olduğu için histogram uygundur.
3. Adım 3: Seçim gerekçesi verinin türüne göre yazılır.

Sonuç/cevap: İçecek tercihi için sütun ya da daire grafik, ders çalışma süresi için histogram uygundur

Kendini Dene

Soru: Sınıfınızdaki 10 arkadaşınızın boylarını ölçerek verileri sıralayınız; medyanı, modu ve açıklığı bulunuz. Her ölçümün hangi bilgiyi verdiğini nasıl açıklarsınız?

Örnek cevap: Puanlama anahtarı: On öğrencinin boyunun ölçülüp küçükten büyüğe sıralanması 4 puan; ortadaki iki değerin ortalaması alınarak medyanın bulunması 5 puan; en çok tekrar eden boyun mod olarak belirlenmesi 4 puan; en büyük boydan en küçük boy çıkarılarak açıklığın bulunması 4 puan; açıklığın verilerin yayılımını, medyanın merkezi, modun en sık görülen değeri verdiğinin yazılması 3 puan.