Dikdörtgen ve Karenin Kenar

Konu Anlatımı

Dikdörtgenin Kenarları

Dikdörtgende karşılıklı kenarlar eşit uzunluktadır. Dört kenar iki çift hâlinde düşünülür ve toplam dört kenar, iki uzun iki kısa kenar olarak sınıflandırılır. Buna karşılık karşılıklı açılar da eşittir ve dört açının hepsi 90° dir. Açılar dörtgenin dik olmasından gelir.

Çevre, kenar uzunluklarının toplamıdır. Dikdörtgende çevre 2 × (uzun kenar + kısa kenar) bağıntısıyla bulunur. İki kenar yeterlidir çünkü diğer iki kenar onlara eşittir. Alan ise uzun kenar ile kısa kenarın çarpımıdır.

Köşegen Özelliği

Dikdörtgenin köşegenleri eşit uzunluktadır ve birbirini iki eşit parçaya böler. Köşegen uzunluğu, kenar karelerinin toplamının kareköküdür: köşegen² = a² + b². Pisagor bağıntısının dikdörtgen için özel hâlidir. Köşegen bilinirse ters yönde işlem yapılarak kenar bulunabilir.

Köşegen dikdörtgeni iki eş dik üçgene ayırır. Bu ayrım, alan hesabında ya da kenar bulmada kullanılır. Köşegenin iki eş parçaya bölünmesi, dikdörtgende simetri ekseni bulma sorularında da yararlıdır.

Kare ve Özellikleri

Kare, dört kenarı eşit ve dört açısı dik olan özel bir dikdörtgendir. Bu nedenle bir kenarı a ise çevresi 4a, alanı a² olur. Karenin köşegeni kenarın köşkökü katıdır: köşegen = a × √2. Ayrıca köşegen çizildiğinde iki eş dik üçgen oluşur ve bunların hipotenüzü köşegendir.

• Dikdörtgende karşılıklı kenarlar eşittir.
• Çevre = 2 × (a + b), alan = a × b.
• Köşegenler eşittir ve birbirini iki eş parçaya böler.
• Köşegen² = a² + b² bağıntısı dikdörtgende geçerlidir.
• Karenin dört kenarı ve dört açısı 90° dir.
• Karede çevre = 4a, alan = a², köşegen = a√2.

Çözümlü Örnek

Örnek: Kısa kenarı 7 cm, uzun kenarı 19 cm olan bir dikdörtgenin çevresini, alanını ve köşegenini bulunuz. 1. adım: çevre 2 × (7 + 19) = 2 × 26 = 52 cm bulunur. 2. adım: alan 7 × 19 = 133 cm² hesaplanır. 3. adım: köşegen için 7² + 19² = 49 + 361 = 410 bulunur. 4. adım: √410 yaklaşık 20,2 cm değerini verir. 5. adım: denetim için köşegen iki kenarın ikisinden de büyüktür, sonuç mantıklıdır.

Sık Yapılan Hatalar

• Çevrede dört kenarı toplamak yerine iki kenarı toplayıp iki ile çarpmamak: Dikdörtgende karşılıklı kenarlar eşit olduğundan çevre 2 × (a + b) ile bulunur.
• Karede alanı 4a yapmak: Karenin alanı a² dir; 4a çevre ifadesidir.
• Köşegeni iki kenarın toplamı sanmak: Köşegen karelerin toplamının kareköküdür, kenar toplamı değildir.
• Köşegenleri eşit görmemek: Dikdörtgenin iki köşegeni her zaman eşit uzunluktadır.

Özet

Dikdörtgende karşılıklı kenarlar eşittir ve dört açı 90° dir. Çevre iki kenarın toplamının iki katı, alan ise iki kenarın çarpımıdır. Dikdörtgenin köşegenleri eşittir, birbirini iki eş parçaya böler ve köşigenin karesi kenar karelerinin toplamına eşittir. Kare, dört kenarı eşit dikdörtgendir; çevresi 4a, alanı a², köşegeni a√2 dir. Kenardan alana, alandan kenara geçiş iki işlemle yapılabilir.

Ne Öğreneceğiz

Dikdörtgen ve karenin kenar ilişkilerini, köşegen özelliklerini, çevre ve alan hesaplarını uygulamayı hedefler. Bu konuda ögrenme çıktıları:

• Dikdörtgende karşılıklı kenarların eşitliğini kullanır.
• Dikdörtgenin köşegen özelliğini açıklar.
• Çevre hesaplarken iki farklı kenarın toplanıp iki ile çarpılmasını uygular.
• Karede dört kenarın eşitliğini ve köşegen bağıntısını kullanır.
• Kenar uzunluğundan alan, alandan kenar uzunluğu bulur.

Ön Bilgi

Bu konuya başlamadan önce temel kavram ve ön koşulları kavramanız yardımcı olacaktır. Konunun çerçevesinde şu kavramlar dikkat ister:

• Dikdörtgende karşılıklı kenarlar eşit uzunluktadır.
• Çevre 2 × (a + b), alan a × b ile bulunur.
• Dikdörtgenin köşegenleri eşittir.
• Köşegen karekökü, kenar karelerinin toplamıdır.
• Karenin dört kenarı ve dört açısı 90° dir.
• Karede çevre 4a, alan a², köşegen a√2 dir.

Basit Örnek ve Günlük Yaşam

Günlük yaşamda ve mesleki bağlamda bir uygulama:

Soru: Kısa kenarı 5 cm, uzun kenarı 13 cm olan dikdörtgenin çevresi kaç cm dir?

1. Adım 1: iki kenar toplanır, 5 + 13 = 18 bulunur.
2. Adım 2: toplam iki ile çarpılır.
3. Adım 3: 2 × 18 = 36 sonucu yazılır.

Sonuç/cevap: 36 cm

İleri Örnek

Daha ileri bir uygulama:

Soru: Kenarı 6 cm ve 8 cm olan dikdörtgenin köşegeni kaç cm dir?

1. Adım 1: kenarların kareleri toplanır, 36 + 64 = 100 bulunur.
2. Adım 2: toplamın karekökü alınır.
3. Adım 3: √100 = 10 sonucu yazılır.

Sonuç/cevap: 10 cm

Adım Adım Çözülmüş Örnek

Örnek 1: Dikdörtgenin Çevresi konusunun adımları:

1. Adım 1: iki kenar toplanır, 5 + 13 = 18 bulunur.
2. Adım 2: toplam iki ile çarpılır.
3. Adım 3: 2 × 18 = 36 sonucu yazılır.

Karşılaştırma Tablosu

Kendini Dene

Soru: Çevresi 46 cm olan bir dikdörtgenin kısa kenarı 9 cm dir. Alanını bulunuz ve köşegeninin yaklaşık uzunluğunu hesaplayınız.

Örnek cevap: Puanlama anahtarı: 46: 2 = 23 bulunarak kenar toplamının belirlenmesi 4 puan; 23 − 9 = 14 ile uzun kenarın bulunması 4 puan; 9 × 14 = 126 alan hesabı 5 puan; 9² + 14² = 277 toplamının yazılması 4 puan; köşigenin yaklaşık 16,6 cm olarak belirlenmesi 3 puan. Toplam 20 puan.