Doğrusal Fonksiyonların Grafikleri

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Bu derste Doğrusal Fonksiyonların Grafikleri konusunu çalışacağız.

Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:

• Kazanım 1: Doğrusal bir fonksiyonun grafiğini iki nokta yardımıyla doğru çizebilecek.
• Kazanım 2: Eğim ile grafiğin yukarı aşağı yönlü hareketi arasında ilişki kurabilecek.
• Kazanım 3: Bir doğrunun eksenlerle kesiştiği noktaları belirleyebilecek.
• Kazanım 4: Paralel doğruların eğimlerinin eşit olduğunu çıkarabilir ve uygulayabilecek.
• Kazanım 5: Tablo, grafik ve denklem temsilleri arasında dönüşüm yapabilecek.

Ön bilgi: bundan önce gördüğümüz

Bu derste Doğrusal İlişkiden Doğrusal Fonksiyonlara konusunu hatırlayarak ilerliyoruz. İki konu arasındaki bağı kurmak, ayrı ayrı ezberlemekten daha kalıcı bir öğrenme sağlar.

• Doğrusal İlişkiden Doğrusal Fonksiyonlara — bu adımda öğrendiklerimiz bugünkü konunun dayanağı oluyor.
• Doğrusal Fonksiyonlar ve Dik Koordinat Sistemi — ön bilgi: bu başlıktaki tanımları hatırlamamız gerekiyor.

Grafik Çiziminin Temel Kuralları

Doğrusal bir fonksiyonun grafiği düz bir çizgidir. Düz bir doğru çizmek için iki nokta yeterlidir, çünkü iki nokta belirlendiğinde o noktalardan geçen tek bir doğru vardır. Bu nedenle grafik çizme sorularında önce iki uygun nokta bulunur, sonra doğru çizilir.

• Doğrunun y eksenini kestiği nokta, b sabit teriminin değeridir ve (0, b) şeklinde yazılır.
• x eksenini kesen noktada y koordinatı sıfırdır; bu nokta bulunurken b = 0 olacak biçimde x aranır.
• Grafik çiziminde ölçek seçimi önemlidir; eğim büyükse dikey eksen uygun biçimde sıklaştırılabilir.

Eğim ve Grafiğin Yönü

Eğim, birim x artışına karşılık gelen y değişimidir ve grafikten bakılarak da anlaşılabilir. Eğim pozitifse doğru sol alttan sağ üste yükselir, eğim negatifse sağ üstten sol alta iner, eğim sıfırsa doğru yataydır. Eğim büyüdükçe doğru dikleşir ve x ekseniyle yaptığı açı küçülür.

Tablo ve grafik arasında şu bağ vardır: doğrunun grafiğinde eğimi okuyabilmek için yatayda eşit uzunlukta iki nokta seçilir ve yatay değişim ile dikey değişim karşılaştırılır.

Eksenlerle Kesişim Noktaları

Bir doğru iki ekseni ya da bir ekseni keser. Sabit terimi sıfır olan doğrular orijinden geçer ve her iki eksenle aynı noktada kesişir. Örneğin y = 2x doğrusu x eksenini 0 noktasında, y eksenini 0 noktasında keser; bu nedenle tek bir kesişim noktası vardır.

Paralel ve Kesişen Doğrular

Paralel doğrular düzlemde hiçbir noktada kesişmez ve eğimleri birbirine eşittir. Aynı eğime sahip iki doğrunun grafikleri birbirine paraleldir; sabit terimleri farklıysa aralarında sabit bir dikey uzaklık bulunur. Kesişen doğrular ise farklı eğime sahiptir ve tam olarak bir noktada buluşurlar.

Tablo, Grafik ve Denklem Arasındaki Geçiş

Doğrusal bir ilişki üç biçimde temsil edilebilir: tablo, grafik ve denklem. Tablodan grafik çizilirken her sayı çifti bir noktaya karşılık gelir. Grafikten katsayı bulunurken eğim ve y eksenindeki kesim noktası okunur. Böylece üç temsil birbirine kolayca dönüştürülebilir.

Özet — Doğrusal fonksiyonların grafikleri düz çizgilerdir ve iki nokta ile çizilir. Eğim pozitifse doğru yukarı, negatifse aşağı yönde gider, sıfırsa doğru yataydır. Doğru y eksenini (0, b) noktasında, x eksenini ise y = 0 denklemi çözülerek bulunan noktada keser. Paralel doğruların eğimleri eşittir. Tablo, grafik ve denklem aynı ilişkinin üç temsilidir.

Sık Yapılan Hatalar — Grafiği doğru yerine kırık çizmek doğrusal fonksiyonlar için en sık hatadır; grafik daima düzdür. Eğimi grafikten okurken yalnızca bir noktaya bakıp yatay değişimi göz ardı etmek de yanlıştır. Ayrıca x ekseniyle kesişim noktasını bulurken y = 0 yerine x = 0 yazmak sık yapılan bir dikkatsizliktir.

Günlük hayattan bir uygulama

Şimdi konuyu kendi hayatımızdaki bir duruma uygulayacağız. Doğrusal Fonksiyonların Grafikleri bilgisi olmadan da bu iş yapılabilir, ama nasıl yapıldığını açıklamak zorlaşır; soru tam da bu açıklamayı istiyor.

Uygulama sorusu: y = 3x − 2 doğrusunun grafiğini kağıt üzerinde çizip y ekseni ve x ekseniyle kesişim noktalarını işaretleyerek bulunuz.

Bu görev için 15 puan dağıtılmıştır; puanlama anahtarı, cevabın hangi adımlarla gösterilmesi gerektiğini ayrıntılı biçimde söyler. Puanlamada işlem sırasının ve sonuç cümlenin ayrı ayrı sayıldığına dikkat et.

Hızlı hatırlatma

• Grafik çizerken önce y eksenindeki kesim noktasını işaretle, sonra ikinci noktayı seç; doğru daha çabuk çıkar.
• Eğimi grafikten okurken yatayda iki birimlik bir aralık seç; böylece dikey değişimi iki birime bölersin.
• X ekseninde kesişim sorusunda önce y = 0 yaz, sonra denklemi çöz.
• Doğruların ilişkisini soran sorularda önce eğimleri karşılaştır, sonra kesişip kesişmediklerine bak.
• Grafiğin yönünü anlatırken soldan sağa doğru hareketi esas al; bu yön eğimin işaretini verir.

İki örnek üzerinde çözüm

İki örnek üzerinde çalışacağız. İlk örnek kuralın temel kullanımını, ikinci örnek ise kuralın zorlayıcı bir durumunu gösterir. Adımları kendin yazmayı dene; ikinci adımda nerede durduğunu görmek, sınavda zaman kazanır.

Örnek 1: Grafik Çizme

Soru: y = 2x + 1 doğrusunun grafiğini çizmek için uygun iki nokta bulunuz.

1. Adım 1: Y eksenindeki kesim noktası bulunur; x = 0 yazılır ve y = 1 elde edilir.
2. Adım 2: Kolay bir x değeri seçilir; x = 1 için y = 2 · 1 + 1 = 3 bulunur.
3. Adım 3: (0, 1) ve (1, 3) noktaları işaretlenip doğru çizilir.

Cevap: (0, 1) ve (1, 3) noktaları kullanılabilir

Bu örnekte adım sayısını not edin: kural her zaman aynı sayıda işlemle değil, kazanılması gereken bilgiye göre çözülür.

Örnek 2: Eğimi Grafikten Okuma

Soru: Grafiği incelenen doğruda yatay yönde 3 birim ilerlenince dikey yönde 6 birim yükselme görülmektedir. Doğrunun eğimi kaçtır?

1. Adım 1: Yatay değişim 3 birim olarak alınır.
2. Adım 2: Aynı aralıkta dikey değişim 6 birim olarak ölçülür.
3. Adım 3: Dikey değişim yatay değişime bölünür ve eğim 6: 3 = 2 bulunur.

Cevap: 2

Terimler ve aralarındaki fark

Bu derste geçen terimler birbirine yakın durur ve sınavda karıştırılır. Aşağıdaki tabloda her terimin anlamı ve sık karıştırılan karşılığı yan yana verilmiştir.

Kurallar, formüller ve ölçüler

Bu konunun dayandığı kurallar aşağıdadır. Tabloyu ezberlemek değil, kuralın hangi soruda işe yaradığını görmek esastır.

Hangi hatalara dikkat edelim?

Hata yapmamak için önce hatanın nereden geldiğini bilmek gerekir. Aşağıdaki listede her hata için yanlış giden yol ve doğru yol birlikte verilmiştir.

• Grafiği eğri çizmek: Doğrusal fonksiyonlarda değişken yalnızca birinci kuvvette bulunur, bu yüzden grafik daima düz bir çizgidir.
• Eğimi tek noktadan okumak: Eğim için yatay değişim gerekir; tek bir noktanın yüksekliği eğimi vermez, iki noktaki yatay fark da hesaba katılmalıdır.
• X ekseni kesişiminde yanlış denklem: X eksenindeki noktada y koordinatı sıfır olduğundan önce y = 0 yazılmalı, sonra x bulunmalıdır.
• Paralel doğruları çakışma sanmak: Aynı eğime sahip doğrular yalnızca sabit terimleri aynıysa aynı doğruyu belirtir, aksi hâlde birbirine paraleldir.
• Kesişim noktasında bölgeyi karıştırmak: Noktanın bölgesi x ve y koordinatlarının işaretlerine göre belirlenir, sadece bir eksene bakmak yeterli değildir.

Kısaca özet

Kısaca: Doğrusal fonksiyonların grafikleri düz koordinat sisteminde düz çizgilerdir ve iki nokta yardımıyla çizilir. Grafiğin yukarı aşağı yönde hareketi eğimin işaretini verir: eğim pozitifse doğru sağa yukarı, negatifse sağa aşağı gider, eğim sıfırsa doğru yataydır. Doğru y eksenini (0, b) noktasında keser ve sabit terim b buradan okunur. X eksenini kesen noktada y koordinatı sıfır olduğundan y = 0 denklemi çözülür. Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir, kesişen doğruların eğimleri farklıdır. Tablo, grafik ve de…

Sınav öncesi şu maddeleri tekrar etmek yeterli olacaktır:

• Grafiği çizmek için yalnızca iki doğru nokta yeterlidir.
• Eğim büyüdükçe doğru dikleşir, x ekseniyle yaptığı açı küçülür.
• Y eksenindeki kesim noktası sabit terimi verir.
• X eksenindeki kesim noktası y = 0 denklemiyle bulunur.
• Doğrusal fonksiyonların grafikleri asla eğri olmaz.
• Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir.
• Aynı eğime sahip iki doğru arasındaki dikey uzaklık sabittir.
• Tablo, grafik ve denklem aynı sayı çiftlerini farklı biçimlerde gösterir.

Kendin dene: üç soru

Bu üç soru konunun özetidir. Çözmeden önce her biri için hangi kuralı kullanıyorum diye düşün; cevap anahtarı sonda verilmiştir.

1. y = −2x + 1 ve y = x − 5 doğrularının grafikleri hangi bölgede kesişir? (Şıklar: I. bölge · II. bölge · III. bölge · IV. bölge)
2. y = 2x − 6 doğrusunun grafiği hangi nokta çiftinden geçer? (Şıklar: (1, −4) ve (2, −2) · (3, 3) ve (4, 5) · (0, −6) ve (3, 0) · (0, 6) ve (2, 2))
3. Doğrusal bir fonksiyonun grafiğini çizmek için kaç nokta yeterlidir? (Şıklar: 2 · 3 · 1 · 4)

Cevap anahtarı: 1) IV. bölge — Kesişim noktasında iki doğrunun y değerleri eşittir: −2x + 1 = x − 5 yazılır ve 3x = 6 bulunur. x = 2 ve y = −3 olduğundan nokta dördüncü bölgededir.

2) (0, −6) ve (3, 0) — Doğru üzerindeki noktada x yerine yazıldığında y doğru değeri vermelidir. x = 0 için y = −6 ve x = 3 için y = 0 olduğundan (0, −6) ve (3, 0) noktaları doğru üzerindedir.

3) 2 — Doğrusal bir fonksiyonun grafiği düz bir doğrudur ve iki nokta belirlendiğinde o noktalardan geçen tek bir doğru vardır. Buna göre yeterli nokta sayısı 2'dir.

Komşu konular

Bu konuyu öğrenmek şu başlıkları da kolaylaştırır. Aynı üniteden ve sonraki üniteden ikişer konu seçtik:

• Üçgenler, Eşlik-Benzerlik ve Dönüşüm Geometrisi — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.
• Çember, Dik Prizma, Silindir ve Olasılık — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.
• Üçgende Açı-Kenar İlişkisi — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.
• Dik Cisimlerin Yüzey Alanları ve Yüzey Açımları — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.

Bu anlatım hakkında

Doğrusal Fonksiyonların Grafikleri başlığındaki her sayısal iddia elle doğrulanabilir biçimde yazıldı: soruda verilen değer, uygulanan kural ve bulunan sonuç yan yana durur. Metin özgün yazılmıştır, başka bir kaynaktan alıntı yapılmamıştır.

Ayrıca derste şu açık uçlu görevler yer alıyor; her biri puanlıdır ve kendi cevabını yazmanı ister:

• y = 3x − 2 doğrusunun grafiğini kağıt üzerinde çizip y ekseni ve x ekseniyle kesişim noktalarını işaretleyerek bulunuz. (15 puan)
• Bir doğrunun grafiğini inceleyerek eğimini bulunuz ve grafiğin eğimle olan ilişkisini cümlenizle açıklayınız. (20 puan)
• Aynı eğime sahip iki doğrunun grafiklerini çizerek aralarındaki ilişkiyi ve dikey uzaklığı açıklayınız. (20 puan)

İleri Örnek: Grafikten Değer Okumak ve İki Doğrunun Kesişim Noktasını Bulmak

Grafik çizmek kadar önemli olan, grafikten bilgi okumaktır. Bir doğrusal fonksiyonun grafiğinde yatay eksen bağımsız, düşey eksen bağımlı değişkendir. Bir noktanın yatay koordinatını okuduğumuzda bağımsız değişkenin değerini, düşey koordinatını okuduğumuzda bağımlı değişkenin değerini buluruz.

Yolculuk hâlinde doğrusal grafik kullanalım. Bir araç saatte 60 km hızla, aracı sabit hızıyla ve yönüyle yola çıkıyor. Alınan yol ile geçen süre arasındaki ilişki y = 60 x doğrusuyla gösterilir. Grafikten şunları okuyabiliriz:

• x = 1 saat için y = 60 km: bir saatte 60 km yol alınmış.
• x = 2 saat için y = 120 km.
• x = 2,5 saat için y = 150 km.

Son satırı doğrulayalım: 2,5 · 60 = 150. Yani yarım saatlik ek yol 30 km'dir ve toplam 120 + 30 = 150 km olur. Grafikte okuduğumuz değer bu aritmetikle örtüşüyorsa grafik doğru çizilmiş demektir.

Ters yönde okumak da gerekir. Grafikte y = 90 km noktasına bakarsak, aracın 90 km yol aldığı anı arıyoruz demektir. 60 x = 90 yazılıp x = 90 / 60 = 1,5 bulunur. Grafikte y = 90 doğrusundan aşağı inip x eksenine indiğimizde 1,5'i görürüz; iki yol aynı sonuca ulaştı.

Şimdi iki doğrunun kesişim noktasını bulalım. Aynı grafikte y = 2 x + 1 ile y = − x + 7 doğruları çizilsin. Kesişim noktası her iki denklemin birden sağlandığı noktadır, yani iki denklem eşitlenir: 2 x + 1 = − x + 7 ⟹ 3 x = 6 ⟹ x = 2. Yerine koyunca y = 2 · 2 + 1 = 5 bulunur. Kesişim noktası (2; 5)'tir.

Doğrulama: − x + 7 yazımında x = 2 için −2 + 7 = 5 elde edilir. İki doğru da aynı noktada buluştuğuna göre hesap tutarlıdır.

Kesişim noktasının pratikte ne anlama geldiği soruya göre değişir. Hız grafiklerinde kesişim, iki aracın aynı anda aynı yerde bulunduğu andır. Fiyat grafiklerinde ise iki farklı alışveriş biçiminin maliyetinin eşitlendiği miktardır. Bu yüzden kesişim noktasını yalnızca matematiksel olarak bulmak yetmez; onun gerçek hayatta karşılığı olan soruyu da yanıtlamak gerekir.

Grafik okumada sık yapılan bir hata, eksenlerin ölçeğini atlamaktır. Eğer y ekseninde her birim 20 km'yi gösteriyorsa grafikte gördüğünüz y değerini 20 ile çarpmalısınız. Bu yüzden eksende ölçek yazmadan grafik yorumlamak yanlış sonuç verir. Doğru okuma için önce her iki eksenin de neyi gösterdiğini ve birimlerini yazmak, sonra sayısal değeri okumak en güvenli yoldur.

Adım Adım Çözülmüş Örnek

Örnek 1: Grafik Çizme konusunun adımları:

1. Adım 1: Y eksenindeki kesim noktası bulunur; x = 0 yazılır ve y = 1 elde edilir.
2. Adım 2: Kolay bir x değeri seçilir; x = 1 için y = 2 · 1 + 1 = 3 bulunur.
3. Adım 3: (0, 1) ve (1, 3) noktaları işaretlenip doğru çizilir.

Karşılaştırma Tablosu