Merkezi Dağılım ve Yayılım Ölçüleri

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz

Verilerin ortalama etrafında ne kadar yayıldığını ölçmeyi öğreneceğiz. Açıklık, ortalama mutlak sapma, varyans, standart sapma ve çeyrekler açıklığını hesaplayacağız. İki veri grubunun hangisinin daha tutarlı olduğunu bu ölçütlerle karşılaştırabileceksin.

Ön bilgi

Bu konu için aritmetik ortalama hesabını ve kare alma işlemini bilmen yeterlidir.

• Yayılım: Verilerin merkezi bir değer etrafında ne kadar dağıldığını gösteren durumdur.
• Sapma: Bir verinin aritmetik ortalamadan uzaklığıdır ve veri eksi ortalama biçiminde yazılır.
• Mutlak değer: Bir sayının işaretinden bağımsız büyüklüğüdür.
• Aykırı değer: Diğer verilerden uzakta duran ve yayılımı büyüten değerdir.

Kavramlar ve Temel Tanımlar

Açıklık, en büyük değer ile en küçük değerin farkıdır ve yalnızca iki uç değeri kullanır. Ortalama mutlak sapma, her verinin ortalamadan mutlak uzaklıklarının toplamının veri sayısına bölünmesiyle bulunur. Varyans, sapmaların karelerinin toplamının veri sayısına bölünmesiyle hesaplanır. Standart sapma ise varyansın kareköküdür ve verilerle aynı birimde çıkar. Çeyrekler açıklığı, Q3 ile Q1 değerinin farkıdır ve verinin orta yarısının yayılımını ölçer.

Basit örnek

3, 6, 9, 12 ve 15 veri grubunun ortalaması 9'dur. Her verinin ortalamadan uzaklığı 6, 3, 0, 3 ve 6 olur. Bu mutlak uzaklıkların toplamı 18, veri sayısı 5 olduğundan ortalama mutlak sapma 18 bölü 5 = 3,6 olur.

Adım adım çözüm

4, 8, 8, 12 ve 16 veri grubunu inceleyelim. Önce ortalama bulunur: toplam 48, 48 bölü 5 = 9,6. Ardından her verinin sapması yazılır: eksi 5,6, eksi 1,6, eksi 1,6, 2,4 ve 6,4. Sapmaların mutlak değerlerinin toplamı 5,6 + 1,6 + 1,6 + 2,4 + 6,4 = 17,6 olup ortalama mutlak sapma 17,6 bölü 5 = 3,52 olur. Şimdi sapmaların karelerini toplayalım: 31,36 + 2,56 + 2,56 + 5,76 + 40,96 = 83,2. Varyans 83,2 bölü 5 = 16,64 ve standart sapma kök 16,64 = 4 olur.

İleri örnek

İki vardiyanın günlük üretim sayısı kaydedilmiştir. A vardiyasının üretimi 48, 50, 50, 50 ve 52 adet; B vardiyasının ise 20, 35, 50, 65 ve 80 adettir. Her iki grubun ortalaması da 50'dir. Ancak A grubunun standart sapması kök 1,6 yaklaşık 1,26 iken B grubunun standart sapması kök 450 yaklaşık 21,2'dir. Demek ki merkez olarak aynı noktada olsalar da B vardiyası çok daha tutarsız çalışmaktadır.

Kavram karşılaştırma tablosu

Aşağıdaki tablo, yayılım ölçütlerini nasıl hesaplandığını, birimini ve aykırı değere duyarlılığını yan yana gösterir.

Sık yapılan hatalar

Sık yapılan ilk hata, mutlak uzaklıkları toplamayı unutup sapmaların işaretli toplamını almaktır; bu toplam her zaman sıfır çıkar ve hiç yayılım yok sanılır. İkinci hata varyans ile standart sapmayı karıştırmaktır: biri birim karesi alınmış değer, diğeri karekök alınmış değerdir. Üçüncü hata ise açıklığı tek başına yayılım ölçüsü saymaktır; açıklık yalnızca iki uç değeri kullandığı için aykırı bir değerden çok kolay etkilenir.

Özet

Yayılım ölçüleri, verilerin ortalamadan ne kadar uzaklaştığını söyler. Açıklık en hızlı hesaptır ama yalnızca uç değerlere baktığı için kaba bir bilgi verir. Ortalama mutlak sapma, sapmaları veriyle aynı birimde ölçer. Varyans ve standart sapma ise sapmaları kareleyerek büyük farkları daha belirgin hâle getirir; standart sapma veriyle aynı birime sahip olduğu için karşılaştırmalarda en çok kullanılan ölçüttür. Çeyrekler açıklığı ise aykırı değerlerden etkilenmediği için dayanıklı bir seçenektir.

Kendini dene

1, 3, 5, 7 ve 9 veri grubunun aritmetik ortalamasını, ortalama mutlak sapmasını ve varyansını bul. Ardından 9 yerine 49 yazarak aynı hesapları tekrarla. Hangi ölçütün daha hızlı büyüdüğünü inceleyip kendi cümlenden açıkla.