Öznel, Deneysel ve Teorik Olasılık İlişkisi

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Bu derste Öznel, Deneysel ve Teorik Olasılık İlişkisi konusunu önce kuralıyla, sonra sayı üstünde uygulamasıyla göreceğiz. Her adımda "neden böyle yapıyoruz" sorusunu cevaplamak asıl hedeftir; kuralı ezberleyip bırakmak işe yaramaz.

Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:

• Kazanım 1: Öznel, deneysel ve teorik olasılığı tanımlar ve örneklerle ayırt eder.
• Kazanım 2: Deneysel olasılığı uygun olay sayısı ve toplam deneme sayısıyla hesaplar.
• Kazanım 3: Olayların olasılık değer aralığını belirtir ve sıfır ile bir arasında olduğunu gösterir.
• Kazanım 4: Bağımlı ve bağımsız olayları örneklerle ayırt eder.
• Kazanım 5: Deney sayısı arttıkça deneysel olasılığın teorik olasılığa yaklaştığını açıklar.

Ön bilgi: bundan önce gördüğümüz

Bu konu, Kategorik ve Nicel (Kesikli-Sürekli) Veri Dağılımları başlığında öğrendiklerimizin üzerine kurulur. Önceki konudaki kavram burada yeniden kullanılıyor; bu yüzden o adımı atlamamak önemlidir.

• Kategorik ve Nicel (Kesikli-Sürekli) Veri Dağılımları — bağlantı: bu derste yeniden karşımıza çıkacak konu.
• Dik Koordinat Sisteminde Öteleme ve Yansıma Dönüşümü — bağlantı: bu derste yeniden karşımıza çıkacak konu.

1. Olasılığın Temel Kavramları

Bir olayın gerçekleşme derecesini ya da gerçekleşme derecesine ait bir ölçüye olasılık denir. Olasılık, 0 ile 1 arasında bir değer alır. Bir olayın gerçekleşmesi kesin olarak mümkün değilse olasılığı 0, gerçekleşmesi kesin ise olasılığı 1 olarak kabul edilir.

Olayın gerçekleşme derecesi bir sayı ile belirtilir. Örneğin bir zarın altı gelme olasılığı kesin bir bilgidir, bir kişinin sınıf geçme olasılığı ise kesin değildir. Bu nedenle olasılık, kesin olan ile kesin olmayan arasındaki belirsizliği ölçen bir kavramdır.

Bağımlı olay, birinin gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşme olasılığını etkileyen olaydır. Bir top çekildikten sonra torbada kalan top sayısı değiştiği için ikinci topun rengi ilkine bağlıdır. Bağımsız olay ise birinin gerçekleşmesi diğerini etkilemeyen olaydır. Örneğin bir zarı iki kez atıp her seferinde sayı elde etme olayları bağımsızdır.

2. Öznel Olasılık

Öznel olasılık, bir kişinin kendi bilgisine, deneyimine ve tahminine dayanarak verdiği olasılık değeridir. Burada kesin bir hesap yapılmaz; kişinin o olay gerçekleşeceğine ilişkin öznel bir kanıtı vardır.

Bir maç öncesinde bir kişinin kendi takımının kazanma olasılığı için 0,6 demesi öznel olasılığa örnektir. Kişi bu değeri bir hesapla değil, kendi izlenimine dayanarak verir.

3. Deneysel Olasılık

Deneysel olasılık, bir olayın gerçekleşme sayısına bakılarak bulunan olasılıktır. Deney yeterince çok kez tekrarlanırsa deneysel olasılık, gerçek olasılık değerine yaklaşır.

Deneysel olasılık, uygun olay sayısının toplam deneme sayısına bölünmesiyle hesaplanır. Bu değer 1 değerinden küçük, 0 değerinden büyük bir kesir olarak bulunur. Bir madeni para 200 kez atıldığında 96 kez yazı geldiyse yazı gelme olasılığı 96/200 = 0,48 olarak hesaplanır.

Deneme sayısı arttıkça deneysel olasılık, denemenin kendisinde değişmeye devam edebilir ama genel olarak gerçek olasılığa doğru bir yaklaşım gösterir.

4. Teorik Olasılık

Teorik olasılık, deney yapılmadan yalnızca matematiksel hesaplamayla bulunan olasılıktır. Deneysel olasılığın tam sayısal karşılığıdır ve deneme sayısından bağımsızdır.

Dengeli bir zar atıldığında bir sayının gelme olasılığı 1/6 olarak hesaplanır. Bu değer deneysel bir gözleme dayanmaz; deney ne kadar yapılırsa yapılsın sonuç değişmez. Bir zarın çift sayı gelme olasılığı 3/6 = 0,5 olarak bulunur.

5. Üç Olasılık Arasındaki İlişki

Üç olasılık türü birbirinin yerine geçmez; aralarında belirli bir ilişki vardır. Teorik olasılık kesin bir bilgiye dayanır ve deney yapılmadan bulunabilir. Deneysel olasılık ise gerçek deneylerden elde edilen gözlemlere dayanır ve deneme sayısı arttıkça teorik olasılığa yaklaşır.

• Teorik olasılık, deneysel olasılık için bir ölçüt oluşturur.
• Deneysel olasılık, teorik olasılığa yaklaştıkça deneyin güvenilirliği artar.
• Öznel olasılık, kişinin bilgi ve deneyimine dayandığı için ölçülemez bir tahmindir.
• Teorik olasılık ile deneysel olasılık arasındaki fark büyüdükçe deneme sayısı artırılmalıdır.

Günlük hayatta hava durumu tahmini, maç sonucu tahmini gibi konularda öznel olasılık kullanılır. Tüm deneylerde aynı sonucun çıkması beklenen durumlarda ise teorik olasılık kullanılır. Öğrencilerin deney yaparak kendi olasılıklarını oluşturması ise deneysel olasılığa örnektir.

6. Bağımlı ve Bağımsız Olaylar

Bir olayın gerçekleşmesi diğer olayın olasılığını değiştiriyorsa bu iki olay bağımlıdır. Torbadan bir bilye çekilip bilyenin torbaya geri konulmadığı durumda ikinci çekilen bilyenin rengi ilk çekilen bilyeye bağlı olur.

Bir olayın gerçekleşmesi diğerini etkilemiyorsa olaylar bağımsızdır. Bir zarı atıp ardından aynı zarı tekrar atmak, iki olayın sonucunu değiştirmediği için bağımsızdır. Bir madeni para atıldıktan sonra atılmayan başka bir para bağımsızdır.

Olayların bağımlı ya da bağımsız olup olmadığını belirlerken, ilk olay gerçekleştiğinde ikinci olayın koşullarının değişip değişmediğine bakılır.

Özet: Olasılık, 0 ile 1 arasında bir değer alan ve bir olayın gerçekleşme derecesini ölçen büyüklüktür. Öznel olasılık kişinin bilgi ve deneyimine dayanır. Deneysel olasılık, uygun olay sayısının toplam deneme sayısına bölünmesiyle bulunur. Teorik olasılık ise hesapla bulunan kesin değerdir. Deneysel olasılık, deneme sayısı arttıkça teorik olasılığa yaklaşır. Bir olayın gerçekleşmesi diğerini etkiliyorsa olaylar bağımlı, etkilemiyorsa bağımsızdır.

Sık Yapılan Hatalar: Birinci hata, deneysel olasılıkta uygun olay sayısını doğru saymamaktır; olaya uymayan denemeler de toplam deneme sayısına dâhildir. İkinci hata, toplam deneme sayısı yerine yalnızca uygun olay sayısını bölüme yazmaktır. Üçüncü hata, deneme sayısının yeterli olmadığı hâlde deneysel olasılığı teorik olasılıkla aynı kabul etmektir. Dördüncü hata, bilye çekilip torbaya geri konulmadığı hâlde çekilenleri bağımsız saymaktır. Beşinci hata, olasılık değerinin 0 ile 1 arasında olması gerektiğini göz ardı etmektir.

Günlük hayattan bir uygulama

Konuyu pekiştirmek için günlük hayattan bir uygulamaya bakmak gerekir. Aşağıdaki görev, Öznel, Deneysel ve Teorik Olasılık İlişkisi bilgisini gerçek bir işin içinde kullandırmak için hazırlandı; çözerken hangi adımı nerede kullandığımızı not etmek faydalıdır.

Uygulama sorusu: Bir para 300 kez atıldığında 168 kez yazı gelmiştir. Deneysel olasılığı hesaplayınıp teorik olasılıkla karşılaştırınız ve yorumlayınız?

Bu görev için 15 puan dağıtılmıştır; puanlama anahtarı, cevabın hangi adımlarla gösterilmesi gerektiğini ayrıntılı biçimde söyler. Puanlamada işlem sırasının ve sonuç cümlenin ayrı ayrı sayıldığına dikkat et.

Dersi tekrar ederken bakacağınız notlar

• Deneysel olasılıkta önce uygun olayları, sonra tüm denemeleri say ve paydayı ayrı yaz.
• Teorik olasılıkta tüm sonuçların sayısını ve uygun sonuçları ayırt etmeye özen göster.
• Bir olayın gerçekleşmesi diğerini etkiliyorsa bağımlı olduğunu hemen hatırla.
• Öznel olasılıkta kişinin deneyimine dayanan bir tahmin söz konusu olduğunu not et.
• Deneme sayısı ile olasılık arasındaki ilişkiyi soruda verilen sayılarla karşılaştır.

Adım adım çözülmüş örnekler

İki örnek üzerinde çalışacağız. İlk örnek kuralın temel kullanımını, ikinci örnek ise kuralın zorlayıcı bir durumunu gösterir. Adımları kendin yazmayı dene; ikinci adımda nerede durduğunu görmek, sınavda zaman kazanır.

Örnek 1: Deneysel olasılık hesabı

Soru: Bir zar 40 kez atıldığında 5 sayısı 10 kez gelmiştir. 5 sayısının gelme olasılığı nedir?

1. Adım 1: Uygun olay sayısı belirlenir, bu 10'dur.
2. Adım 2: Toplam deneme sayısı belirlenir, bu 40'tır.
3. Adım 3: 10 ÷ 40 = 0,25 hesaplanır.
4. Adım 4: Sonuç 0,25 olarak bulunur.

Cevap: 0,25

Bu örnekte adım sayısını not edin: kural her zaman aynı sayıda işlemle değil, kazanılması gereken bilgiye göre çözülür.

Örnek 2: Teorik ve deneysel karşılaştırması