11. SınıfTemel Matematik
Temel Matematik · 11. Sınıf · İSTATİSTİKSEL ARAŞTIRMA SÜRECİ
Verilerin ortalama etrafında ne kadar yayıldığını ölçmeyi öğreneceğiz. Açıklık, ortalama mutlak sapma, varyans, standart sapma ve çeyrekler açıklığını hesaplayacağız. İki veri grubunun hangisinin daha tutarlı olduğunu bu ölçütlerle karşılaştırabileceksin.
Bu konu için aritmetik ortalama hesabını ve kare alma işlemini bilmen yeterlidir.
Açıklık, en büyük değer ile en küçük değerin farkıdır ve yalnızca iki uç değeri kullanır. Ortalama mutlak sapma, her verinin ortalamadan mutlak uzaklıklarının toplamının veri sayısına bölünmesiyle bulunur. Varyans, sapmaların karelerinin toplamının veri sayısına bölünmesiyle hesaplanır. Standart sapma ise varyansın kareköküdür ve verilerle aynı birimde çıkar. Çeyrekler açıklığı, Q3 ile Q1 değerinin farkıdır ve verinin orta yarısının yayılımını ölçer.
3, 6, 9, 12 ve 15 veri grubunun ortalaması 9'dur. Her verinin ortalamadan uzaklığı 6, 3, 0, 3 ve 6 olur. Bu mutlak uzaklıkların toplamı 18, veri sayısı 5 olduğundan ortalama mutlak sapma 18 bölü 5 = 3,6 olur.
4, 8, 8, 12 ve 16 veri grubunu inceleyelim. Önce ortalama bulunur: toplam 48, 48 bölü 5 = 9,6. Ardından her verinin sapması yazılır: eksi 5,6, eksi 1,6, eksi 1,6, 2,4 ve 6,4. Sapmaların mutlak değerlerinin toplamı 5,6 + 1,6 + 1,6 + 2,4 + 6,4 = 17,6 olup ortalama mutlak sapma 17,6 bölü 5 = 3,52 olur. Şimdi sapmaların karelerini toplayalım: 31,36 + 2,56 + 2,56 + 5,76 + 40,96 = 83,2. Varyans 83,2 bölü 5 = 16,64 ve standart sapma kök 16,64 = 4 olur.
İki vardiyanın günlük üretim sayısı kaydedilmiştir. A vardiyasının üretimi 48, 50, 50, 50 ve 52 adet; B vardiyasının ise 20, 35, 50, 65 ve 80 adettir. Her iki grubun ortalaması da 50'dir. Ancak A grubunun standart sapması kök 1,6 yaklaşık 1,26 iken B grubunun standart sapması kök 450 yaklaşık 21,2'dir. Demek ki merkez olarak aynı noktada olsalar da B vardiyası çok daha tutarsız çalışmaktadır.
Aşağıdaki tablo, yayılım ölçütlerini nasıl hesaplandığını, birimini ve aykırı değere duyarlılığını yan yana gösterir.
| Ölçüt | Nasıl hesaplanır | Birim | Aykırı değere duyarlılık |
|---|---|---|---|
| Açıklık | En büyük değer eksi en küçük değer | Veri ile aynı | Çok duyarlı |
| Ortalama mutlak sapma | Mutlak uzaklıklar toplamı bölü n | Veri ile aynı | Duyarlı |
| Varyans | Sapma kareleri toplamı bölü n | Birimin karesi | Çok duyarlı |
| Standart sapma | Varyansın karekökü | Veri ile aynı | Çok duyarlı |
| Çeyrekler açıklığı | Q3 eksi Q1 | Veri ile aynı | Duyarsız |
| Sıfır standart sapma | Tüm değerler eşittir | Yoktur | Geçersizdir |
Sık yapılan ilk hata, mutlak uzaklıkları toplamayı unutup sapmaların işaretli toplamını almaktır; bu toplam her zaman sıfır çıkar ve hiç yayılım yok sanılır. İkinci hata varyans ile standart sapmayı karıştırmaktır: biri birim karesi alınmış değer, diğeri karekök alınmış değerdir. Üçüncü hata ise açıklığı tek başına yayılım ölçüsü saymaktır; açıklık yalnızca iki uç değeri kullandığı için aykırı bir değerden çok kolay etkilenir.
Yayılım ölçüleri, verilerin ortalamadan ne kadar uzaklaştığını söyler. Açıklık en hızlı hesaptır ama yalnızca uç değerlere baktığı için kaba bir bilgi verir. Ortalama mutlak sapma, sapmaları veriyle aynı birimde ölçer. Varyans ve standart sapma ise sapmaları kareleyerek büyük farkları daha belirgin hâle getirir; standart sapma veriyle aynı birime sahip olduğu için karşılaştırmalarda en çok kullanılan ölçüttür. Çeyrekler açıklığı ise aykırı değerlerden etkilenmediği için dayanıklı bir seçenektir.
1, 3, 5, 7 ve 9 veri grubunun aritmetik ortalamasını, ortalama mutlak sapmasını ve varyansını bul. Ardından 9 yerine 49 yazarak aynı hesapları tekrarla. Hangi ölçütün daha hızlı büyüdüğünü inceleyip kendi cümlenden açıkla.
Verilerin ortalama etrafında ne kadar yayıldığını ölçmeyi öğreneceğiz. Açıklık, ortalama mutlak sapma, varyans, standart sapma ve çeyrekler açıklığını hesaplayacağız. İki veri grubunun hangisinin daha tutarlı olduğunu bu ölçütlerle karşılaştırabileceksin. Bu konu için aritmetik ortalama hesabını ve kare alma işlemini…
Sapmaların işaretli toplamı her zaman sıfır çıkar; bu yüzden önce mutlak değer veya kare alınır.
Sapmalar işaretli toplamak: Verilerden ortalama çıkarıp sonuçları toplarsan toplam sıfır çıkar ve yayılım yok gibi görünür; mutlak değer veya kare almak şarttır. Varyans ile standart sapmayı karıştırmak: Varyans birimin karesini verir, standart sapma karekök alınarak elde edilir; ikisinin birimleri farklıdır.
Açıklık = en büyük değer eksi en küçük değer · Ortalama mutlak sapma = toplam(verinin ortalamadan uzaklığının mutlak değeri) bölü n · Varyans = toplam((veri eksi ortalama) karesi) bölü n · Standart sapma = varyansın karekökü
Açıklık, ortalama mutlak sapma, varyans ve standart sapmayı veri grupları üzerinde hesaplayabilir. Standart sapmanın yayılımı nasıl ölçtüğünü iki veri grubunu karşılaştırarak açıklayabilir. Çeyrekler açıklığını hesaplayıp aykırı değerlere dayanıklılığını yorumlayabilir.
Bir veri grubunda standart sapma sıfır olarak hesaplanmışsa ne söylenebilir?
Doğru cevap: B) Tüm değerler eşittir
Tüm değerler eşittir kavramı Merkezi Dağılım ve Yayılım Ölçüleri konusunun temel bir kavramıdır. Detaylar konu anlatımında verilmiştir.
2, 4, 6, 8 ve 10 veri grubunun varyansı 8 olarak hesaplanmıştır. Bu grubun standart sapması yaklaşık kaçtır?
Doğru cevap: D) 2,8.
2,8. - 2,8 değeri, varyansın 8'in kareköküdür; kök 8 yaklaşık 2,83 olduğundan standart sapma yaklaşık 2,8 olarak alınır.
5, 8, 8, 11 ve 13 veri grubunun ortalama mutlak sapması kaçtır?
Doğru cevap: C) 2,4.
2,4. - 2,4 değeri, ortalama 9'a olan mutlak uzaklıklar toplamı 12'nin beşe bölünmesiyle bulunur; ortalama mutlak sapma bu nedenle 2,4 olur.
Konu anlatımları hesapsız okunur. Quiz, slayt ve deneme için hesap gerekir.
Temel Matematik için çalışma yolu
Konu anlatımları hesapsız okunur; quiz, slayt ve deneme için hesap gerekir.
Bu sayfa Merkezi Dağılım ve Yayılım Ölçüleri konusunun anlatımını, kazanımlarını ve örnek sorularını içerir. Konuyla ilgili tüm sorular için testi çöz, diğer konular için DersTeders ana sayfasına geçebilirsin.
Bu konuyu çalış: hesap aç, ilerlemen kaydedilsin.
Hesap aç