Başkaları Tarafından Oluşturulan Tek Nicel Değişkenli Veri Dağılımlarını İnceleme

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Bu derste Başkaları Tarafından Oluşturulan Tek Nicel Değişkenli Veri Dağılımlarını İnceleme başlığını ele alacağız. Önce kavramın kuralını yazacağız, sonra o kuralın sayı üzerinde nasıl işlediğini adım adım göstereceğiz.

Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:

• Kazanım 1: Başkaları tarafından hazırlanmış veri kümesinin kaynağını, yöntemini ve örneklem büyüklüğünü sorgular.
• Kazanım 2: Farklı iki veri dağılımını merkezi eğilim ve yayılım ölçüleriyle karşılaştırır ve yorumlar.
• Kazanım 3: Eksen başlangıcı, ölçek ve grafik türü seçiminin yanıltıcı etkilerini fark eder.
• Kazanım 4: Tablo ve grafiklerdeki eksik, hatalı ya da gizlenmiş bilgileri tespit eder.
• Kazanım 5: Medyanı eşit fakat yayılımı farklı veri kümelerini karşılaştırarak yorumlar.
• Kazanım 6: Veri okuma ve yorumlama sürecinde çıkarımların sınırlarını belirler ve sonuçları gerekçesiyle savunur.

Ön bilgi: bundan önce gördüğümüz

Bu konuya geçmeden önce Tek Nicel Değişkenli Veri Dağılımları konusunu bilmemiz gerekiyor. Tek Nicel Değişkenli Veri Dağılımları içindeki kavramlar bu derste doğrudan kullanılacak; aradaki bağı kurmadan sayısal işleme geçmek en sık yapılan hatadır.

• Tek Nicel Değişkenli Veri Dağılımları — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.
• Teorik ve Deneysel Olasılık — bu adımda öğrendiklerimiz bugünkü konunun dayanağı oluyor.

Hazırlanmış Veriyle Çalışırken Sorulacak Sorular

Bir haber, rapor ya da grafikte karşılaşılan veri kümeleri, o veriyi toplayan kişi ya da kurum tarafından hazırlanmıştır. Bu kümeleri yorumlamadan önce verinin nereden geldiği, nasıl toplandığı ve kaç veriyle çalışıldığı sorgulanmalıdır. Veri kaynağı açıklanmayan bir kümenin sonucu genellenebilir bir yargı hâline getirilemez.

Örneklem büyüklüğü, araştırmaya kaç birimin katıldığını gösterir. Az sayıda birimle yapılan bir ölçümün sonucu, büyük bir topluluğun tamamını yansıtmaz. Bu nedenle küçük bir örneklemin sonucu, bütün bir topluluğun özelliği gibi sunulduğunda örneklem hatası oluşur. Verilerin ne kadarını kapsadığı bilinmeden yüzde ya da ortalama değerlerin anlamı değerlendirilemez.

• Verinin toplandığı zaman aralığı ve yer belirtilmelidir.
• Verinin kime ait olduğu, yani birimlerin niteliği açıklanmalıdır.
• Toplanan veri sayısı yeterli ve dengeli olmalıdır.
• Grafik ve tabloda gösterilen her sayı gerçek verilerden üretilmiş olmalıdır.

Ölçek Seçiminin Yanıltıcı Etkisi

Bir grafikte dikey eksenin sıfırdan başlamaması, küçük değişimleri olduğundan büyük gösterir. Örneğin 90 ile 95 değerlerini gösteren iki sütun, sıfırdan başlayan bir eksende neredeyse aynı yükseklikte görünürken 90 dan başlayan bir eksende belirgin biçimde farklı görünür. Bu durumda farkın sayısal değeri doğrudur, fakat görünür büyüklüğü abartılıdır.

Ölçek seçimi bir yandan da yanıltıcı olabilir. Aynı veri kümesi farklı ölçeklerle çizildiğinde farklı izlenimler uyandırabilir. Veriyi okurken önce eksenin hangi değerden başladığına ve aralıkların eşit olup olmadığına bakmak gerekir.

Merkezi Eğilim ve Yayılım Birlikte Değerlendirilmelidir

İki veri kümesini karşılaştırırken yalnızca aritmetik ortalamayı ya da yalnızca medyanı kullanmak eksik bir yorumdur. Aritmetik ortalama uç değerlerden etkilendiği için birkaç yüksek değer ortalamayı olduğundan yüksek gösterebilir. Medyan ise uç değerlerden etkilenmez ama ortadaki dağılımı gizleyebilir.

Yayılım ölçüleri bu iki merkezi ölçüyü tamamlar. Medyanları eşit olan iki kümeden biri dar, diğeri geniş bir yayılıma sahip olabilir. Bu durumda öğrencilerin bir kısmı orta değere yakınken diğer kümede notlar çok farklı düzeylere yayılmış olur. Karşılaştırmada orta eğilim ve yayılım birlikte kullanıldığında anlamlı sonuçlar elde edilir.

Grafik ve Tablo Okurken Dikkat Edilecekler

Hazırlanmış bir grafikte ya da tabloda eksik bilgi olup olmadığı denetlenmelidir. Sıklıkların toplamı veri sayısına eşit değilse tabloda eksik ya da hatalı kayıt vardır. Bir aralığın sıklığı sıfır olarak verilmişse bu durum o aralıkta hiç veri olmadığı anlamına gelebilir, veri eksikliği anlamına da gelebilir; ayrım yapılamazsa sonuç kesinleştirilmemelidir.

Bir kurumun kendi verilerini yayımlarken karşılaştırma yapmaması da bir risktür. Yalnızca kendi başarısını gösteren bir yayın, okuyucuyu yanıltıcı biçimde olumlu bir izlenime yönlendirebilir. Doğru yorum, sunulan verinin neyi gösterdiğini olduğu gibi aktarmak ve eksik olanı belirtmektir.

Örnek Soru ve Çözümü

Soru: Bir okulun iki sınıfının not ortalamaları her ikisinde de 65 olarak açıklanmıştır. A sınıfının notları 50, 60, 65, 70, 80 iken B sınıfının notları 30, 40, 65, 90, 110 dur. Hangi sınıfın notları daha dengelidir?

Çözüm 1. adım: Her iki sınıfın aritmetik ortalaması 65 tir ve medyanları da 65 olarak bulunur. Yani merkezi eğilim ölçüleri aynıdır.

Çözüm 2. adım: Açıklıklar karşılaştırılır. A sınıfında 80 − 50 = 30, B sınıfında 110 − 30 = 80 bulunur.

Çözüm 3. adım: Standart sapma da B sınıfında daha büyüktür; çünkü B sınıfının değerleri ortalamadan daha uzaklaşmıştır.

Çözüm 4. adım: Sonuç A sınıfının notları daha dengelidir olur. Yalnızca ortalamaya bakarak iki sınıfın aynı olduğunu düşünmek, yayılım ölçülerini göz ardı etmektir.

Soru: Bir grafikte dikey eksen 5 birimden başlamaktadır. Bu eksende 6 ve 9 birim değerleri gösterildiğinde fark nasıl izlenir?

Çözüm 1. adım: Sayısal fark 9 − 6 = 3 birimdir.

Çözüm 2. adım: Sıfırdan başlayan bir eksende bu fark, toplam ölçeğe göre çok küçük görünür.

Çözüm 3. adım: 5 ten başlayan bir eksende ise 6 ve 9 değerleri eksan başlangıcına yakın olduğundan aradaki fark görsel olarak daha büyük görünür.

Çözüm 4. adım: Sonuç fark olduğundan büyük izlenir olur. Veriler doğru, ancak görsel anlatım abartılıdır.

Sık Yapılan Hatalar

Hata 1: Yalnızca ortalamayı karşılaştırmak. Ortalama tek başına yeterli değildir. Aynı ortalamaya sahip iki küme çok farklı yayılımlara sahip olabilir; açıklık ve standart sapma birlikte değerlendirilmelidir.

Hata 2: Eksen başlangıcına bakmadan grafiği yorumlamak. Sıfırdan başlamayan bir eksen, farkı gerçek olduğundan büyük gösterir. Yorumdan önce eksenin hangi değerden başladığı denetlenmelidir.

Hata 3: Az sayıdaki veriyi bütün bir topluluğa genellemek. Küçük bir örneklemden elde edilen sonuç, tüm topluluğun özelliği gibi sunulmamalıdır. Bu, örneklem hatasıdır.

Hata 4: Sıklık toplamını denetlemeden tabloya güvenmek. Sıklıkların toplamı veri sayısına eşit olmalıdır. Eşit değilse tabloda eksik ya da hatalı kayıt vardır.

Hata 5: Sıfır sıklıklı aralığı kesin olarak boş kabul etmek. Sıfır sıklık, o aralıkta veri olmadığını ya da o aralığın veri toplanırken atlandığını gösterebilir. Ayrım yapılamıyorsa kesin hüküm verilmemelidir.

Hata 6: Veri kaynağını sorgulamadan yayımlanan sayıyı kabul etmek. Kim tarafından, ne zaman, kaç veriyle toplandığı belirtilmeyen bir sayının güvenilirliği tartışmalıdır.

Özet

Başkaları tarafından hazırlanmış veri dağılımlarını yorumlamadan önce verinin kaynağı, toplama yöntemi, örneklem büyüklüğü ve zaman aralığı sorgulanmalıdır. Az sayıda birimle yapılan ölçüm bütün bir topluluğa genellenirse örneklem hatası oluşur. Grafiklerde dikey eksenin sıfırdan başlamaması, sayısal değerler doğru olsa bile farkı abartılı gösterir; bu nedenle eksen başlangıcı mutlaka denetlenmelidir. İki veri kümesi karşılaştırılırken yalnızca aritmetik ortalama ya da yalnızca medyan yeterli değildir. Medyanları eşit, açıklıkları farklı iki küme aynı başarı düzeyini gösterebilir ama farklı düzenleri yansıtır. Tablolarda sıklıkların toplamı veri sayısına eşit olmalıdır. Veriyi sunan kurumun kendi verisini karşılaştırmadan yayımlaması da yanıltıcı bir izlenim yaratabilir. Tüm bu denetimler, veri okuma becerisini güvenilir hâle getirir.

Günlük hayattan bir uygulama

Bu derste öğrendiklerimizi günlük hayatta görmek, konuyu kalıcı hale getirir. Aşağıdaki görevde Başkaları Tarafından Oluşturulan Tek Nicel Değişkenli Veri Dağılımlarını İnceleme bilgisi bir işin içinde kullanılıyor; çözümü kendiniz yazmayı deneyin.

Uygulama sorusu: İki sınıfın sınav notları aşağıdaki gibidir. A sınıfı: 62, 65, 70, 72, 75, 78, 80, 85, 88, 91. B sınıfı: 30, 55, 70, 74, 76, 76, 80, 84, 92, 99. Her iki sınıf için aritmetik ortalama, medyan ve açıklığı hesaplayınız; hangi sınıfın notlarının daha dengeli olduğunu gerekçesiyle açıklayınız.

Bu görev için 20 puan dağıtılmıştır; puanlama anahtarı, cevabın hangi adımlarla gösterilmesi gerektiğini ayrıntılı biçimde söyler. Puanlamada işlem sırasının ve sonuç cümlenin ayrı ayrı sayıldığına dikkat et.

Sınıfta işe yarayan pratik notlar

• Bir grafik ya da tabloyla karşılaştığınızda önce eksen başlangıcını, sonra ölçek aralıklarını denetleyin; yorum en sona bırakılır.
• İki veri kümesini karşılaştırırken önce medyan, sonra açıklık ve çeyrekler açıklığını yazın; tek ölçüye güvenmeyin.
• Ortalama ile medyan arasındaki farkın nereden geldiğini bulmak için uç değerlere göz atın; fark uç değerlerden kaynaklanır.
• Haber ya da raporda veri sayısı verilmemişse sonucu genellenebilir bir yargı olarak yorumlamayın ve bunu belirtin.
• Kutu grafiklerinde kutu uzunluğunu, medyan çizgisinin konumunu ve bıyıkları ayrı ayrı not ederek yorumunuzu güçlendirin.

Çözülmüş örnek adımları

İki örnek üzerinde çalışacağız. İlk örnek kuralın temel kullanımını, ikinci örnek ise kuralın zorlayıcı bir durumunu gösterir. Adımları kendin yazmayı dene; ikinci adımda nerede durduğunu görmek, sınavda zaman kazanır.

Eşit Medyan, Farklı Yayılım

Soru: A grubu: 10, 12, 14, 16, 18; B grubu: 2, 12, 16, 20, 40. Her iki grubun medyanı ve açıklığı nedir? Hangisi daha dengelidir?

1. Adım 1: Medyanlar bulunur. Her iki grupta da veri sayısı 5 olduğundan medyan ortadaki üçüncü terimdir ve A için 14, B için 16 bulunur.
2. Adım 2: A grubunun açıklığı 18 − 10 = 8 olarak hesaplanır.
3. Adım 3: B grubunun açıklığı 40 − 2 = 38 olarak hesaplanır.
4. Adım 4: Açıklıkları karşılaştırınca A grubunun verilerinin çok daha dengeli toplandığı görülür.

Cevap: A grubu açıklığı 8, B grubu açıklığı 38 dir; A grubu daha dengelidir.

Bu örnekte adım sayısını not edin: kural her zaman aynı sayıda işlemle değil, kazanılması gereken bilgiye göre çözülür.

Eksen Başlangıcının Etkisi

Soru: Bir sütun grafiğinde 12 ve 15 birimlik iki değer, dikey eksen 10 birimden başlayarak çizilmiştir. Bu grafikte fark nasıl görünür?

1. Adım 1: Sayısal fark 15 − 12 = 3 birim olarak bulunur.
2. Adım 2: Sıfırdan başlayan bir eksende 3 birimlik fark, toplam ölçeğe gö çok küçük kalır.
3. Adım 3: 10 birimden başlayan bir eksende 12 ve 15 değerleri başlangıca yakın olduğundan fark daha belirgin olur.
4. Adım 4: Sonuç olarak fark olduğundan büyük izlenir.

Cevap: Sayısal fark 3 birimdir ancak grafikte olduğundan büyük görünür.

Kavram, anlam ve sık karıştırılan karşılık

Bu derste geçen terimler birbirine yakın durur ve sınavda karıştırılır. Aşağıdaki tabloda her terimin anlamı ve sık karıştırılan karşılığı yan yana verilmiştir.

Konudaki kural ve ölçü özeti

Konudaki kural ve ölçüleri tek tabloda topladık. Bu tablo, tekrar anlarında ilk bakılacak yerdir.

Sık karşılaşılan yanlışlar

Hata yapmamak için önce hatanın nereden geldiğini bilmek gerekir. Aşağıdaki listede her hata için yanlış giden yol ve doğru yol birlikte verilmiştir.

• Yalnızca aritmetik ortalamayı karşılaştırmak Ortalama tek başına yeterli değildir. Aynı ortalamaya sahip iki küme çok farklı yayılımlara sahip olabilir; açıklık ve standart sapma birlikte değerlendirilmelidir.
• Eksen başlangıcına bakmadan grafiği yorumlamak Dikey eksen sıfırdan başlamadığında sayısal değerler doğru olsa bile görünür fark abartılıdır. Yorumdan önce eksenin hangi değerden başladığı denetlenmelidir.
• Az sayıdaki veriyi bütün bir topluluğa genellemek Küçük bir örneklemden elde edilen sonuç, tüm topluluğun özelliği gibi sunulmamalıdır. Bu yaklaşım örneklem hatasıdır.
• Sıklık toplamını denetlemeden tabloya güvenmek Sıklıkların toplamı veri sayısına eşit olmalıdır. Eşit değilse tabloda eksik ya da hatalı bir kayıt vardır ve sonuç kesinleştirilmemelidir.
• Sıfır sıklıklı aralığı kesin olarak boş saymak Sıfır sıklık, o aralıkta veri olmadığını ya da veri toplanırken atlandığını gösterebilir. Ayrım yapılamıyorsa kesin hüküm verilmemelidir.
• Veri kaynağını sorgulamadan yayımlanan sayıyı kabul etmek Kim tarafından, ne zaman ve kaç veriyle toplandığı belirtilmeyen bir sayının güvenilirliği tartışmalıdır; bu nedenle kaynak bilgisi istenmelidir.

Kısaca özet

Kısaca: Başkaları tarafından hazırlanmış veri dağılımlarını yorumlamadan önce verinin kaynağı, toplama yöntemi, örneklem büyüklüğü ve zaman aralığı sorgulanmalıdır. Az sayıda birimle yapılan ölçümün bütün bir topluluğa genellenmesi örneklem hatasıdır. Grafiklerde dikey eksenin sıfırdan başlamaması, sayısal değerler doğru olsa bile farkı abartılı gösterir; eksen başlangıcı mutlaka denetlenmelidir. İki veri kümesi karşılaştırılırken yalnızca aritmetik ortalama ya da medyan yeterli değildir; açıklık, standart sapma ve çeyrek…

Anlatımı bir cümlede özetleyeceksek, şunu söyleyebiliriz:

• Hazırlanmış veri yorumlanırken önce kaynak, yöntem, örneklem büyüklüğü ve zaman aralığı sorgulanmalıdır.
• Az sayıda birimle yapılan ölçümün sonucunu bütün bir topluluğa genellemek örneklem hatasıdır.
• Dikey eksen sıfırdan başlamazsa sayısal fark doğru olsa bile görsel olarak abartılı gösterilir.
• Yalnızca aritmetik ortalama karşılaştırmak eksiktir; açıklık ve standart sapma birlikte değerlendirilmelidir.
• Medyanları eşit iki küme farklı yayılımlara sahip olabilir; bu fark öğrencilerin düzeni açısından önemlidir.
• Sıklık tablosunda sıklıkların toplamı veri sayısına eşit olmalıdır; aksi hâlde tabloda eksiklik vardır.
• Kurumların yalnızca kendi verilerini yayımlaması, karşılaştırma olmadan yanıltıcı bir izlenim yaratabilir.

Kendin dene: üç soru

Bu üç soru konunun özetidir. Çözmeden önce her biri için hangi kuralı kullanıyorum diye düşün; cevap anahtarı sonda verilmiştir.

1. A sınıfının notları 70, 75, 80, 85, 90; B sınıfının notları 40, 70, 80, 90, 130 olarak verilmiştir. Bu iki küme için ne söylenebilir? (Şıklar: Ortalamaları ve medyanları eşittir · Medyanları eşittir ama açıklıkları çok farklıdır · Açıklıkları eşittir · Hiçbir ortaklıkları yoktur)
2. İki okulun başarı ortalamaları karşılaştırılırken neden eksik kalınır? (Şıklar: Ortalamalar yanlış hesaplanır · Notlar nitel veridir · Grafik türü seçilemez · Dağılımın yayılımı ve örneklem büyüklüğü bilinmeden karşılaştırma eksik kalır)
3. Başkalarının hazırladığı veri dağılımını incelerken öncelikle ne yapılmalıdır? (Şıklar: Veriyi hemen yorumlamak · Verinin kaynağını, toplama yöntemini ve örneklem büyüklüğünü denetlemek · Grafik türünü başka bir türe çevirmek · Verileri yeni bir kümeye dönüştürmek)

Cevap anahtarı: 1) Medyanları eşittir ama açıklıkları çok farklıdır — Her iki sınıfın da medyanı 80 bulunur. Ancak A sınıfının açıklığı 90 − 70 = 20 iken B sınıfının açıklığı 130 − 40 = 90 dur. Medyanların eşit olması dağılımların aynı olduğunu göstermez.

2) Dağılımın yayılımı ve örneklem büyüklüğü bilinmeden karşılaştırma eksik kalır — Aritmetik ortalama tek başına dağılımın düzenini göstermez. Aynı ortalamaya sahip iki toplulukta açıklık ve standart sapma çok farklı olabilir; ayrıca örneklem büyüklükleri de karşılaştırmanın güveni…

3) Verinin kaynağını, toplama yöntemini ve örneklem büyüklüğünü denetlemek — Hazırlanmış veriyi yorumlamadan önce verinin nereden geldiği, nasıl toplandığı ve kaç veriyle çalışıldığı sorgulanmalıdır. Ancak bu sorgu yapılmadan çizilen grafik ya da hesaplanan yüzde, yanlış bir…

Yakın konular

Konunun yerine oturması için komşu başlıkları da bilmek gerekir. Şunlarla birlikte çalışmak konuyu pekiştirir:

• Doğrusal Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.
• Mutlak Değer Fonksiyonu ve Nitel Özellikleri — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.
• Doğrusal Fonksiyonlarla İfade Edilebilen Denklem ve Eşitsizlikler İçeren Problemler — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.

Bu anlatım hakkında

Başkaları Tarafından Oluşturulan Tek Nicel Değişkenli Veri Dağılımlarını İnceleme başlığındaki her sayısal iddia elle doğrulanabilir biçimde yazıldı: soruda verilen değer, uygulanan kural ve bulunan sonuç yan yana durur. Metin özgün yazılmıştır, başka bir kaynaktan alıntı yapılmamıştır.

Ayrıca derste şu açık uçlu görevler yer alıyor; her biri puanlıdır ve kendi cevabını yazmanı ister:

• İki sınıfın sınav notları aşağıdaki gibidir. A sınıfı: 62, 65, 70, 72, 75, 78, 80, 85, 88, 91. B sınıfı: 30, 55, 70, 74, 76, 76, 80, 84, 92, 99. Her iki sınıf için aritmetik ortalama, medyan ve açıkl… (20 puan)
• Bir kurumun hazırladığı sütun grafiğinde dikey eksen 40 birimden başlamaktadır. Sütunlar 52, 58 ve 67 birim değerlerini göstermektedir. Bu grafiğin yanıltıcı olup olmadığını belirleyiniz; doğru bir g… (20 puan)
• Bir okulun yıllık değerlendirme raporunda yalnızca aritmetik ortalama verilmiştir. Bu raporun güvenilirliğini artırmak için hangi ek bilgilere ihtiyaç vardır? Nedenlerini yazınız. (10 puan)

İleri Örnek

Daha ileri bir uygulama:

Soru: A grubunda kutu 70-80 arasında ve medyan 75, B grubunda kutu 55-90 arasında ve medyan 75 olarak çizilmiştir. Bu iki kutu grafiği nasıl karşılaştırılır?

1. Adım 1: Medyanlar karşılaştırılır ve ikisi de 75 bulunur.
2. Adım 2: Çeyrekler açıklıkları hesaplanır: A için 80 − 70 = 10, B için 90 − 55 = 35.
3. Adım 3: B grubunda kutunun çok daha geniş olduğu görülür, yani orta yarının yayılımı büyüktür.
4. Adım 4: Medyanlar eşit olsa da A grubunun notları daha dengeli toplanmıştır.

Sonuç/cevap: A grubu daha dengeli, B grubu daha yaygın bir dağılıma sahiptir.

Karşılaştırma Tablosu