Temel ve Türetilmiş Nicelikler

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Bu derste Temel ve Türetilmiş Nicelikler kavramını çalışacağız. Konuyu gözlemden sayısal ilişkiye doğru kuracağız; aradaki bağı kurmadan formüle geçmek en sık yapılan hatadır.

Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:

• Kazanım 1: Temel nicelik ile türetilmiş nicelik arasındaki farkı açıklar ve her birine örnek verir.
• Kazanım 2: Uluslararası birim sistemindeki yedi temel büyüklüğü ve birimlerini tanır.
• Kazanım 3: Bir türetilmiş büyüklüğün birimini, o büyüklüğü oluşturan temel büyüklüklerden yararlanarak yazabilir.
• Kazanım 4: Farklı birimler arasında dönüşüm yaparak sayısal değerleri doğru karşılaştırır.
• Kazanım 5: Ölçüm sonuçlarının karşılaştırılabilir olması için ortak bir birim sisteminin gerekliliğini açıklar.
• Kazanım 6: Günlük hayatta karşılaştığı kavramların temel mi türetilmiş mi büyüklük olduğunu belirler.

Ön bilgi: bundan önce gördüğümüz

Bu derste Doğadaki Temel Kuvvetler konusunu hatırlayarak ilerliyoruz. İki konu arasındaki bağı kurmak, ayrı ayrı ezberlemekten daha kalıcı bir öğrenme sağlar.

• Doğadaki Temel Kuvvetler — bağlantı: bu derste yeniden karşımıza çıkacak konu.
• Kuvvet ve Newton'un Hareket Yasaları — bağlantı: bu derste yeniden karşımıza çıkacak konu.

Temel ve Türetilmiş Nicelikler

Bir büyüklüğü ölçebilmek için önce onun ne olduğunu bilmek gerekir. Fizikte ölçülen her şey bir niceliktir ve nicelikler temel ve türetilmiş olmak üzere iki başlıkta incelenir. Temel nicelikler doğrudan tanımlanır ve başka niceliklerden üretilemez. Türetilmiş nicelikler ise temel nicelikler arasında kurulan bağıntılar yardımıyla ifade edilir.

Örneğin uzunluk, kütle ve zaman temel niceliklerdir; birimleri sırasıyla metre, kilogram ve saniyedir. Hız ise uzunluğun zamana bölümü olarak tanımlanır. Başka bir temel niceliğe indirgenemediği için hız türetilmiş bir niceliktir ve birimi metre bölü saniye olarak yazılır.

Uluslararası Birim Sistemi

Ölçüm sonuçlarının her yerde aynı yorumlanabilmesi için uluslararası bir birim sistemi kullanılır. Bu sistemde yedi temel büyüklük seçilmiştir. Seçim ölçümün en doğru yapılabildiği, her yerde gerçeklenebildiği ve başka büyüklüklere indirgenemediği ölçütlere göre yapılır.

• Kütle birimi kilogramdır. Kütle, eşit kollu terazi yardımıyla referans bir kütleye karşı karşılaştırılarak ölçülür.
• Uzunluk birimi metredir. Işığın kat ettiği yol ve zaman ilişkisinden yararlanılarak tanımlanır.
• Zaman birimi saniyedir. Saniye, dünyanın çevresindeki hareketlerinin sürelerine dayalı olarak belirlenir.
• Sıcaklık birimi kelvindir. Mutlak sıfır noktası üzerinden tanımlanan bu birimde suyun kaynama noktası yaklaşık 373 K'dir.

Bu yedi büyüklüğün dışında kalan büyüklüklerin tamamı türetilmiş niceliktir. Birim sistemi, türetilmiş birimlerin de temel birimlerden oluşturulmasını sağlar. Böylece her büyüklüğün yalnızca bir birimi bulunur ve karmaşıklık önlenir.

Türetilmiş Birimler Nasıl Yazılır?

Türetilmiş bir büyüklüğün birimi, onu oluşturan temel büyüklüklerin birimlerinin çarpımı ve bölümü şeklinde yazılır. İvme için hareket yönündeki hız değişiminin zamana bölümü düşünülürse birim metreküp bölü saniye kare olur. Kuvvet ise kütle ile ivmenin çarpımı olduğundan birimi kilogram metreküp bölü saniye kare eder ve newton olarak adlandırılır.

Bir türetilmiş birim, ilgili büyüklüğü oluşturan temel büyüklükler değişmedikçe değişmez. Buna karşılık ölçüm aracının okuma aralığı değişirse aynı büyüklüğün daha küçük parçaları ölçülebilir hâle gelir; büyüklüğün kendisi değişmez.

Örnek Soru ve Çözümü

Soru: Kütlesi 800 g, hacmi 0,0004 m³ olan cismin yoğunluğu kg/m³ cinsinden kaçtır?

Çözüm: Kütle 800 g değerinin 1/1000'i alınarak 0,8 kg'a çevrilir. Yoğunluk bağıntısında kütle sayısına bölünür. 0,8 kg sayısının 0,0004 m³ değerine bölümü sonucu 2000 kg/m³ bulunur. Burada dikkat edilmesi gereken nokta, gram ile kilogram arasındaki bin çarpanının unutulmamasıdır.

Sık Yapılan Hatalar

• Birimi değiştirilen büyüklüğün sayısal değerinin değiştiğini, büyüklüğün kendisinin değişmediğini unutmak.
• Kilogram ile gram arasındaki bin katlık ilişkiyi, metre ile santimetre arasındaki yüz katlık ilişkiyle karıştırmak.
• Türetilmiş birimi, o büyüklüğü oluşturan temel büyüklüklerin birimlerini çarparak bulmaya çalışmamak.
• Hız birimini saniyenin karesiyle işlem gerektiren birim sanmak.

Yedi Temel Nicelik ve Birimleri

Uluslararası birim sisteminde yedi temel nicelik vardır. Bu niceliklerin birimleri, sistemdeki bütün birimlerin temelidir.

Kütle, temel nicelikler içinde kilogram ile ölçülen tek niceliktir; gram bir türetilmiş birimdir. Bu nedenle 1 kg = 1000 g yazılırken işlem yine de temel birim üzerinden yapılır.

Türetilmiş Birimlerin Yazım Kuralı

Bir büyüklüğün bağıntısı biliniyorsa birimi de ondan kolayca yazılır. Kural basittir: bağıntıdaki işlemleri birimlere de uygula.

Güç birimi olan watt ile iş birimi olan jul karıştırılmamalıdır: 1 W = 1 J / 1 s. Basınç birimi olan pascal ise 1 N/m²'dir.

Birim Dönüşümünde Yapılan Hata

Birimi başka birime çevirirken sayının değişeceği yönü önce belirlemek gerekir. Küçük birimden büyük birime geçerken sayı bölünür, büyükten küçüğe geçerken sayı çarpılır.

Örnek: 300 cm³'ü litreye çevirelim. 1 L = 1000 cm³ olduğundan, 300 ÷ 1000 = 0,3 L olur. Burada sayı 1000 ile bölünmüştür, çarpılmamıştır. Aynı mantıkla 2,5 kg = 2500 g olur; burada sayı 1000 ile çarpılmıştır.

Özet

Temel nicelikler doğrudan tanımlanan ve başka niceliklere indirgenemeyen büyüklüklerdir; uluslararası birim sisteminde yedi tane temel büyüklük bulunur. Türetilmiş nicelikler ise temel nicelikler arasındaki bağıntılarla elde edilir ve birimleri de bu bağıntılara uygun yazılır. Birim dönüşümlerinde önce hedeflenen birimin küçük mü büyük mü olduğu belirlenir, sonra sayı bu yöne göre düzenlenir. Ortak bir birim sistemi kullanmak, ölçüm sonuçlarının bütün ülkelerde aynı anlam taşımasını ve karşılaştırılabilir olmasını sağlar.

Günlük hayattan bir uygulama

Bu derste öğrendiklerimizi günlük hayatta görmek, konuyu kalıcı hale getirir. Aşağıdaki görevde Temel ve Türetilmiş Nicelikler bilgisi bir işin içinde kullanılıyor; çözümü kendiniz yazmayı deneyin.

Uygulama sorusu: Temel nicelik ile türetilmiş nicelik arasındaki farkı açıklayınız. Kuvvet, iş ve basınç büyüklüklerinin türetilmiş olduğunu, hangi temel büyüklüklerden yararlandıkları ve birimlerinin nasıl oluştuğu üzerinden açıklayınız.

Bu görev için 10 puan dağıtılmıştır; puanlama anahtarı, cevabın hangi adımlarla gösterilmesi gerektiğini ayrıntılı biçimde söyler. Puanlamada işlem sırasının ve sonuç cümlenin ayrı ayrı sayıldığına dikkat et.

Hızlı hatırlatma

• Bir büyüklüğün temel mi türetilmiş mi olduğunu sorarken, onun başka büyüklüklerden üretilip üretilemediğine bak.
• Bir türetilmiş birimi yazarken önce büyüklüğün bağıntısını yaz, sonra birimleri o bağıntıdaki işlemlere göre yerleştir.
• Birim dönüşümünde hedef birimin küçük mü büyük mü olduğunu belirlemeden sayıya dokunma.
• Yoğunluk sorularında kütle ile hacim birimlerinin uyumlu olup olmadığını denetle, gram ile kilogram karışırılır.
• Hız, ivme, kuvvet, basınç gibi büyüklüklerin türetilmiş olduğunu hatırla; hepsini temel büyüklük sanmak sık yapılan bir hatadır.
• Sayısal sonucu yazarken birimi de birlikte yaz; birimsiz bir sayı fiziksel olarak anlamsızdır.

Çözülmüş örnek adımları

İki örnek üzerinde çalışacağız. İlk örnek kuralın temel kullanımını, ikinci örnek ise kuralın zorlayıcı bir durumunu gösterir. Adımları kendin yazmayı dene; ikinci adımda nerede durduğunu görmek, sınavda zaman kazanır.

Örnek 1: Türetilmiş Birimi Tanımlama

Soru: Basınç büyüklüğünün türetilmiş bir birimi nasıl yazılır?

1. Adım 1: Önce basıncın tanım bağıntısı yazılır: basınç = kuvvet / alan.
2. Adım 2: Kuvvetin birimi newton, alanın birimi metreküptür.
3. Adım 3: Newton yerine temel birimler yazıldığında kilogram metreküp bölü saniye kare elde edilir.
4. Adım 4: Bu ifade, newton bölü metreküp olarak da yazılabilir ve paskal olarak adlandırılır.

Cevap: Basınç türetilmiş bir büyüklüktür; birimi paskaldır ve N/m² biçiminde yazılır.

Bu örnekte adım sayısını not edin: kural her zaman aynı sayıda işlemle değil, kazanılması gereken bilgiye göre çözülür.

Örnek 2: Yoğunluk Hesabı

Soru: Kütlesi 600 g, hacmi 300 cm³ olan cismin yoğunluğu kaç g/cm³'tür?

1. Adım 1: Yoğunluk bağıntısı hatırlanır: yoğunluk = kütle / hacim.
2. Adım 2: Kütle ve hacim değerleri aynı birim ailesinde olduğundan dönüşüm gerekmez.
3. Adım 3: 600 sayısının 300 sayısına bölünür.
4. Adım 4: Sonuç 2 g/cm³ olarak bulunur ve bu değerin sudan büyük olduğu için cisim suda batar.

Cevap: Cismin yoğunluğu 2 g/cm³'tür.

Kavram, anlam ve sık karıştırılan karşılık

Bu derste geçen terimler birbirine yakın durur ve sınavda karıştırılır. Aşağıdaki tabloda her terimin anlamı ve sık karıştırılan karşılığı yan yana verilmiştir.

Konudaki kural ve ölçü özeti

Konudaki kural ve ölçüleri tek tabloda topladık. Bu tablo, tekrar anlarında ilk bakılacak yerdir.

Yukarıdaki ölçülerin arkasındaki kural ve formüller şunlardır:

Sık karşılaşılan yanlışlar

Hata yapmamak için önce hatanın nereden geldiğini bilmek gerekir. Aşağıdaki listede her hata için yanlış giden yol ve doğru yol birlikte verilmiştir.

• Birimi değiştirilen büyüklüğün değiştiğini sanmak Yanlıştır. Birim değişikliği yalnızca sayısal değeri değiştirir; ölçtüğümüz büyüklük olduğu gibi kalır. Bu nedenle birimi kaybetmek sonucu değil, yorumu bozar.
• Kilogram ile gram arasındaki ilişkiyi karıştırmak Kilogramdan grama geçerken değer bin ile çarpılır. Bu kural unutulduğunda sayısal sonuç bin kat küçük çıkar ve birimden şüphe edilerek hatalı bir düzeltme yapılır.
• Hızı, ivmeyi, kuvveti temel büyüklük sanmak Bu büyüklüklerin hiçbiri temel değildir. Hız uzunluktan ve zamandan, kuvvet kütle ve ivmeden türetilir; bu yüzden birimleri de türetilmiş birimlerdir.
• Türetilmiş birimde çarpma ve bölmeyi ters uygulamak Bağıntıda bölünen büyüklüğün birimi çarpana, paya bölünen büyüklüğün birimi paydaya yazılır. Bu sıralama karıştırıldığında birimin üssü yanlış çıkar.
• Metreküp ile litre arasındaki bağı tenle kabul etmemek Bir metreküp bin litre olduğundan değer bin ile çarpılır ya da bölünür. Bu bağı bilmeden hacim dönüşümü yapılmaya çalışılırsa sonuç çok yanlış olur.
• Ölçüm sonucuna birimi yazmayı atlamak Birimi olmayan bir sayı, hangi büyüklüğü ölçtüğümüzü göstermediği için karşılaştırma yapmayı imkânsız kılar. Sonuçta birim her zaman birlikte verilmelidir.

Kısaca özet

Kısaca: Temel nicelikler doğrudan tanımlanan ve başka niceliklerden üretilemeyen büyüklüklerdir; uluslararası birim sisteminde yedi tane bulunur. Türetilmiş nicelikler ise en az iki temel niceliğin aralarındaki bağıntıyla ifade edilir ve birimleri de o bağıntıya göre oluşturulur. Birim dönüşümlerinde hedef birimin küçük mü büyük mü olduğu belirlenir ve sayı bu yöne göre düzenlenir.

Anlatımı bir cümlede özetleyeceksek, şunu söyleyebiliriz:

• Temel nicelikler başka niceliklerin birleşiminden üretilemez; türetilmiş nicelikler ise en az iki temel niceliğin ilişkisiyle ifade edilir.
• Uluslararası birim sisteminde yedi temel büyüklük bulunur ve diğer büyüklüklerin tamamı bu yediden türetilir.
• Bir türetilmiş birim, o büyüklüğü oluşturan temel birimlerin çarpımı ve bölümü şeklinde yazılır.
• Birim değişikliği büyüklüğü değiştirmez; yalnızca sayı değerini ve birimi değiştirir.
• Kilogramdan grama geçerken değer bin ile çarpılır, gramdan kilograma geçerken bin ile bölünür.
• Metreküp litreye çevrilirken değer bin ile çarpılır, litre metreküpe çevrilirken binle bölünür.
• Metre saniyeden kilon metre saateye çevrilirken değer 3,6 ile çarpılır.
• Ölçüm sonuçlarının karşılaştırılabilmesi için her ülkede aynı birim sisteminin kullanılması zorunludur.

Kendin dene: üç soru

Bu üç soru konunun özetidir. Çözmeden önce her biri için hangi kuralı kullanıyorum diye düşün; cevap anahtarı sonda verilmiştir.

1. 1200 N'luk kuvvet 0,04 m²'lik bir yüzeye uygulanmaktadır. Yüzeydeki basınç kaç paskaldır? (Şıklar: 480 Pa · 30000 Pa · 300 Pa · 3000 Pa)
2. Basınç hangi bağıntıyla hesaplanır? (Şıklar: P = F / A · P = F · A · P = A / F · P = F / t)
3. Uzunluğun temel birimi aşağıdakilerden hangisidir? (Şıklar: Metre · Kilogram · Saniye · Newton)

Cevap anahtarı: 1) 30000 Pa — Kuvvetin alana bölümü alındığında 1200 sayısının 0,04 sayısına bölümü sonucu 30000 paskal olarak bulunur.

2) P = F / A — Basınç, yüzeye etki eden kuvvetin yüzey alanına bölümü olarak tanımlanır. Bu nedenle doğru bağıntı P = F / A biçimindedir.

3) Metre — Uluslararası birim sisteminde uzunluğun temel birimi metredir ve kısaltması m ile yazılır.

Yakın konular

Konunun yerine oturması için komşu başlıkları da bilmek gerekir. Şunlarla birlikte çalışmak konuyu pekiştirir:

• Skaler ve Vektörel Nicelikler — aynı ünitede, bir sonraki adım.
• Hareket Türleri ve Hareket Grafikleri — aynı ünitede, bir sonraki adım.
• İş, Güç ve Enerji — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.
• Enerji Dönüşümleri ve Verim — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.

Bu anlatım hakkında

Temel ve Türetilmiş Nicelikler başlığındaki her sayısal iddia elle doğrulanabilir biçimde yazıldı: soruda verilen değer, uygulanan kural ve bulunan sonuç yan yana durur. Metin özgün yazılmıştır, başka bir kaynaktan alıntı yapılmamıştır.

Ayrıca derste şu açık uçlu görevler yer alıyor; her biri puanlıdır ve kendi cevabını yazmanı ister:

• Temel nicelik ile türetilmiş nicelik arasındaki farkı açıklayınız. Kuvvet, iş ve basınç büyüklüklerinin türetilmiş olduğunu, hangi temel büyüklüklerden yararlandıkları ve birimlerinin nasıl oluştuğu… (10 puan)
• Bir cismin kütlesi 1,5 kg, hacmi 300 cm³ olduğu biliniyor. Cismin yoğunluğunu iki farklı birim sisteminde hesaplayınız, birim dönüşümlerinde izlediğiniz yolu adım adım yazınız. (20 puan)
• Günlük hayattan dört farklı büyüklük seçerek her birini temel veya türetilmiş olarak sınıflandırınız. Sınıflandırmanızda izlediğiniz ölçütü yazınız ve türetilmiş olanların bağıntılarını oluşturunuz. (10 puan)

İleri Örnek

Daha ileri bir uygulama:

Soru: Bir araç 4 saniyede 18 km/sa hızdan 54 km/sa hıza çıkmaktadır. Aracın ortalama ivmesi kaç m/s²'dir?

1. Adım 1: Hızlar m/s cinsine çevrilir: 18 km/sa = 5 m/s, 54 km/sa = 15 m/s.
2. Adım 2: Hız değişimi 15 eksi 5 olarak hesaplanır.
3. Adım 3: İvme, hız değişiminin zamana bölümü olduğundan elde edilen değer 4 saniyeye bölünür.
4. Adım 4: Sonuç 2,5 m/s² olarak bulunur.

Sonuç/cevap: Aracın ortalama ivmesi 2,5 m/s²'dir.

Karşılaştırma Tablosu