Konu Anlatımı
Bu derste ne öğreneceğiz?
Sayılar, matematikte tek bir yığın değil, birbirinin içine geçmiş kümeler hâlinde düşünülür. Bu konunun çıkacak sonuçları şunlardır: doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar ve gerçek sayılar arasındaki alt küme ilişkisini şema üzerinde gösterebilecek, bir sayının hangi kümeye ait olduğunu yazılış biçiminden yola çıkarak gerekçesiyle belirleyebilecek, sonlu ondalık ile sonsuz periyodik ondalığı rasyonellik açısından ayırt edebilecek, karekökün rasyonelliğini tam bölme denetimiyle açıklayabilecek ve asal sayı ile asal çarpan kavramlarını problemlerde kullanabileceksiniz.
Sınavda bu konu genellikle tek başına bir bilgi sorusu olarak gelmez. "Aşağıdakilerden hangisi rasyonel sayıdır", "kaç tane rasyonel sayı vardır", "hangi kümenin alt kümesi değildir" biçiminde, mutlaka bir karşılaştırma ya da sayma gerektiren sorular hâlinde karşınıza çıkar. Bu yüzden konuyu ezberden değil, kümeler arasındaki ilişkiyi kurarak çözmek gerekir.
Ön Bilgi: Bölme ve Ondalık Gösterim
Bu konuyu çözmek için bilinmesi gereken iki temel araç vardır. Birincisi aralık dışı bölmedir. Bir tam sayıyı bir tam sayıya böldüğünüzde ya bölüm tam çıkar ya da kalan vardır ve kalan sıfırdan farklıysa bölüm ondalık gösterimde devam eder. Devam eden ondalık ya sonlanır ya da belli bir rakam grubunu tekrarlayarak sonsuza dek gider. İkincisi gerektirme ilkesidir. A kümesinin her elemanı B kümesinde bulunuyorsa A, B'nin alt kümesidir; B'nin en az bir elemanı A'da yoksa A, B'nin alt kümesi değildir.
Bu iki araç birleştiğinde sayı kümesi sorularının tamamı çözülür. Çünkü bir sayının rasyonel olup olmadığı, onun iki tam sayının bölümü olarak yazılıp yazılamadığıyla ilgilidir; ondalık gösteriminin sonlanıp sonlanmaması da tam olarak bunu söyler. Küme ilişkisinde ise eleman sayımı yapmak gerekir.
Günlük Hayattan Örnek
Günlük hayatta sayı kümelerini en açık göstiren alan ölçü birimlerinin dönüşümüdür. Bir litre suyun üçte birini ölçmek istediğinizde kullanacağınız değer 1/3 litredir. Bu değer ondalık gösterimde 0,333... olur ve rakam üçü sonsuza dek tekrar eder. Ölçü aletleri genellikle 0,333 yazdığında "tekrarlayan ondalık" anlamını kabul eder; bu yüzden pratikte tam olarak ölçemeyiz. Sayı tekrarlı olduğu için rasyoneldir, ama tam değildir.
Buna karşılık yarım litre, dörtte bir kilogram, on ikide bir metre gibi değerler sonlanan ondalığa çevrilebilir. Yarım litre 0,5 litre; dörtte bir kilogram 0,25 kilogram; on ikide bir metre 0,0833... değil, 1/12 = 0,08333... olarak devam eder. Sonlanan ondalıkların hepsi rasyoneldir, çünkü ondalık basamağın kuvveti payda yapılarak bir tam sayının bölümü hâline getirilebilir.
Bir de mutfakta karşınıza çıkan somut bir rasyonel-irrasyonel ayrımı var. Mutfağın köşesinden köşeye genişliği ölçen bir karşı kenarı ile üçgen bir sehpanın çevre uzunluğunu karşılaştırın. Dikdörtgenin genişliği 120 santimetre, uzunluğu 80 santimetre ise çevresi 2·(120+80) = 400 santimetredir; bu tam sayı rasyoneldir. Üçgen bir sehpananın köşe açısının yarısı 60 derece olduğunda çevresi iç açıların toplamı 180 derece kuralına göre yine tam sayısal değerlerle ifade edilir, ancak bir daire levhananın çevresi 2πr formülüyle hesaplandığında π sabiti devreye girer ve sonuç rasyonel olmaktan çıkar. π'nin irrasyonal olduğu bilindiği için bu çevre de irrasyoneldir. İşte günlük hayatta "tam sayıyla ifade edebildiğim" ile "yuvarlayamadığım" arasındaki fark, rasyonel ile irrasyonel arasındaki farkın günlük hayattaki karşılığıdır.
Sınav Odaklı Örnekler
Aşağıdaki iki örnek, sınavda bu konunun en sık karşınıza çıkan biçimlerini örnekler. Her birinde yalnız sonuca değil, sonuca götüren denetim zincirine de bakın.
Soru: Aşağıdakilerden hangisi rasyonel sayıdır?
Seçenekler: A) √3,5 B) √15 C) 0,101010... D) π
Cevap: C. Çözüm: A şıkkında √3,5 = √(7/2) yazılabilir. 7/2 rasyonel olduğu için kökü rasyonel olabilir, ama 7/2'nin karekökü basit kesirlere dönüşmez; bu kök irrasyoneldir. B şıkkında √15'in içindeki 15 bir tam sayıya tam bölünmediği için kök irrasyoneldir. D şıkkındaki π irrasyoneldir. C şıkkındaki 0,101010... rakam grubu 10'un kendisidir ve bu periyodik ondalık 10/99 biçiminde rasyonel olarak yazılabilir. Dört şık arasında tek rasyonel olan C'dir.
Soru: √50 sayısının kümesi nedir?
Seçenekler: A) Doğal sayılar B) Tam sayılar C) Rasyonel sayılar D) Gerçek sayılar
Cevap: D. Çözüm: √50 = √(25·2) = 5·√2. √2 irrasyonel olduğu için 5 ile çarpılması da onu rasyonel yapmaz; çarpma işlemi rasyonelliği bozmaz. Bu yüzden √50 gerçek sayıdır ama rasyonel değildir. Buradaki tuzak şudur: "5 bir tam sayıdır, √2 ile çarpıyorum, sonuç tam sayı olur" düşüncesi. Oysa tam sayılarla çarpmak bir irrasyonel sayıyı rasyonel yapmaz, yalnızca rasyonel olmayan bir sayının rasyonel olmayan başka bir sayıya götürür.
Adım Adım Çözülmüş Örnek
Aşağıdaki örnekte bir sayının ait olduğu kümenin nasıl bulunduğunu, karar zincirinin tamamını gösteriyor. Sınavda da bu sırayı izlemek zaman kazandırır.
Soru: 0,25 · √2 ifadesinin kümesini bulunuz ve gerekçenizi yazınız.
- İki çarpanı ayrı ayrı sınıflandırın. 0,25 bir ondalık sayıdır ve sonlanan ondalık olduğu için rasyoneldir. √2 ise karekökü 2 olan sayıdır; 2, bir tam sayıya tam bölünmediği için √2 irrasyoneldir.
- Çarpma işleminin kümeye etkisini denetleyin. Bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı her zaman irrasyoneldir. Bu, sonlu ondalık gösteriminin rasyonellik ölçütünden gelir: sonucu iki tam sayının bölümü olarak yazmak mümkün değildir, çünkü √2 katsayısı hiçbir kesirli bölümle sadeleşmez.
- Zinciri uygulayın. İrrasyonel sayılar gerçek sayıların alt kümesidir. Dolayısıyla 0,25 · √2 gerçek sayıdır, tam sayı değildir, rasyonel de değildir.
- Gerekçeyi tek cümleyle yazın. "0,25 rasyonel, √2 irrasyoneldir; rasyonel ile irrasyonelin çarpımı irrasyoneldir, bu yüzden sonuç gerçek sayı kümesindedir." Bu cümle doğru şıkkı güvenceye alır.
Cevap: 0,25 · √2 gerçek sayı kümesindedir. Rasyonel değildir.
Kavram Karşılaştırma Tablosu
Aşağıdaki tablo, sayı kümelerini ve sınavda en sık karıştırılan ayrım noktalarını yan yana koyar. Hangi satırı hangi soruda kullanacağınızı bilmek, gereksiz eleme yapmanızı engeller.
| Kavram | Tanım | Örnek | Sınavda Yapılan Hata |
|---|
| Doğal sayı kümesi | Sayma ve sıralama için kullanılan tam sayılar | 1, 2, 3, 4 | Sıfırı doğal sayı kabul etmek |
| Tam sayı kümesi | Doğal sayıların ve terslerinin toplamı | -7, 0, 12 | Her tam sayının doğal olduğunu sanmak |
| Sonlu ondalık | Noktalı virgülden sonra bir noktada biten ondalık | 0,25 | Her ondalığı irrasyonel saymak |
| Sonsuz periyodik ondalık | Bir rakam grubunun tekrarlandığı ondalık | 0,101010... | Sonsuz ondalığı hep irrasyonel saymak |
| Karekökü tam olan sayı | Kök içindeki sayı bir tam sayıya tam bölünür | √36 = 6 | Karekökü her zaman irrasyonel saymak |
| Karekökü tam olmayan sayı | Kök içindeki sayı bir tam sayıya tam bölünmez | √15 | √15'i rasyonel saymak |
| Asal sayı | Yalnız bir ve kendisi olmak üzere iki pozitif böleni olan sayı | 2, 3, 5, 7 | 1'i asal saymak |
| Asal çarpan | Çarpanlara ayırmada ortaya çıkan asal sayı | 18 = 2 · 3² | Çarpanlara ayırmadan asallık denetlemek |
| Tam bölen | Sayıyı tam sayı olarak bölen her sayı | 28'in bölenleri 1, 2, 4, 7, 14, 28 | Tam bölenin hepsini asal saymak |
Sınavda Yapılan Hatalar (Sık Yapılan Hatalar)
Aşağıdaki hatalar sayı kümesi başlıklarında en çok puan kaybettiren durumlardır. Her birinin neden yanlış olduğu ayrı bir gerekçeyle açıklanmıştır.
- Sıfırı doğal saymak: Sıfır doğal sayı değildir; tam sayı ve çift sayıdır. Doğal sayılarla işlem yaparken sıra numarası olarak kullanılabilir, küme elemanı olarak sayılamaz.
- Karekökü rasyonel saymak: Her karekök rasyonel değildir. Kökü tam sayıya tam bölünmüyorsa o kök irrasyoneldir. √36 ile √15 arasındaki fark budur.
- Sonsuz ondalığı irrasyonel saymak: Sonsuz devam eden her ondalık irrasyonel değildir. Rakam grubu tekrarlayan yani periyodik olanlar rasyoneldir; tekrarsız devam edenler irrasyoneldir.
- Kümeleri eşdeğer saymak: Rasyonel sayılar ile gerçek sayılar aynı küme değildir; aralarında alt küme ilişkisi vardır. Gerçek sayılar kümesi rasyonelleri de içerir.
- Asal böleni tam bölenle karıştırmak: Asal bölen, sayının bölenleri arasında asal olanıdır. 28 = 2² · 7 olduğu için 28'in asal bölenleri yalnızca 2 ve 7'dir. 28 bir tam bölen olsa da asal değildir, çünkü 1, 2, 4, 7, 14 ve 28 olmak üzere altı böleni vardır.
- Bir sayıyı çarpanlarına ayırmadan sonuç yazmak: Asallık ya da bölünebilirlik sorusunda sayı önce asal çarpanlarına ayrılmalıdır. Yoksa deneme yöntemi yanıltıcı sonuç verir.
- İrrasyonelin gerçek sayı olmadığını sanmak: Rasyonel olmayan her sayı gerçek sayıdır. Gerçek sayılar kümesi, rasyonel ve rasyonel olmayanların birleşimidir.
Özet
Sayının yazılış biçimi, ait olduğu kümenin ilk adımını verir. Doğal sayılar tam sayıların, tam sayılar rasyonel sayıların, rasyonel sayılar gerçek sayıların alt kümesidir; rasyonel olmayanlar yalnızca gerçek sayı kümesindedir. Bir sayının rasyonel olup olmadığını iki tam sayının bölümü olarak yazılıp yazılamayacağına bakarak belirleriz: ondalık gösterimi sonlanan ya da periyodik olan her ondalık rasyoneldir. Köklerde tam bölme denetlenir, ondalıklarda periyodiklik aranır, asallıkta çarpanlara ayırma kullanılır. Bu üç denetim birlikte, kümeler arası geçişlerde yanlış şık seçilmesini engeller.
Zincirin ters yönü de sınavda sorulur. "Aşağıdakilerden hangisi gerçek sayı değildir" biçimindeki sorularda tek doğru cevap ararsınız; irrasyonel sayılar dışındaki her şey gerçek sayı olduğu için eleme yeterlidir. Küme ilişkisi sorularında ise alt küme olmak için gereken tek ölçüt vardır: alt kümedeki her eleman üst kümede bulunmalıdır.
Kendini Dene
Aşağıdaki soruları çözerek konunun dokuz bölümünü tekrar edin. Her sorunun yanında gerekçenizi de yazın; gerekçesiz verilen cevap sınavda işe yaramaz.
- Aşağıdakilerin her biri hangi kümeye aittir, gerekçenizi yazınız: sıfır, -7, 0,4, 0,333..., √17, π, %40.
- Yukarıdaki sekiz sayıyı rasyonel ve irrasyonel olarak ikiye ayırınız ve ayırımın dayandığı ölçütü tek cümlede açıklayınız.
- √0,64 ile √0,65 sayılarının küme farkını belirtiniz ve farkın kök işlemini nasıl değiştirdiğini açıklayınız.
- 28 sayısının asal bölenlerini bulunuz. Bu sayının kaç tane tam böleni vardır?
- 0,999... sayısının tam sayı değeri kaçtır? Bu sonuçtan hareketle 0,999... ile 1 arasındaki ilişkiyi açıklayınız.
- A kümesi B kümesinin alt kümesi olsun. A'nın eleman sayısı B'nin eleman sayısından küçük olmak zorunda mıdır? Gerekçesiyle birlikte cevaplayınız.
Kontrol cevapları: 1) Sıfır: tam sayı. -7: tam sayı. 0,4: sonlu ondalık olduğu için rasyonel. 0,333...: periyodik olduğu için rasyonel. √17: 17 tam bölünmediği için irrasyonel. π: irrasyonel. %40 = 0,4: rasyonel. 2) Rasyonel olanlar sıfır, -7, 0,4, 0,333... ve %40; irrasyonel olanlar √17 ve π. Ölçüt: iki tam sayının bölümü olarak yazılabilirlik. 3) √0,64 = 0,8 rasyoneldir; √0,65 irrasyoneldir, çünkü 0,65 tam bir sayı değildir ve kökü 65/100 formülüyle sadeleşmez. 4) 28 = 2² · 7, asal bölenleri yalnızca 2 ve 7'dir; tam bölenleri ise 1, 2, 4, 7, 14 ve 28 olmak üzere altı tanedir. 5) 0,999... = 1'dir, çünkü 0,999... = 0,999.../3 · 3 hilesiyle 0,333... = 1/3 olduğundan üç katı 1 olur. İkisi arasında fark yoktur. 6) Zorunlu değildir. Bir kümenin alt kümesi başka bir kümenin alt kümesi olabilir; ancak alt kümedeki her eleman üst kümede bulunmak zorundadır, tersi doğrudur.
