Trigonometri

Konu Anlatımı

Bu Konuda Neler Öğreneceğiz?

Trigonometri, açı ile uzunluk arasındaki ilişkiyi inceler. Bir açının kenarlarla ilişkisi, çevresi sabit bir çember üzerinde tanımlanır. Bu nedenle önce birim çember, sonra üçgen üzerindeki oranlar ele alınır.

Konunun gücü, üçgende uzunluğu bilmeden bir açıdan yararlanabilmesidir. Bir arazinin eğimini, bir cismin eğikliğini, bir bakış açısını bulmak hep bu oranlarla yapılır. Ölçüm yapılamayan bir uzunluk, tek bir açı sayesinde hesaplanabilir.

Ön Bilgi: Dik Üçgen ve Açılar

Bir dik üçgende dik açının karşısındaki kenar hipotenüzdür ve daima en uzun kenardır. Dik açı dışında kalan iki açı birbirini tamlar, yani toplamları 90 derecedir.

Birim çember, merkezi orijin olan ve yarıçapı bir olan çemberdir. Çember üzerindeki bir noktanın koordinatları ile merkezden çizilen yarıçapın yatay eksen arasında yaptığı açı arasındaki ilişki, trigonometrik oranların tanımını verir.

Temel Kurallar

Trigonometrik oranların tanımı: Birim çemberde bir açının sinsi, o açının uç noktasının düşey koordinatıdır. Kosinüsü yatay koordinatıdır. Tanjantı ise düşey koordinatın yatay koordinata oranıdır.

Dik üçgendeki oranlar: Bir açının sinsini karşı kenarın hipotenüze, kosinüsü komşu kenarın hipotenüze, tanjantı karşı kenarın komşu kenara oranıdır.

Özdeşlik: Bir açının sinsinin karesi ile kosinüsünün karesinin toplamı bire eşittir. Aynı açı için tanjantın karesinin biri eksi sinsi karesi bölümüne eşit olduğu da kullanılır.

Bölge ve işaret: Birinci ve üçüncü bölgede tanjant pozitiftir. İkinci ve dördüncü bölgede negatiftir. Birinci ve dördüncü bölgede kosinüs pozitif, ikinci ve üçüncü bölgede negatiftir.

Eğim ile tanjant: Bir doğrunun eğimi, doğrunun yatay eksenle yaptığı açının tanjantına eşittir. Bu bağıntı analitik geometri ile trigonometriyi birbirine bağlar.

Kavram Karşılaştırma Tablosu

Bu tablo, üç trigonometrik oranın hangi kenarların oranı olduğunu ve hangi durumlarda kullanıldığını gösterir. Yanlış kenar seçimi yapılan soru çoğunlukla yanlış oranla çözülür.

Adım Adım Çözülmüş Örnek

Adım 1 — Şekli dik üçgene indirin. Eğik görünen her durumda uygun bir dik üçgen kurulur veya birim çemberdeki karşılığı kullanılır.

Adım 2 — Kenarları adlandırın. Verilen açı yazılır ve o açıya göre karşı kenar, komşu kenar ve hipotenüz belirlenir. Karşı ve komşu kenar yer değiştirilirse sonuç yanlış olur.

Adım 3 — Doğru oranı seçin. Verilen açının karşısında kenar yoksa önce onu bulursunuz. Ardından karşı kenarın hipotenüze mi komşu kenara mı bölüneceğine karar verilir.

Adım 4 — Denetleyin. Birinci bölgede bütün oranlar sıfırdan küçük ve birden büyüktür. Sonuç bu aralığın dışındaysa işaret hatası ya da yanlış kenar seçimi vardır.

Sık Yapılan Hatalar

Trigonometri sorularındaki hataların büyük bölümü kenar yanlış seçimden ve derece ile radyan karışıklığından gelir.

• Karşı ve komşu kenarı ters seçmek: Verilen açının karşısındaki kenar karşı kenardır; komşu kenar hipotenüs dışında kalan diğer kenardır, ikisi yer değiştirilemez.
• Tanjantta hipotenüzü payda almak: Tanjantta payda her zaman komşu kenardır; hipotenüz payda alınırsa tanjant yerine başka bir oran hesaplanmış olur.
• Bölge işaretini görmezden gelmek: İkinci ve dördüncü bölgelerde tanjant negatiftir; işaret atlanırsa sonuç pozitif bulunur.
• Özdeşliği açı yerine koymak: Sinsin karesi ile kosinüs karesi toplamı aynı açı içindir; farklı açıların değerleri toplanamaz.
• Derece ile radyan karıştırmak: Trigonometrik oranlar derece cinsinden açı üzerinden tanımlanır; radyan değeri verilmişse dönüştürme yapılmalıdır.
• Birim çemberde koordinatı oranla karıştırmak: Birim çemberde koordinatlar tek başına birer orandır; tanjant ise iki koordinatın oranıdır.

Özet

Trigonometrik oranlar üç kenarın oranı olarak tanımlanır. Birim çemberde bir açının sinsi o açının uç noktasının düşey koordinatı, kosinüsü yatay koordinatı, tanjantı ise düşey koordinatın yatay koordinata oranıdır. Dik üçgende karşı kenarın hipotenüze oranı sinüs, komşu kenarın hipotenüze oranı kosinüs, karşı kenarın komşu kenara oranı tanjanttır. Bir açının sinsinin karesi ile kosinüsünün karesinin toplamı bire eşittir. Birinci ve üçüncü bölgelerde tanjant pozitiftir, ikinci ve dördüncü bölgelerde negatiftir. Birinci ve dördüncü bölgelerde kosinüs pozitif, ikinci ve üçüncü bölgelerde negatiftir. Bir doğrunun eğimi, doğrunun yatay eksenle yaptığı açının tanjantıdır. Dik üçgende dik açı dışında kalan iki açı toplamı 90 derecedir.

Kendi kendine dene: Bir kâğıtın köşesinden bir kenarını katlayarak çeşitli açılar oluştur. Oluşan dik üçgende hipotenüzü, komşu ve karşı kenarı ölç. Her açı için karşı kenarın hipotenüze oranını bulduğunda sinsini, komşu kenarın hipotenüze oranını bulduğunda kosinüsü elde edersin. Bu oranların karelerinin toplamının neden hep bire yaklaştığını yaz. Sonra aynı üçgeni yatay eksen çevresine çevir ve açının ikinci bölgeye düştüğünde tanjantın işaretinin neden değiştiğini açıkla. En son birim çember üzerinde yatay koordinatı sıfır olan iki noktayı bul ve bunların hangi açılara karşılık geldiğini belirt.

Ne Öğreneceğiz

Birim çember üzerinde trigonometrik oranların tanımı, dik üçgende trigonometrik oranların kullanımı, bölgelere göre işaret belirleme ve trigonometrik özdeşliklerle problem çözme becerisi. Bu konuda ögrenme çıktıları:

• Birim çember üzerinde bir açının trigonometrik oranlarını tanımlar.
• Dik üçgende karşı, komşu ve hipotenüzü ayırt ederek oranları hesaplar.
• Herhangi bir bölgedeki açının trigonometrik oranlarının işaretini belirler.
• Sinsin, kosinüs ve tanjant arasındaki ilişkiyi uygular.
• Sinsin karesi ile kosinüs karesi toplamının bir olduğu özdeşliğini kullanır.
• Doğru eğimi ile eğim açısının tanjantı arasındaki bağı kurar.
• Günlük hayattaki dik üçgen modellerini trigonometrik oranlarla çözer.

Basit Örnek ve Günlük Yaşam

Günlük yaşamda ve mesleki bağlamda bir uygulama:

Soru: Dik üçgende karşı kenar 3, hipotenüz 5 ise açının sinüsü kaçtır?

1. Kenarlar belirlenir.
2. Oran alınır.
3. Sonuç yazılır.

Sonuç/cevap: 3/5

İleri Örnek

Daha ileri bir uygulama:

Soru: Dik üçgende bir açı 35 derece ise karşı açısı kaçtır?

1. Keskin açılar toplamı yazılır.
2. Çıkarma yapılır.
3. Sonuç bulunur.

Sonuç/cevap: 55

Kendini Dene

Soru: Birim çember üzerinde trigonometrik oranların nasıl tanımlandığını açıklayınız ve koordinatlarla ilişkisini yazınız.

Örnek cevap: Puanlama anahtarı: Birim çemberin merkezinin orijin olduğu ve yarıçapının bire eşit olduğu yazılır (4 puan). Açının uç noktası tanımlanır (3 puan). Sinsinin düşey koordinat olduğu belirtilir (5 puan). Kosinüsün yatay koordinat olduğu yazılır (4 puan). Tanjantın iki koordinatın oranı olduğu açıklanır (4 puan).