Türev Uygulamaları

Konu Anlatımı

Ne Öğreneceğiz?

Türev uygulamaları, bir fonksiyonun türevini almanın ötesine geçerek onu karar verme aracı olarak kullanmayı öğretir. Bu üç başlıkta ilerleyeceğiz: maksimum–minimum değerlerini bulma, fonksiyon grafiğini çizme ve yorumlama, gerçek yaşam durumlarını modelleme. Bir fonksiyonun türevi, o fonksiyonun grafiğindeki eğimi verir; eğimin işareti fonksiyonun yükselip alçalmasını, eğimin sıfıra yaklaşması ise grafikte düzleşmeyi gösterir. Türev uygulamaları, soyut bir işlem olmaktan çıkıp somut bir karar verme tekniğine dönüşür.

Konunun merkezinde iki temel soru vardır. Birincisi, bir fonksiyonun belirli bir aralıkta arttığını ya da azaldığını nasıl kanıtlarız? İkincisi, bir büyüklüğün en büyük ya da en küçük değeri hangi noktada gerçekleşir? Bu iki soru türevin sıfırdan geçtiği noktalarla doğrudan ilişkilidir; türevin işaret değiştirdiği yer, grafiğin yön değiştirdiği yerdir. Bu nedenle türev uygulamalarına girmeden önce türev hesabına değil, türevin yorumuna hâkim olmak gerekir.

Ön Bilgi: Türev Sinyali Ne Anlatır?

Türev uygulamalarına geçmeden önce üç kavramın yerine oturması gerekir. Birincisi artan ve azalan bölge kavramıdır. İkincisi türevin grafiği ile fonksiyonun grafiği arasındaki ilişkidir. Üçüncüsü mutlak ve yerel ekstremum ayrımıdır. Bu üç kavram karıştırıldığında, türevin sıfır olduğu her nokta yanlışlıkla ekstremum noktası sanılır ve sonuçların tamamı bozulur.

Türevin sıfır olması, grafiğin yatay bir teğete sahip olduğu anlamına gelir. Yatay teğet çizilebilen her nokta bir ekstremum noktası olmak zorunda değildir. Örneğin f(x) = x · x · x − 3x · x fonksiyonunun türevi 3x · x − 6x biçimindedir ve bu türev x = 0 noktasında da sıfır olur. Oysa bu noktada grafik yalnızca bir dönüm noktasından geçer, tepe ya da çukur oluşturmaz. Bu yüzden türev sıfır olmak tek başına yeterli değildir; türevin işaretinin o noktanın iki yanında değişip değişmediği de denetlenmelidir.

Basit Örnek: Aran–Azalan Aralığı

f(x) = 2x · (x − 5) fonksiyonunu inceleyelim. Açılım 2x · x − 10x biçimindedir ve türevi 4x − 10 olur. Türevin işareti, 4x − 10 ifadesinin sıfırdan büyük ya da küçük olmasına bağlıdır. Eşitsizlik çözüldüğünde türevin sıfırdan büyük olduğu bölge, 2,5 ten büyük x değerleridir; grafik bu bölgede yukarı çıkar, yani fonksiyon artar.

Burada dikkat edilmesi gereken nokta şudur: türevin sıfır olduğu değer 2,5 tir ve grafik bu noktada yön değiştirir. Yani 2,5 bir yerel minimum noktasıdır, çünkü sol tarafta türev negatif, sağ tarafta türev pozitiftir. Artan bölgeyi yazarken türevin sıfıra eşit olduğu nokta aralığın dışında bırakılır; aralıklar açık uçlarla gösterilir. Aralık uçlarının yazım biçimi sınavda sık bozulan bir ayrıntıdır.

İleri Örnek: Adım Adım Çözülen Bir Modelleme

Tabanı kare olan dikdörtgen prizma şeklinde bir kutunun hacmi 108 metreküptür. Yüzey alanı en küçük olduğunda tabanın bir kenarı kaç santimetredir? Taban kenarı a, yükseklik h olsun. Hacim koşulu a · a · h = 108 biçiminde yazılır; yüzey alanı ise taban alanı ile dört yan alanının toplamı olduğundan A = a · a + 4 · a · h olur.

İkinci adımda h değeri birinci bağıntıdan yerine yazılır. Buradan h = 108 ÷ (a · a) elde edilir. Üçüncü adımda yüzey alanı tek değişkene bağlanır: A = a · a + 432 ÷ a. Dördüncü adımda türev alınır ve türevin sıfır olduğu nokta bulunur: A' = 2a − 432 ÷ (a · a) eşitliğinden 2a · a · a = 432 ve a · a · a = 216 bulunur.

Son adımda kökü alınır ve a = 6 santimetre, buna karşılık h = 3 santimetre elde edilir. Bu modelde türev uygulamasının üç ayağı açıkça görülür: önce durum değişkeni seçilir, sonra kısıt bağıntısı yazılır, en son türev sıfırına bakılarak denge noktası bulunur. Benzer bütün modelleme sorularında bu üç adımın sırası korunursa sonuç güvenilir olur.

Grafik Çizimi ve Yorumu

Bir parabolün grafiğini çizebilmek için iki bilgi yeterlidir: tepe noktasının koordinatı ve y ekseni kesişimi. Tepe noktası, türevin sıfır olduğu noktadır; y ekseni kesişimi ise x = 0 yazılarak bulunur. Bu iki nokta bilinince parabolün kolları yukarı aşağı doğru çizilebilir. Doğrusal bir fonksiyonda ise yalnızca eğim ile y ekseni kesişimi yeterlidir.