Skaler ve Vektörel Nicelikler

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Bu derste Skaler ve Vektörel Nicelikler üzerine çalışacağız. Her adımda bu ölçüm nereden geliyor diye soracağız; ölçümün kaynağını bilmek sonradan gelen soruları kolaylaştırır.

Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:

• Kazanım 1: Skaler ve vektörel büyüklük arasındaki temel farkı açıklar ve günlük hayattan her sınıfa örnek verir.
• Kazanım 2: Bir vektörü oluşturan büyüklük, doğrultu ve yön bilgilerini eksiksiz olarak belirtir.
• Kazanım 3: Vektörel bir büyüklüğü uygun eksenlere göre dik bileşenlerine ayırarak her bileşenin değerini bulur.
• Kazanım 4: Aynı yönlü, zıt yönlü ve birbirine dik kuvvetlerin bileşkesini doğru bağıntıyla hesaplar.
• Kazanım 5: Yol ile yer değiştirme arasındaki farkı hareket örnekleri üzerinden karşılaştırır.
• Kazanım 6: Hız değişimini vektörel bir büyüklük olarak ele alıp yön değiştirmenin ivme üzerindeki etkisini yorumlar.
• Kazanım 7: Vektörün tersi ve toplam gibi işlemleri fiziksel olaylara uygulayarak dengeli kuvvetleri değerlendirir.

Ön bilgi: bundan önce gördüğümüz

Bu konuyu anlamanın ön koşulu Temel ve Türetilmiş Nicelikler bilgisidir. Temel ve Türetilmiş Nicelikler konusundaki temel kavramlar bu derste örneklerin üzerinde yeniden karşımıza çıkacak.

• Temel ve Türetilmiş Nicelikler — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.
• Doğadaki Temel Kuvvetler — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.

Skaler Büyüklükler

Fizikte ölçtüğümüz her büyüklük, yalnızca bir sayı ile ifade edilebiliyorsa skaler olarak adlandırılır. Skaler büyüklüğün yönü yoktur; yalnızca büyüklüğü ve birimi vardır. Kütle, zaman, sıcaklık, hacim, yoğunluk, enerji ve iş bu gruptaki en sık kullanılan büyüklüklerdir. Bir cismin kütlesi 12 kg olarak yazıldığında bu ifadede cismin hangi yönde olduğu belirtilmez. Bu nedenle terazide okunan değer her zaman skaler bir büyüklüktür.

Sıcaklık değişimi de skaler bir büyüklüktür. Suyu ısıttığımızda sıcaklığın arttığını söyleriz ama ısının hangi yönde aktardığını sıcaklık değişimi ifadesiyle belirtmeyiz. Isı aktarımının yönünü ise ayrı bir tanımla açıklarız.

• Kütle, hacim, yoğunluk ve zaman skaler büyüklüklere örnektir.
• Sıcaklık, sıcaklık değişimi ve enerji de yön bilgisi taşımadığı için skaler sınıftadır.
• Birimi skaler büyüklükten türetilse de onun yönü yoktur; örneğin iş ve güç skaler sınıftadır.

Vektörel Büyüklükler

Yalnızca büyüklüğüyle değil, doğrultusu ve yönüyle de tanımlanan büyüklüklere vektörel büyüklük denir. Kuvvet, hız, ivme, yer değiştirme, momentum ve elektrik akımı bu sınıfın örnekleridir. Bir cisme etki eden 30 N'luk kuvveti anlatmak için sadece sayıyı yazmak yetmez; kuvvetin hangi doğrultuda ve hangi yöne etki ettiğini de belirtmek gerekir. Bu nedenle kuvvet okla gösterilir ve okun ucu yönü gösterir.

Vektörel bir büyüklüğün iki temel bileşeni vardır: doğrultu ve yön. Doğrultu, vektörün hangi çizgi üzerinde bulunduğunu, yön ise o çizgi üzerinde hangi tarafa baktığını belirtir. Yatay bir çizgi üzerindeki bir kuvvet için doğrultu yatay, yön ise sağa veya sola olabilir.

• Kuvvet, hız ve ivme vektörel büyüklüklere örnektir.
• Yer değiştirme de başlangıç ve bitiş noktaları arasındaki yön bilgisi nedeniyle vektöreldir.
• Aynı büyüklükte ve farklı yönde iki hız, birbirinden farklı iki hız vektörü belirtir.

Vektörün Bileşenlerine Ayrılması

Vektörler, birbirine dik iki eksenin oluşturduğu bir koordinat sistemine göre dik bileşenlerine ayrılabilir. Yatay eksen x, düşey eksen y olarak adlandırılır. Bir vektörün x doğrultusundaki bileşeni yatay eksen üzerindeki izdüşümü, y doğrultusundaki bileşeni ise düşey eksen üzerindeki izdüşümüdür. Bileşenler bulunduktan sonra vektörün büyüklüğü, bu iki dik bileşenin karelerinin toplamının karekökü alınarak hesaplanır.

Örneğin bir aracın hızının yatay bileşeni 15 m/s, düşey bileşeni 20 m/s ise hızın büyüklüğü 25 m/s olur. Bileşenler aynı zamanda hızın hangi eksenlerde ne kadar hareket ettiğini de gösterdiği için günlük hayatta yön bilgisi vermek bakımından oldukça kullanışlıdır.

Vektörlerin Toplanması

Vektörler toplanırken önce doğrultu ve yönlerine bakılır. Aynı yönlü vektörlerin büyüklükleri toplanır, zıt yönlü vektörlerde büyüklükler çıkarılır. Birbirine dik vektörlerde ise bileşke, köşegen bağıntısıyla bulunur. İki vektörü kuyruk başa gelecek biçimde yerleştirip başlangıçtan bitişe çizilen doğru parçalama üçgen kuralı olarak adlandırılır. Bu kural, kuvvet bileşkesi bulunurken sıkça kullanılır.

Vektörün tersi, büyüklüğü aynı fakat yönü tamamen zıt olan vektördür. Dengelenmiş kuvvetlerde aynı cisme etki eden kuvvetlerin toplamının sıfır olması, bu kuvvetlerin birbirinin tersi olduğunu gösterir.

Örnek Soru ve Çözümü

Bir öğrenci evden çıkıp 300 m doğuya, oradan 400 m kuzeye ve sonra 200 m batıya yürüyor. Öğrencinin aldığı yol ile yer değiştirmesinin büyüklüğünü bulunuz.

1. Yol, kat edilen tüm parçaların uzunluklarının toplamıdır; bu nedenle parçalar toplanır.
2. Doğu ekseninde 300 m doğu ve 200 m batı yönünde hareket vardır; bu iki hareket birbirini götürür.
3. Doğu eksenindeki net hareket 100 m doğu yönünde, kuzey eksenindeki hareket ise 400 m olarak bulunur.
4. Doğu ve kuzey dik eksenler olduğundan yer değiştirmenin büyüklüğü köşegen bağıntısıyla hesaplanır.

Sık Yapılan Hatalar

Vektörlerle çalışırken yön bilgisini göz ardı etmek, sonuçları yanlış işaretlere yol açan en yaygın hatadır. Benzer biçimde yer değiştirme ile yolu birbirine karıştırmak da sık görülür.

• Yön bilgisini göz ardı ederek kuzey ile doğu hareketlerini toplamak yerine köşegen bağıntısını kullanmamak.
• Bileşik yönlü vektörlerin büyüklüklerini çıkararak hatalı bir net kuvvet elde etmek.
• Vektörün tersini alırken büyüklüğü de değiştirmek; oysa büyüklük aynı kalır, yalnızca yön döner.
• Hız vektörünün büyüklüğünü sabit olduğu için ivmenin sıfır olduğunu düşünmek.
• Bileşenlerini bildiğimiz bir vektörün büyüklüğünü, bileşenlerin doğrudan toplamı olarak almak.

Yön Bilgisi Gereken Durumlar

Bir büyüklüğün skaler mi vektörel mi olduğunu anlamak için şu soru sorulur: Yön bilgisi verilmeden büyüklük anlamlı mıdır?

Aynı sözcük iki farklı büyüklük için kullanılabilir. Sürat büyüklüğü skaler, hız ise vektöreldir. Bu ayrım Türkçede de vardır ve sınavlarda sık sorulur.

Bileşenlerle Çalışma Örneği

Bir öğrenci doğuya 400 m, kuzeye 300 m ve batıya 150 m yol almıştır. Doğu ile batı ters yönler olduğundan, doğu yönündeki net yer değiştirme 400 − 150 = 250 m, kuzey yönündeki yer değiştirme ise 300 m olur.

Bu iki bileşen dik olduğundan toplam yer değiştirmenin büyüklüğü köşegen bağıntısıyla bulunur:

s = √(250² + 300²) = √(62500 + 90000) = √152500 ≈ 390 m

Yer değiştirmenin yönü ise kuzeydoğu yönündedir. Toplanan yol ise 400 + 300 + 150 = 850 m olur. Yol ile yer değiştirmenin bu nedenle farklı olduğu, kavranması gereken temel noktadır: yol daima yer değiştirmeye eşit veya daha büyüktür.

Dik Kuvvetlerin Bileşimi

Birbirine dik iki kuvvetin toplamı yine köşegen bağıntısıyla bulunur. 9 N ve 12 N büyüklüğünde dik kuvvetler için:

R = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15 N

Bu sonuç, 9 ve 12 sayılarının 9 − 12 − 15 üçlüsü olmasından gelir; köşegen bağıntısı ile Pythagoras bağıntısı aynı işlemdir. Dik kuvvetlerde toplam, her birinden büyüktür. Buna karşılık aynı doğrultuda zıt yönlü iki kuvvetin toplamı büyüklüklerin farkıdır: 12 N ile 3 N zıt yönlüyse toplam 9 N olur ve yönü 12 N'lik kuvvetin yönüdür.

Özet

Skaler büyüklükler yalnızca büyüklükle, vektörel büyüklükler ise büyüklük, doğrultu ve yön bilgisiyle belirtilir. Vektörler uygun dik eksenlere göre bileşenlerine ayrılabilir ve büyüklükleri karelerin toplamının kareköküyle bulunur. Aynı yönlü vektörler toplanır, zıt yönlüler çıkarılır, dik olanlar köşegen bağıntısıyla birleştirilir. Yer değiştirme yön bilgisi taşıdığı için vektöreldir ve bu nedenle yoldan farklı olarak hareket yönü değiştirildiğinde sıfırdan büyük olabilir. Hızın yönünün değişmesi, büyüklük sabit kalsa bile ivmenin sıfırdan farklı olmasını sağlar.

Günlük hayattan bir uygulama

Şimdi konuyu kendi hayatımızdaki bir duruma uygulayacağız. Skaler ve Vektörel Nicelikler bilgisi olmadan da bu iş yapılabilir, ama nasıl yapıldığını açıklamak zorlaşır; soru tam da bu açıklamayı istiyor.

Uygulama sorusu: Skaler ve vektörel büyüklük kavramlarını açıklayınız. Kütle, sıcaklık, kuvvet, hız ve yer değiştirme büyüklüklerini bu iki sınıfa ayırınız ve ayırmada kullandığınız ölçütü belirtiniz.

Bu görev için 10 puan dağıtılmıştır; puanlama anahtarı, cevabın hangi adımlarla gösterilmesi gerektiğini ayrıntılı biçimde söyler. Puanlamada işlem sırasının ve sonuç cümlenin ayrı ayrı sayıldığına dikkat et.

Bu konuyu çalışırken işinize yarayacak notlar

• Bir büyüklüğün skaler mi vektörel mi olduğunu anlamak için yön bilgisinin gerekip gerekmediğini sor.
• Bileşenlerini verilen vektörde köşegen bağıntısını uygula; doğrudan toplama yalnızca aynı yönlü vektörlerde geçerlidir.
• Yol ile yer değiştirme ayrımında yolun parçalarını topladığını, yer değiştirmenin başlangıç ve bitişi esas aldığını hatırla.
• İki kuvvet zıt yönlüyse büyüklüğü büyük olandan küçüğünü çıkar ve yönü büyük olan kuvvetin yönü olarak al.
• Hız sabit olsa bile yön değiştiriliyorsa ivmenin sıfır olmadığını göz önünde bulundur.
• Vektörel sorularda sonucu yazarken yönü de belirt; yalnızca büyüklükle cevap eksik kalır.

İki örnek üzerinde çözüm

İki örnek üzerinde çalışacağız. İlk örnek kuralın temel kullanımını, ikinci örnek ise kuralın zorlayıcı bir durumunu gösterir. Adımları kendin yazmayı dene; ikinci adımda nerede durduğunu görmek, sınavda zaman kazanır.

Örnek 1: Skaler ve Vektörel Ayrımı

Soru: Verilen büyüklüklerden hangileri skaler, hangileri vektöreldir: kütle, kuvvet, sıcaklık, hız, zaman?

1. Adım 1: Her büyüklüğün yön bilgisi taşıyıp taşımadığı sorulur.
2. Adım 2: Kütle, sıcaklık ve zaman için yön bilgisi aranmaz; bunlar skaler sınıftadır.
3. Adım 3: Kuvvet ve hız için yön belirtmek zorunludur; bunlar vektörel sınıftadır.
4. Adım 4: Sonuç, skaler kütle, sıcaklık, zaman; vektörel kuvvet ve hız olarak yazılır.

Cevap: Skaler büyüklükler kütle, sıcaklık ve zaman; vektörel büyüklükler ise kuvvet ve hızdır.