Kategorik ve Nicel (Kesikli-Sürekli) Veri Dağılımları

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Bu derste Kategorik ve Nicel (Kesikli-Sürekli) Veri Dağılımları konusunu çalışacağız.

Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:

• Kazanım 1: Verileri kategorik ve nicel olarak sınıflandırır ve örnek verir.
• Kazanım 2: Kesikli ve sürekli değişkenleri ayırt ederek günlük hayattan örnek verir.
• Kazanım 3: Veri setinin merkezi eğilimini ortalama, medyan ve mod ile belirler.
• Kazanım 4: Histogram ve kutu grafiklerini okur, uygun grafik türünü seçer.
• Kazanım 5: Aykırı değerlerin yayılım ölçüleri üzerindeki etkisini açıklar.

Ön bilgi: bundan önce gördüğümüz

Bu konunun dayandığı temel Dik Koordinat Sisteminde Öteleme ve Yansıma Dönüşümü başlığıdır. Dik Koordinat Sisteminde Öteleme ve Yansıma Dönüşümü konusunda kazanılan bilgiyi burada yeniden kullanacağız, bu yüzden o konudaki tanım ve çıkarımları hatırlamak işimizi kolaylaştırır.

• Dik Koordinat Sisteminde Öteleme ve Yansıma Dönüşümü — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.
• Pisagor Bağıntısı — bu adımda öğrendiklerimiz bugünkü konunun dayanağı oluyor.

1. Veri Türleri: Kategorik ve Nicel

Bir araştırmada toplanan bilgilerin tamamına veri denir. Veriler niteliklerine göre ikiye ayrılır. Bir veri grubunda yalnızca isim, sıfat ya da kategori bilgisi varsa bu veriler kategorik veri olarak adlandırılır. Bir öğrencinin okuduğu kitap türünü, bir sınıftaki öğrencilerin boylarını isimleriyle ya da ölçülebilir birimle ifade edemeyiz.

Sayısal değerlerle ifade edilen ve ölçülebilen verilere nicel veri denir. Öğrencilerin not ortalamaları, bir aracın aldığı yol, bir sınıftaki öğrenci sayısı nicel verilere örnektir. Bir ölçüm sonucunda elde edilen sayının anlamı taşıdığı için nicel verilerle aritmetik işlem yapılabilir.

2. Kesikli ve Sürekli Değişkenler

Nicel veriler, kesikli ve sürekli değişken olarak ikiye ayrılır. Kesikli değişkenler belirli değerler arasında boşluk bırakarak artar; iki değer arasında başka bir değer alamaz. Bir sınıftaki öğrenci sayısı 24 ise 25 olamaz, bir torpadaki top sayısı 7 ise 7,5 olamaz. Bu nedenle kesikli değişkenler sayılarla gösterilir.

Sürekli değişkenler ise belirli iki değer arasında her değeri alabilir. Bir öğrencinin boyu 152 cm ise 152,3 cm de olabilir. Sürekli değişkenler ölçümle belirlendiği için ondalık değer alabilir. Hız, kütle, sıcaklık ve zaman sürekli değişken örnekleridir.

Bir kütüphaneden alınan kitapların kalınlığı ya da bir yolculukta kat edilen mesafe sürekli değişkendir; alınan kitap sayısı ve seyahat eden kişi sayısı ise kesikli değişkendir.

3. Merkezi Eğilim Ölçüleri

Verilerin toplandığı gruptan çıkarılan sayıya merkezi eğilim denir. Bir veri grubunun hangi değere daha çok yaklaştığını gösterir. En sık kullanılan merkezi eğilim ölçüleri ortalama, medyan ve moddur.

• Ortalama: Verilerin toplamının veri sayısına bölünmesiyle bulunur. Aritmetik işlem gerektirir ve aykırı değerlerden çok etkilenir.
• Medyan: Veriler sıraya konduğunda ortada kalan değerdir. Veri sayısı çift ise ortadaki iki değerin ortalaması alınır.
• Mod: En sık tekrar eden değerdir. Her veri grubunda bulunması zorunlu değildir.

Aykırı değer bulunan bir veri grubunda ortalama gerçek durumu yansıtmayabilir. Örneğin 12, 14, 15, 16, 40 yaşlarının ortalaması 19,4 olur; oysa grubun gerçek merkezi 15 civarındadır. Böyle bir durumda medyan daha güvenilir bir ölçüttür.

4. Yayılım Ölçüleri

Verilerin merkezin çevresine ne kadar yayıldığını gösteren ölçülere yayılım ölçüleri denir. Açıklık, en büyük değer ile en küçük değer arasındaki farktır ve yayılımı en kaba biçimde gösterir. Standart sapma ise verilerin ortalamadan ne kadar saptığını gösteren daha duyarlı bir ölçüdür; veriler ortalamaya yakın toplandıkça standart sapma küçülür.

Açıklığı büyük olan bir veri grubunda veriler geniş bir aralığa yayılmıştır. Bu nedenle merkezi eğilim ölçüsü tek başına yeterli değildir; yayılım ölçüsü de birlikte değerlendirilir.

5. Dağılım Grafikleri

Histogram, sürekli verileri aralıklara bölerek her aralıkta kaç veri bulunduğunu gösteren sütunlu grafiktir. Sütunlar birbirine bitişik çizilir, aralarında boşluk bırakılmaz ve yatay eksende sayı değerleri yer alır. Bu nedenle histogram sürekli veriler için uygundur.

Kutu grafik, bir veri grubunun beş önemli değerini gösterir: en küçük değer, birinci çeyrek, medyan, üçüncü çeyrek ve en büyük değer. Kutu grafik sayesinde verinin merkezi ve yayılımı tek bakışta karşılaştırılabilir.

Grafik seçimi verinin türüne göre yapılmalıdır. Sütun grafik kategorik veriler için, çizgi grafik zamanla değişen veriler için, histogram sürekli veriler için, kutu grafik ise karşılaştırma amacıyla kullanılır. Yanlış grafik seçimi verinin yapısını gizleyerek yorumu zorlaştırır.

Özet: Veriler kategorik ve nicel olmak üzere ikiye ayrılır. Nicel veriler kesikli ya da sürekli değişken olarak ayrılır; kesiklide değerler boşluklu, süreklide ise aralık boyunca değişebilir. Merkezi eğilim ortalama, medyan ve mod ile, yayılım ise açıklık ve standart sapma ile ölçülür. Sürekli veriler histogramla, karşılaştırma kutu grafikle gösterilir.

Sık Yapılan Hatalar: Birinci hata, sayısal görünen her veriyi nicel saymaktır; kan grubu ya da araba rengi gibi sayı kodu taşıyan kategorik veriler nicel değildir. İkinci hata, kesikli ve sürekli değişkenleri karıştırmaktır; ondalık değer alabilen değişkenler süreklidir. Üçüncü hata, medyanı verileri sıralamadan bulmaya çalışmaktır. Dördüncü hata, aykırı değer varken yalnızca ortalamaya bakıp karar vermektir; medyan daha güvenilirdir. Beşinci hata, sürekli veriye sütun grafik ya da kategorik veriye histogram seçmektir.

Günlük hayattan bir uygulama

Şimdi konuyu kendi hayatımızdaki bir duruma uygulayacağız. Kategorik ve Nicel (Kesikli-Sürekli) Veri Dağılımları bilgisi olmadan da bu iş yapılabilir, ama nasıl yapıldığını açıklamak zorlaşır; soru tam da bu açıklamayı istiyor.

Uygulama sorusu: Bir öğrenci kulübüne katılan 12 kişinin yaşlarını, bir okulun 8 şubesiyle ilgili bilgileri inceleyin ve hangi verilerin kategorik, hangilerinin nicel olduğunu gerekçesiyle yazınız?

Bu görev için 15 puan dağıtılmıştır; puanlama anahtarı, cevabın hangi adımlarla gösterilmesi gerektiğini ayrıntılı biçimde söyler. Puanlamada işlem sırasının ve sonuç cümlenin ayrı ayrı sayıldığına dikkat et.

Yararlı ipuçları

• Veriyi sınıflandırırken önce sayının bir ölçüm mü yoksa bir kod mu olduğunu sor.
• Ortalama alırken veri sayısını mutlaka say ve aykırı değer olup olmadığını kontrol et.
• Medyan için verileri önce sıraya koy, veri sayısının tek mi çift mi olduğuna bak.
• Histogramda sütunların bitişik çizildiğine, kutu grafikte beş önemli değere dikkat et.
• Grafik seçerken verinin türünü değil, verilecek mesajı düşünerek karar ver.

İki örnek üzerinde çözüm

İki örnek üzerinde çalışacağız. İlk örnek kuralın temel kullanımını, ikinci örnek ise kuralın zorlayıcı bir durumunu gösterir. Adımları kendin yazmayı dene; ikinci adımda nerede durduğunu görmek, sınavda zaman kazanır.

Örnek 1: Ortalamanın hesaplanması

Soru: 6, 8, 10, 12 ve 14 sayılarının aritmetik ortalaması kaçtır?

1. Adım 1: Sayılar toplanır, 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = 50 bulunur.
2. Adım 2: Veri sayısı olan 5 sayısına bölünür.
3. Adım 3: 50 ÷ 5 = 10 hesaplanır.
4. Adım 4: Ortalama 10 olarak bulunur.

Cevap: 10

Bu örnekte adım sayısını not edin: kural her zaman aynı sayıda işlemle değil, kazanılması gereken bilgiye göre çözülür.

Örnek 2: Medyanın bulunması

Soru: 3, 5, 7, 9, 11 sayılarının medyanı kaçtır?

1. Adım 1: Sayılar küçükten büyüğe sıralanır.
2. Adım 2: Veri sayısı 5 olduğu için üçüncü değer ortadır.
3. Adım 3: Üçüncü değer 7 olarak okunur.
4. Adım 4: Medyan 7 bulunur.

Cevap: 7

Terimler ve aralarındaki fark

Bu derste geçen terimler birbirine yakın durur ve sınavda karıştırılır. Aşağıdaki tabloda her terimin anlamı ve sık karıştırılan karşılığı yan yana verilmiştir.

Kurallar, formüller ve ölçüler

Bu konunun dayandığı kurallar aşağıdadır. Tabloyu ezberlemek değil, kuralın hangi soruda işe yaradığını görmek esastır.

Yukarıdaki ölçülerin arkasındaki kural ve formüller şunlardır:

Hangi hatalara dikkat edelim?

Bu konudaki tipik hataları gözden geçirmek, tekrar hata yapmayı en hızlı azaltan yoldur. Her hatanın gerekçesi yazılmıştır.

• Sayı kodu taşıyan verileri nicel saymak: Kan grubu, araba rengi ya da posta kodu gibi veriler sayı biçiminde kodlanmış olsa da ölçüm sonucu değildir. Bunlar kategorik veri grubunda değerlendirilir.
• Kesikli değişkenlerde ondalık değer aramak: Kesikli değişkenlerin değerleri arasında boşluk vardır, 7 olamayan bir değer 7,5 de olamaz. Buna karşılık sürekli değişkenlerde ondalık değerler alınabilir.
• Medyanı sıralamadan hesaplamak: Medyan yalnızca veriler küçükten büyüğe sıralandıktan sonra bulunabilir. Sıralama yapılmadan ortadaki değer okunamaz.
• Aykırı değer varken yalnızca ortalamayı değerlendirmek: Uç değerler ortalamayı gerçek dağılımdan uzaklaştırır. Bu tür gruplarda medyan, ortalamaya göre daha güvenilir bir merkez ölçüsüdür.
• Veri türüne uygun olmayan grafik seçmek: Sürekli veriler için histogram, kategorik veriler için sütun grafik kullanılmalıdır. Veri türü ile grafik türü eşleşmediğinde grafik yanıltıcı bir görünüm alır.

Bu dersten akılda kalması gerekenler

Kısaca: Veriler ölçülebilir olup olmadıklarına göre kategorik ve nicel olarak ayrılır. Yalnızca nitelik belirten, ölçülemez bilgiler kategorik veridir; sayısal ve ölçülebilen bilgiler nicel veridir. Sayı kodu taşıyan durumlar kategorik veri sayılır. Nicel veriler, iki değer arasında boşluk bırakıp bırakmadıklarına göre kesikli ve sürekli değişken olarak incelenir. Kesikli değişkenlerin değerleri sayılarla ve sınırlı seçeneklerle ifade edilir, sürekli değişkenler ise ölçüm sonucu ortaya çıkar ve ondalık değer alabilir. Ver…

Sınav öncesi şu maddeleri tekrar etmek yeterli olacaktır:

• Kategorik veri ölçülemez, nicel veri sayısal ve ölçülebilir biçimdedir.
• Sayı kodu taşıyan veriler kategorik sayılır, nicel verilere dönüştürülmez.
• Kesikli değişkenler iki değer arasında yeni bir değer alamaz.
• Sürekli değişkenler ölçüm sonucu ortaya çıkar ve ondalık değer alabilir.
• Aykırı değerler ortalamayı belirgin biçimde etkiler, medyanı daha az etkiler.
• Açıklık yayılımı göstermek için kullanılan en basit ölçüdür.
• Histogram sürekli veriler için, sütun grafik kategorik veriler için kullanılır.
• Kutu grafik verilerin beş önemli değerini birlikte gösterir.

Kontrol soruları

Kendi kendine dene: çözümü sen yaz, sonra anahtarla karşılaştır. Doğru yaptığın soruların altını çizmek, sınav öncesi hızlı tekrar sağlar.

1. Verilerin çoğu ortalamaya yakın toplandığında açıklık ile standart sapma arasında nasıl bir ilişki beklenir? (Şıklar: Açıklık büyük, standart sapma büyüktür · Açıklık sıfıra yakın, standart sapma çok büyüktür · İkisi de aynı değeri gösterir · Açıklık küçük, standart sapma küçüktür)
2. Bir veri grubunda medyan ile ortalama arasında büyük fark olmasının nedeni ne olabilir? (Şıklar: Veri sayısının çok fazla olması · Verilerin tamamının aynı değerde olması · Verilerin yalnızca tam sayı olması · Grupta aykırı değer bulunması)
3. Aşağıdakilerden hangisi sürekli değişken örneğidir? (Şıklar: Bir öğrencinin boyu · Bir torbadaki top sayısı · Bir evdeki oda sayısı · Bir sınıftaki öğrenci sayısı)

Cevap anahtarı: 1) Açıklık küçük, standart sapma küçüktür — Veriler sıkı bir aralıkta toplandığında hem en büyük ile en küçük değer farkı hem de ortalamadan sapma azdır. Bu nedenle açıklık küçük, standart sapma küçüktür.

2) Grupta aykırı değer bulunması — Medyan yalnızca ortadaki değerleri kullandığı için uç değerlerden etkilenmez. Ortalama ise aykırı değerlerden çok etkilendiğinden grupta aykırı değer bulunması iki ölçü arasındaki farkı büyütür.

3) Bir öğrencinin boyu — Bir öğrencinin boyu ölçümle belirlenir ve 152 cm ile 152,3 cm gibi ara değerler alabilir. Bu nedenle sürekli değişken örneğidir.

Komşu konular

Bu konuyu öğrenmek şu başlıkları da kolaylaştırır. Aynı üniteden ve sonraki üniteden ikişer konu seçtik:

• Öznel, Deneysel ve Teorik Olasılık İlişkisi — aynı ünitede, bir sonraki adım.

Kaynak ve doğruluk notu

Bu konuda ölçü, birim ve kural iddiaları hesapla doğrulanmıştır. Kategorik ve Nicel (Kesikli-Sürekli) Veri Dağılımları için kullanılan her kural, konunun kendi örneklerinde gösterilerek verilmiştir; anlatım kendi ifadelerimizle yeniden düzenlenmiştir.

Ayrıca derste şu açık uçlu görevler yer alıyor; her biri puanlıdır ve kendi cevabını yazmanı ister:

• Bir öğrenci kulübüne katılan 12 kişinin yaşlarını, bir okulun 8 şubesiyle ilgili bilgileri inceleyin ve hangi verilerin kategorik, hangilerinin nicel olduğunu gerekçesiyle yazınız? (15 puan)
• 4, 8, 10, 11, 12, 13, 30 sayıları için ortalama, medyan, mod ve açıklığı hesaplayınız, sonuçları yorumlayınız? (20 puan)
• Bir sınıfta boy ölçümleri yapılmıştır. Hangi grafik türünün seçileceğini, seçiminizi gerekçelendirerek yazınız? (10 puan)

İleri Örnek: Veriye Bakıp Dağılımın Sahte Bir Genellemesini Yakalamak

Veri okuma bölümünde merkezî ölçüleri öğrendik. İleri düzeyde asıl beceri şudur: bir veri kümesinden çıkarılan yargının veriyle gerçekten örtüşüp örtüşmediğini denetleyebilmek. Çünkü ortalama tek başına yeterli değildir; ortalama aynı olan iki farklı veri kümesi çok farklı davranabilir.

Elimizde bir sınıfın arkadaşlık sayıları olsun: 4, 7, 7, 9, 13.

• Aritmetik ortalama: Toplam 4 + 7 + 7 + 9 + 13 = 40. Beş sayı olduğuna göre 40: 5 = 8.
• Medyan: Sayılar zaten küçükten büyüğe sıralı. Ortadaki üçüncü sayı 7'dir.
• Tepe değer: 7 iki kez geçtiği için tepe değer 7'dir.

Şimdi aynı ortalamayı taşıyan ama çok farklı dağılım gösteren ikinci bir küme alalım: 0, 4, 8, 12, 16. Toplam 40, ortalama yine 8. Medyan 8, tepe değer ise yoktur çünkü hiçbir sayı iki kez geçmiyor.

Tablo üç yargıya izin verir. Birincisi, aynı ortalama farklı yayılımlara işaret edebilir: ilk kümede değerler 4 ile 13 arasında sıkışmışken üçüncü kümede 2 ile 14 arasına daha yayılmıştır. İkincisi, medyan ortalamadan küçükse (7 < 8) verinin uçlarında ortalamayı yukarı çeken yüksek değerler vardır; 13 sayısı tam olarak bunu yapar. Üçüncüsü, tepe değeri olmayan kümede veri düzenli dağılmıştır; tepe değeri olan kümede ise bazı değerler tekrar eder.

Bu gözlemler doğrudan bir denetim kuralı verir: yayılan bir yargıyı sınarken ortalama tek başına yeterli değildir; medyan ve yayılım bilgisi de aranmalıdır. Örneğin bir sınıfın not ortalamasının 70 olduğu söyleniyorsa, tek başına bu bilgi sınıfın düzensiz olduğunu göstermez. Dağılımın genişliği bilinmeden bir sınıfın diğerine göre daha başarılı olduğu ya da olmadığı söylenemez.

Veri türü ayrımı da bu noktada işe yarar. Yukarıdaki arkadaşlık sayıları kesikli veridir: kişi sayısı 0, 1, 2, 4, 7 gibi tam sayılarla ifade edilir ve 4,5 kişi diye bir durum olamaz. Buna karşılık bir öğrencinin çalışma süresi ya da bir aracın aldığı yol sürekli veridir; 4,3 saat ya da 12,7 km gibi değerler alabilir. İkisinin ortalama ve medyan hesabı görünürde aynı olsa da uygulamada seçim farklıdır: sürekli veride aralık verilir, kesikli veride sayım yapılır.

Aralık verilen sürekli veride tepe değeri aranmaz, onun yerine en çok yinelenen aralık belirtilir. Örneğin bir sınıfın günlük çalışma süreleri 0–1 saat, 1–2 saat, 2–3 saat aralıklarında toplanmışsa, en yüksek sütun hangi aralıktaysa dağılımın merkezi o aralıktır. Aralıkların genişliği eşit olmadığında sütun grafikleri görsel olarak yanıltıcı olabilir; bu yüzden eksen ölçeği mutlaka yazılmalıdır.

Son bir kontrol ile bitirelim: ilk kümenin ortalaması 8, medyanı 7'dir. Medyan ortalamadan küçük olduğu için, uçlardaki büyük değerlerin ortalamayı yukarı çektiği sonucuna varabiliriz. Gerçekten 13'ü çıkarsak geriye 4, 7, 7, 9 kalır; bunların ortalaması 27: 4 = 6,75 olur ve medyan (7 + 7): 2 = 7 olur. Yani tek bir uç değer (13) ortalamayı 6,75'ten 8'e çıkarmış, medyanı ise değiştirmemiştir. Bu, ortalama ile medyan arasındaki farkın somut bir kanıtıdır.

Adım Adım Çözülmüş Örnek

Örnek 1: Ortalamanın hesaplanması konusunun adımları:

1. Adım 1: Sayılar toplanır, 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = 50 bulunur.
2. Adım 2: Veri sayısı olan 5 sayısına bölünür.
3. Adım 3: 50 ÷ 5 = 10 hesaplanır.
4. Adım 4: Ortalama 10 olarak bulunur.

Karşılaştırma Tablosu

Kendini Dene

Soru: Bir öğrenci kulübüne katılan 12 kişinin yaşlarını, bir okulun 8 şubesiyle ilgili bilgileri inceleyin ve hangi verilerin kategorik, hangilerinin nicel olduğunu gerekçesiyle yazınız?

Örnek cevap: Puanlama anahtarı: yaşların sayısal ve ölçülebilir olduğunun gerekçeyle belirtilmesi 4 puan; şube bilgisinin yalnızca kategori bildirdiğinin açıklanması 4 puan; yaşların kesikli değişken, sınıf mevcudunun da kesikli değişken sayılabileceğinin eklenmesi 4 puan; sınıflandırma için kullanılan ölçütin net biçimde yazılması 2 puan; birim ve düzen 1 puan. Toplam 15 puan.