Öznel, Deneysel ve Teorik Olasılık İlişkisi

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Bu derste Öznel, Deneysel ve Teorik Olasılık İlişkisi konusunu önce kuralıyla, sonra sayı üstünde uygulamasıyla göreceğiz. Her adımda "neden böyle yapıyoruz" sorusunu cevaplamak asıl hedeftir; kuralı ezberleyip bırakmak işe yaramaz.

Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:

• Kazanım 1: Öznel, deneysel ve teorik olasılığı tanımlar ve örneklerle ayırt eder.
• Kazanım 2: Deneysel olasılığı uygun olay sayısı ve toplam deneme sayısıyla hesaplar.
• Kazanım 3: Olayların olasılık değer aralığını belirtir ve sıfır ile bir arasında olduğunu gösterir.
• Kazanım 4: Bağımlı ve bağımsız olayları örneklerle ayırt eder.
• Kazanım 5: Deney sayısı arttıkça deneysel olasılığın teorik olasılığa yaklaştığını açıklar.

Ön bilgi: bundan önce gördüğümüz

Bu konu, Kategorik ve Nicel (Kesikli-Sürekli) Veri Dağılımları başlığında öğrendiklerimizin üzerine kurulur. Önceki konudaki kavram burada yeniden kullanılıyor; bu yüzden o adımı atlamamak önemlidir.

• Kategorik ve Nicel (Kesikli-Sürekli) Veri Dağılımları — bağlantı: bu derste yeniden karşımıza çıkacak konu.
• Dik Koordinat Sisteminde Öteleme ve Yansıma Dönüşümü — bağlantı: bu derste yeniden karşımıza çıkacak konu.

1. Olasılığın Temel Kavramları

Bir olayın gerçekleşme derecesini ya da gerçekleşme derecesine ait bir ölçüye olasılık denir. Olasılık, 0 ile 1 arasında bir değer alır. Bir olayın gerçekleşmesi kesin olarak mümkün değilse olasılığı 0, gerçekleşmesi kesin ise olasılığı 1 olarak kabul edilir.

Olayın gerçekleşme derecesi bir sayı ile belirtilir. Örneğin bir zarın altı gelme olasılığı kesin bir bilgidir, bir kişinin sınıf geçme olasılığı ise kesin değildir. Bu nedenle olasılık, kesin olan ile kesin olmayan arasındaki belirsizliği ölçen bir kavramdır.

Bağımlı olay, birinin gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşme olasılığını etkileyen olaydır. Bir top çekildikten sonra torbada kalan top sayısı değiştiği için ikinci topun rengi ilkine bağlıdır. Bağımsız olay ise birinin gerçekleşmesi diğerini etkilemeyen olaydır. Örneğin bir zarı iki kez atıp her seferinde sayı elde etme olayları bağımsızdır.

2. Öznel Olasılık

Öznel olasılık, bir kişinin kendi bilgisine, deneyimine ve tahminine dayanarak verdiği olasılık değeridir. Burada kesin bir hesap yapılmaz; kişinin o olay gerçekleşeceğine ilişkin öznel bir kanıtı vardır.

Bir maç öncesinde bir kişinin kendi takımının kazanma olasılığı için 0,6 demesi öznel olasılığa örnektir. Kişi bu değeri bir hesapla değil, kendi izlenimine dayanarak verir.

3. Deneysel Olasılık

Deneysel olasılık, bir olayın gerçekleşme sayısına bakılarak bulunan olasılıktır. Deney yeterince çok kez tekrarlanırsa deneysel olasılık, gerçek olasılık değerine yaklaşır.

Deneysel olasılık, uygun olay sayısının toplam deneme sayısına bölünmesiyle hesaplanır. Bu değer 1 değerinden küçük, 0 değerinden büyük bir kesir olarak bulunur. Bir madeni para 200 kez atıldığında 96 kez yazı geldiyse yazı gelme olasılığı 96/200 = 0,48 olarak hesaplanır.

Deneme sayısı arttıkça deneysel olasılık, denemenin kendisinde değişmeye devam edebilir ama genel olarak gerçek olasılığa doğru bir yaklaşım gösterir.

4. Teorik Olasılık

Teorik olasılık, deney yapılmadan yalnızca matematiksel hesaplamayla bulunan olasılıktır. Deneysel olasılığın tam sayısal karşılığıdır ve deneme sayısından bağımsızdır.

Dengeli bir zar atıldığında bir sayının gelme olasılığı 1/6 olarak hesaplanır. Bu değer deneysel bir gözleme dayanmaz; deney ne kadar yapılırsa yapılsın sonuç değişmez. Bir zarın çift sayı gelme olasılığı 3/6 = 0,5 olarak bulunur.

5. Üç Olasılık Arasındaki İlişki

Üç olasılık türü birbirinin yerine geçmez; aralarında belirli bir ilişki vardır. Teorik olasılık kesin bir bilgiye dayanır ve deney yapılmadan bulunabilir. Deneysel olasılık ise gerçek deneylerden elde edilen gözlemlere dayanır ve deneme sayısı arttıkça teorik olasılığa yaklaşır.

• Teorik olasılık, deneysel olasılık için bir ölçüt oluşturur.
• Deneysel olasılık, teorik olasılığa yaklaştıkça deneyin güvenilirliği artar.
• Öznel olasılık, kişinin bilgi ve deneyimine dayandığı için ölçülemez bir tahmindir.
• Teorik olasılık ile deneysel olasılık arasındaki fark büyüdükçe deneme sayısı artırılmalıdır.

Günlük hayatta hava durumu tahmini, maç sonucu tahmini gibi konularda öznel olasılık kullanılır. Tüm deneylerde aynı sonucun çıkması beklenen durumlarda ise teorik olasılık kullanılır. Öğrencilerin deney yaparak kendi olasılıklarını oluşturması ise deneysel olasılığa örnektir.

6. Bağımlı ve Bağımsız Olaylar

Bir olayın gerçekleşmesi diğer olayın olasılığını değiştiriyorsa bu iki olay bağımlıdır. Torbadan bir bilye çekilip bilyenin torbaya geri konulmadığı durumda ikinci çekilen bilyenin rengi ilk çekilen bilyeye bağlı olur.

Bir olayın gerçekleşmesi diğerini etkilemiyorsa olaylar bağımsızdır. Bir zarı atıp ardından aynı zarı tekrar atmak, iki olayın sonucunu değiştirmediği için bağımsızdır. Bir madeni para atıldıktan sonra atılmayan başka bir para bağımsızdır.

Olayların bağımlı ya da bağımsız olup olmadığını belirlerken, ilk olay gerçekleştiğinde ikinci olayın koşullarının değişip değişmediğine bakılır.

Özet: Olasılık, 0 ile 1 arasında bir değer alan ve bir olayın gerçekleşme derecesini ölçen büyüklüktür. Öznel olasılık kişinin bilgi ve deneyimine dayanır. Deneysel olasılık, uygun olay sayısının toplam deneme sayısına bölünmesiyle bulunur. Teorik olasılık ise hesapla bulunan kesin değerdir. Deneysel olasılık, deneme sayısı arttıkça teorik olasılığa yaklaşır. Bir olayın gerçekleşmesi diğerini etkiliyorsa olaylar bağımlı, etkilemiyorsa bağımsızdır.

Sık Yapılan Hatalar: Birinci hata, deneysel olasılıkta uygun olay sayısını doğru saymamaktır; olaya uymayan denemeler de toplam deneme sayısına dâhildir. İkinci hata, toplam deneme sayısı yerine yalnızca uygun olay sayısını bölüme yazmaktır. Üçüncü hata, deneme sayısının yeterli olmadığı hâlde deneysel olasılığı teorik olasılıkla aynı kabul etmektir. Dördüncü hata, bilye çekilip torbaya geri konulmadığı hâlde çekilenleri bağımsız saymaktır. Beşinci hata, olasılık değerinin 0 ile 1 arasında olması gerektiğini göz ardı etmektir.

Günlük hayattan bir uygulama

Konuyu pekiştirmek için günlük hayattan bir uygulamaya bakmak gerekir. Aşağıdaki görev, Öznel, Deneysel ve Teorik Olasılık İlişkisi bilgisini gerçek bir işin içinde kullandırmak için hazırlandı; çözerken hangi adımı nerede kullandığımızı not etmek faydalıdır.

Uygulama sorusu: Bir para 300 kez atıldığında 168 kez yazı gelmiştir. Deneysel olasılığı hesaplayınıp teorik olasılıkla karşılaştırınız ve yorumlayınız?

Bu görev için 15 puan dağıtılmıştır; puanlama anahtarı, cevabın hangi adımlarla gösterilmesi gerektiğini ayrıntılı biçimde söyler. Puanlamada işlem sırasının ve sonuç cümlenin ayrı ayrı sayıldığına dikkat et.

Dersi tekrar ederken bakacağınız notlar

• Deneysel olasılıkta önce uygun olayları, sonra tüm denemeleri say ve paydayı ayrı yaz.
• Teorik olasılıkta tüm sonuçların sayısını ve uygun sonuçları ayırt etmeye özen göster.
• Bir olayın gerçekleşmesi diğerini etkiliyorsa bağımlı olduğunu hemen hatırla.
• Öznel olasılıkta kişinin deneyimine dayanan bir tahmin söz konusu olduğunu not et.
• Deneme sayısı ile olasılık arasındaki ilişkiyi soruda verilen sayılarla karşılaştır.

Adım adım çözülmüş örnekler

İki örnek üzerinde çalışacağız. İlk örnek kuralın temel kullanımını, ikinci örnek ise kuralın zorlayıcı bir durumunu gösterir. Adımları kendin yazmayı dene; ikinci adımda nerede durduğunu görmek, sınavda zaman kazanır.

Örnek 1: Deneysel olasılık hesabı

Soru: Bir zar 40 kez atıldığında 5 sayısı 10 kez gelmiştir. 5 sayısının gelme olasılığı nedir?

1. Adım 1: Uygun olay sayısı belirlenir, bu 10'dur.
2. Adım 2: Toplam deneme sayısı belirlenir, bu 40'tır.
3. Adım 3: 10 ÷ 40 = 0,25 hesaplanır.
4. Adım 4: Sonuç 0,25 olarak bulunur.

Cevap: 0,25

Bu örnekte adım sayısını not edin: kural her zaman aynı sayıda işlemle değil, kazanılması gereken bilgiye göre çözülür.

Örnek 2: Teorik ve deneysel karşılaştırması

Soru: Bir madeni para 100 kez atıldığında 52 kez yazı gelmiştir. Yazı gelme olasılığı nedir ve bu değer teorik değerle nasıl karşılaştırılır?

1. Adım 1: Uygun olay sayısı 52, toplam deneme sayısı 100'dür.
2. Adım 2: 52 ÷ 100 = 0,52 hesaplanır.
3. Adım 3: Teorik olasılık 1/2 = 0,5 olarak bulunur.
4. Adım 4: Deneysel değer 0,52 teorik değere çok yakındır.

Cevap: Deneysel olasılık 0,52, teorik olasılık 0,5

Kavram karşılaştırma tablosu

Bu derste geçen terimler birbirine yakın durur ve sınavda karıştırılır. Aşağıdaki tabloda her terimin anlamı ve sık karıştırılan karşılığı yan yana verilmiştir.

Kural, formül ve ölçü tablosu

Aşağıdaki tablo bu konudaki kuralları tek bakışta toplar. Karar verirken önce bu tabloya bakmak, kuralı hatırlamakta işe yarar.

Sık Yapılan Hatalar

Aşağıdaki hatalar bu konuda en sık görülenlerdir. Her biri için önce hatanın kendisi, sonra neden yanlış olduğu ve doğrusu anlatılmıştır.

• Deneysel olasılıkta payda yerine uygun olay sayısını yazmak: Formülde payda her zaman toplam deneme sayısıdır. Olayın gerçekleşmediği denemeler de toplam sayıya dâhildir ve paydaya yazılır.
• Toplam deneme sayısını hatalı saymak: Toplam deneme sayısı, deneyin bütün denemelerini kapsar. Uygun olay ile uygun olmayan olayların toplamı bu sayıyı verir.
• Az sayıda denemeyle teorik olasılığa ulaşıldığını sanmak: Deneme sayısı azken deneysel olasılık teorik değerden uzaklaşabilir. Yaklaşmak için deneme sayısının yeterince büyük olması gerekir.
• Toplama yapmadan bilye çekme olaylarını bağımsız saymak: Çekilen bilye torbaya geri konulmazsa torbanın içeriği değişir ve ikinci çekilişin olasılığı da değişir. Bu durumda olaylar bağımlıdır.
• Olasılık değerinin 0 ile 1 arasında olması gerektiğini göz ardı etmek: Bir olayın olasılığı 1'den büyük ya da 0'dan küçük olamaz. Hesaplanan değer bu aralığın dışındaysa hesap hatalıdır.

Özet

Kısaca: Olasılık, bir olayın gerçekleşme derecesini ölçen ve 0 ile 1 arasında değer alan bir büyüklüktür. Kesin olarak gerçekleşmeyen bir olayın olasılığı 0, kesin olarak gerçekleşen bir olayın olasılığı 1 kabul edilir. Öznel olasılık, bir kişinin kendi bilgisi ve deneyimine dayanarak verdiği tahmindir ve matematiksel bir hesap içermez. Deneysel olasılık, deney sonucunda uygun olay sayısının toplam deneme sayısına bölünmesiyle bulunur. Teorik olasılık ise yalnızca hesaplamayla elde edilen kesin değerdir. Deneme sayısı art…

Derste gördüğümüz ana fikirler şunlar:

• Olasılık değeri 0 ile 1 arasındadır ve 0,5 orta değerdir.
• Deneysel olasılıkta pay uygun olay sayısı, payda toplam deneme sayısıdır.
• Deneme sayısı arttıkça deneysel olasılık teorik olasılığa yaklaşır.
• Teorik olasılık deney yapılmadan hesaplanan kesin değerdir.
• Öznel olasılık kişinin bilgisine ve deneyimine dayanan tahmindir.
• Bağımlı olayda birinin gerçekleşmesi diğerinin olasılığını değiştirir.
• Bağımsız olayda bir olayın sonucu diğerini etkilemez.
• Bilye torbaya geri konulmadığında çekilenler bağımlı olur.

Kendini dene

Aşağıdaki sorular konunun farklı yönlerini yoklar. Önce kendin çöz, sonra cevap anahtarına bak; eğer bir soruyu yanlış yaptıysan yukarıdaki ilgili bölüme geri dön.

1. Torbanın içinde 5 kırmızı, 4 yeşil ve 3 mavi top vardır. Üç top çekilecektir. Topların renklerinin sırasıyla kırmızı, yeşil ve mavi olma olasılığı nedir? (Şıklar: 60/1440 · 12/144 · 1/12 · 1/24)
2. Teorik olasılık ile deneysel olasılık arasındaki farkın en iyi açıklandığı ifade hangisidir? (Şıklar: Teorik olasılık kişisel bir yorumdur · Teorik olasılık hesapla, deneysel olasılık gözlemle bulunur · Teorik olasılık daima gözleme dayanır · Deneysel olasılık daima hesapla bulunur)
3. Deneysel olasılık nasıl hesaplanır? (Şıklar: Uygun olay sayısı bölü toplam deneme sayısı · Uygun olay sayısı eksi toplam deneme sayısı · Toplam deneme sayısı bölü uygun olay sayısı · Toplam deneme sayısı eksi uygun olay sayısı)

Cevap anahtarı: 1) 60/1440 — Toplam top sayısı 5 + 4 + 3 = 12'dir. Sırasıyla renklerin olasılıkları 5/12, 4/11 ve 3/10 olduğundan çarpım 5 × 4 × 3 ÷ (12 × 11 × 10) = 60/1440 olarak bulunur.

2) Teorik olasılık hesapla, deneysel olasılık gözlemle bulunur — Teorik olasılık hesapla, deneysel olasılık gözlemle bulunur. Teorik olasılık deney gerektirmez, deneysel olasılık ise gerçek deneylere dayanır.

3) Uygun olay sayısı bölü toplam deneme sayısı — Formül uygun olay sayısı bölü toplam deneme sayısı biçimindedir. Bu değer 1 değerinden küçük ve 0 değerinden büyük bir kesir olarak bulunur.

Kaynak notu

Bu derste Öznel, Deneysel ve Teorik Olasılık İlişkisi konusu için kullanılan sayısal değerlerin tamamı adım adım gösterilerek hesaplandı; yaklaşık değer gereken yerde yaklaşık ifadesi açıkça yazıldı. Bu anlatım başka bir kitaptan cümle aktarmadan, konunun tanım ve kural düzeni yeniden yazılarak hazırlandı.

Ayrıca derste şu açık uçlu görevler yer alıyor; her biri puanlıdır ve kendi cevabını yazmanı ister:

• Bir para 300 kez atıldığında 168 kez yazı gelmiştir. Deneysel olasılığı hesaplayınıp teorik olasılıkla karşılaştırınız ve yorumlayınız? (15 puan)
• Torbanın içinde 4 kırmızı, 3 mavi ve 1 yeşil top vardır. İki top çekilecektir. Toplardan biri torbaya geri konulursa ve konulmazsa çekilişlerin bağımlılık durumunu gerekçesiyle açıklayınız? (20 puan)
• Öznel, deneysel ve teorik olasılık kavramlarını kendi cümlelerinizle tanımlayarak her birine birer örnek veriniz? (15 puan)

İleri Örnek

Daha ileri bir uygulama:

Soru: Bir zar atılıp sonucu not ediliyor, ardından aynı zar tekrar atılıyor. Bu iki olay bağımlı mıdır?

1. Adım 1: İlk atışın sonucu not edilir.
2. Adım 2: İkinci atışta torbanın ya da zarın durumu değişmez.
3. Adım 3: İlk sonuç ikinci sonucun olasılığını etkilemez.
4. Adım 4: Olaylar bağımsızdır.

Sonuç/cevap: Bağımsız olaylardır