Gerçek Sayı Dizileri

Konu Anlatımı

Ne Öğreneceğiz?

Bu konuda, terimleri bir kurala göre sıralanmış gerçek sayı dizilerini inceleyeceğiz. Bir dizinin yükselip yükselmediğini, belirli bir sayının dışına çıkıp çıkmadığını ve terimlerinin bir değere yaklaşıp yaklaşmadığını anlamak, sonraki tüm konuların temelidir. Sınavda bir dizi verildiğinde önce artan mı azalan mı olduğuna, sonra sınırlı olup olmadığına, en sonra ise yakınsak olup olmadığına bakılır.

Dizi ve Genel Terim Kavramı

Dizi, her n pozitif tam sayısı için tanımlanmış bir a(n) gerçek sayı dizisidir. Diziyi veren kurala genel terim denir. Genel terimi a(n) = 1 ÷ n biçiminde olan dizinin ilk terimleri 1, 0,5, 0,333... biçimindedir. Burada virgül ondalık ayırıcıdır; artan değerlerin sayısı arttıkça terimler sıfıra yaklaşır. Genel terimi olmayan ama ilk terimleri verilen dizilerde, terimler arasındaki fark ya da çarpan incelenerek kural bulunmaya çalışılır.

Dizi ile gerçek sayı kümesi arasındaki ilişkiye dikkat edilir. Terimleri sıfırdan büyük olan bir dizi alttan sınırlıdır ama üstten sınırlı olmak zorunda değildir. Buna karşılık terimleri mutlak değerce bir M'den küçük olan dizi hem alttan hem üstten sınırlıdır.

Monoton Artan ve Monoton Azalan Diziler

Dizinin terimleri karşılaştırıldığında her n için bir sonraki terim büyükse dizi artan (monoton artan), her n için küçükse dizi azalan (monoton azalan) dizidir. Bu iki durum birlikte monotonluk adını alır. Bir kez artıp sonra azalan diziler monoton değildir. Monotonluk dizinin yönüyle ilgilidir; sınırlılık ise büyüklüğüyle ilgilidir ve bu ikisi birbirinin yerine kullanılamaz.

Genel terimi a(n) = 3 + 1 ÷ n olan dizide n arttıkça payda büyür, terim küçülür; dizi artar ve 3 ile 4 arasında kalır, yani alttan ve üstten sınırlıdır. Genel terimi a(n) = 4 − 1 ÷ n olan dizi ise artan bir dizidir. Genel terimi a(n) = n olan dizi artandır ama üstten sınırlı değildir. Monotonluğu anlamak için terim farkının işaretine bakmak en hızlı yoldur.

Sınırlı Diziler

Dizinin terimleri mutlak değerce bir M pozitif sayısından küçükse dizi sınırlıdır. Sınırlılığın karşıtı olan durumda dizi sınırsızdır. Terimleri 1, 2, 3, 4 biçiminde büyüyen bir dizi sınırsızdır. Bir dizinin yalnızca alttan ya da yalnızca üstten sınırlı olması da mümkündür; örneğin a(n) = n + 1 ÷ n dizisi alttan sınırlı ama üstten sınırsızdır.

Sınırlı olmak yakınsak olmak demek değildir. Terimleri 1 ve −1 arasında değişen dizi sınırlıdır ama yakınsamaz. Bu nedenle sınırlılık tek başına yeterli bir ölçüt değildir; yakınsaklık için dizinin bir tek değere doğru sıkışması gerekir.

Yakınsak Diziler ve Limit Kavramı

Bir dizi yakınsaktır denildiğinde, terimleri tek bir gerçek sayıya yaklaşır. Bu sayıya dizinin limiti denir ve lim a(n) = L biçiminde yazılır. Tanım olarak her ε pozitif sayısı için, terimlerin mutlak değerinin L'den uzaklığı ε'dan küçük olan bir n değeri bulunabilmelidir. Yani terimler, başlangıçtaki birkaç terimi bir yana bırakıldığında L'nin herhangi bir yakın çevresine toplanır.

Limit hesabında dizi içindeki kuralın n büyüdükçe nasıl davrandığına bakılır. Genel terimi 1 ÷ n olan dizide pay sabit, payda büyüdüğü için limit sıfırdır. Genel terimi 2000 ÷ 2^n olan dizide her terim bir öncekinin yarısı olduğundan dizi hızla sıfıra yaklaşır. Genel terimi √(n + 1) − √(n) olan dizi ise rasyonel yapıldığında paydası büyüyen bir kesre dönüşür ve limiti sıfır olur.

Monoton Sınırlı Dizilerin Yakınsaklığı

En çok kullanılan sonuç şudur: monoton artan ve üstten sınırlı bir dizi yakınsaktır; monoton azalan ve alttan sınırlı bir dizi de yakınsaktır. Bu sonuç tersinden de okunur: monoton artan bir dizinin limiti ancak üstten sınırlıysa vardır. Artan bir dizinin limiti üst sınırın en küçük değeridir, azalan bir dizinin limiti ise alt sınırın en büyük değeridir.

Bu kural iki koşulun birlikte sağlanmasına dayanır. Koşullardan yalnızca biri sağlanırsa sonuç kesinleşmez. Genel terimi n + 1 ÷ n olan dizi monoton artan ve alttan sınırlı olduğu için yakınsaktır ve limiti sonsuzluktur; yani terimler sınırsız büyür. Genel terimi 1 + 1 ÷ 2 +... + 1 ÷ n olan dizi de monoton artandır ama sınırsızdır, dolayısıyla yakınsamaz.

Sık Kullanılan Örnek Diziler

a(n) = 1 ÷ n dizisi azalan, sınırlı ve yakınsaktır; limiti sıfırdır. a(n) = (−1)^n dizisi sınırlı fakat monotonsuzdur, bu yüzden yakınsamaz. a(n) = (−1)^n ÷ n dizisi ise mutlak değerleri küçüldüğü için yakınsaktır ama işaretler dönüştüğünden monoton değildir; limiti yine sıfırdır. a(n) = 2^n ve a(n) = n dizileri sınırsız olduğundan ıraksaktır.

Alt dizi kavramı da sınavda kullanılır. a(n) = 1 ÷ n dizisinin çift indeksli alt dizisi 1 ÷ 2, 1 ÷ 4, 1 ÷ 6 biçimindedir ve sıfıra yakınsar. Bir dizi yakınsaksa alt dizileri de aynı limite yakınsar; bir dizide iki alt dizi farklı değerlere gidiyorsa dizi yakınsamaz.

Kavram Karşılaştırma Tablosu

Sınav Odaklı Çözüm Sırası

Bir dizi sorusu çözülürken izlenecek yol nettir. Önce terimlerin yönü incelenir: dizi artan mı, azalan mı, yoksa monotonsuz mu? İkinci adımda terimlerin mutlak değerlerinin büyüyüp büyümediğine bakılarak sınırlılık araştırılır. Üçüncü adımda iki koşul birlikte sağlanıyorsa monoton sınırlı dizilerin yakınsaklığı sonucu kullanılır. Koşullardan biri eksikse doğrudan sonuç yazılmaz; bunun yerine terimler somut olarak karşılaştırılır.

Fonksiyonlardan dizi üretilen sorularda dikkat edilir. Sonsuzdaki limiti var olan bir fonksiyonun tam sayı noktalarındaki değerleri aynı limite yakınsar; buna karşılık 2 + sin x gibi bir fonksiyonun sonsuzdaki limiti yoktur ve değerleri sınırlı olsa bile yakınsamaz. Bu yüzden ters yönde kurulmuş önermelerde öncül doğru olsa bile sonuç her zaman doğru değildir.

Özet

Artan ve azalan diziler monoton, mutlak değerleri bir M'den küçük diziler sınırlı, terimleri tek bir sayıya yaklaşan diziler yakınsaktır. Monoton artan ve üstten sınırlı ya da monoton azalan ve alttan sınırlı her dizi yakınsaktır. Sınırlı dizilerin yakınsak olması zorunlu değildir; 1, −1, 1, −1 dizisi bunun canlı örneğidir.

Ön Bilgi

Bu konuya başlamadan önce temel kavram ve ön koşulları kavramanız yardımcı olacaktır. Konunun çerçevesinde şu kavramlar dikkat ister:

• Artan dizide bir sonraki terim daima büyük, azalan dizide daima küçüktür.
• Sınırlı dizi, terimlerinin mutlak değerleri bir M sayısından küçük olan dizidir.
• Monoton artan dizinin limiti, üst sınırın en küçük değeridir.
• Monoton azalan dizinin limiti, alt sınırın en büyük değeridir.
• Monotonluğun tek başına yeterli olmadığı, sınırlılığın da aranması gerektiği unutulmamalıdır.
• a(n) = (−1)^n dizisi sınırlı olduğu hâlde yakınsamaz; monotonsuz diziler yakınsak olabilir.
• a(n) = (−1)^n ÷ n dizisi yakınsak ama monoton değildir; limiti sıfırdır.
• Bir dizi yakınsaksa bütün alt dizileri aynı limite yakınsar.

Basit Örnek ve Günlük Yaşam

Günlük yaşamda ve mesleki bağlamda bir uygulama:

Soru: Genel terimi a(n) = 3 + 1 ÷ n olan dizinin yönü nedir?

1. Adım 1: n arttıkça 1 ÷ n değerinin küçüldüğünü yaz.
2. Adım 2: Sabit olan 3'ün yanına küçüyen bir sayı eklendiğini belirle.
3. Adım 3: Terimlerin küçüldüğü sonucuna var ve dizinin azalan olduğunu yaz.

Sonuç/cevap: Dizi monoton azalandır.

Adım Adım Çözülmüş Örnek

Örnek 1: Artan mı Azalan mı? konusunun adımları:

1. Adım 1: n arttıkça 1 ÷ n değerinin küçüldüğünü yaz.
2. Adım 2: Sabit olan 3'ün yanına küçüyen bir sayı eklendiğini belirle.
3. Adım 3: Terimlerin küçüldüğü sonucuna var ve dizinin azalan olduğunu yaz.

Sık Yapılan Hatalar

Her sınırlı diziyi yakınsak saymak: 1, −1, 1, −1 dizisi sınırlı olduğu hâlde yakınsamaz; sınırlılık tek başına yeterli değildir.

Yakınsak dizinin monoton olduğunu düşünmek: Yakınsaklık ile monotonluk farklı özelliklerdir; (−1)^n ÷ n dizisi yakınsak ama monotondur.

Monotonluk ararken sınırlılığı atlamak: a(n) = n dizisi monoton artandır ama sınırsız olduğu için ıraksaktır.

Alt sınır ile üst sınırı karıştırmak: Monoton artan dizide üst sınırlılık aranır, monoton azalan dizide alttan sınırlılık aranır.

Limit ile terimleri eşitlemek: Dizinin ilk terimi limitine eşit olmak zorunda değildir; limit uzun dönemli davranışı anlatır.

Sonsuzdaki limiti olmayan fonksiyondan dizi üretip yakınsak sonucu beklemek: 2 + sin x örneğinde terimler sınırlı olsa da dizi yakınsamaz.

Kendini Dene

Soru: Genel terimi a(n) = (2n + 1) ÷ (n + 2) olan dizinin monotonluğunu ve sınırlılığını inceleyin; dizinin yakınsak olup olmadığını gerekçesiyle açıklayınız.

Örnek cevap: Puanlama anahtarı: Terimler arasındaki farkın işaretinin bulunması 4 puan; terimlerin büyüdüğünün ya da küçüldüğünün belirtilmesi 3 puan; sınırlılık ya da sınırsızlığın gerekçesiyle birlikte yazılması 4 puan; monoton sınırlı dizi yakınsaklığı kuralının uygulanması 3 puan; düzen ve yazım 1 puan. Toplam 15 puan.