Doğrusal Fonksiyonlar ve Dik Koordinat Sistemi

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Bu derste Doğrusal Fonksiyonlar ve Dik Koordinat Sistemi başlığını ele alacağız. Önce kavramın kuralını yazacağız, sonra o kuralın sayı üzerinde nasıl işlediğini adım adım göstereceğiz.

Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:

• Kazanım 1: Sabit orantı ile doğrusal ilişkiyi ayırt eder.
• Kazanım 2: Doğrusal fonksiyonun grafik ve denklemini ilişkilendirir.
• Kazanım 3: Katsayıların (a, b) grafiğe etkisini yorumlar.
• Kazanım 4: Dik koordinat sisteminde nokta belirler ve bölgeyi tespit eder.
• Kazanım 5: Gerçek hayattaki doğrusal ilişkileri modelleyerek çözümler.

Ön bilgi: bundan önce gördüğümüz

Bu konuya geçmeden önce Doğrusal Denklemler ve Eşitsizlikler konusunu bilmemiz gerekiyor. Doğrusal Denklemler ve Eşitsizlikler içindeki kavramlar bu derste doğrudan kullanılacak; aradaki bağı kurmadan sayısal işleme geçmek en sık yapılan hatadır.

• Doğrusal Denklemler ve Eşitsizlikler — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.
• Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.

Doğrusal İlişki ve Sabit Orantı

Bir değişken artarken diğeri aynı oranda artıyorsa buna sabit orantı denir: y = kx biçiminde yazılır. Örneğin birim fiyat sabitken toplam maliyet, alınan miktarla doğru orantılıdır. Buradaki k katsayısı, birim başına değişimi belirler.

Doğrusal Fonksiyon

Genel biçimde y = ax + b olarak yazılan fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir. Burada a, doğrunun eğimidir; a pozitifse doğru sağa doğru yükselir, negatifse alçalır, sıfırsa yatay doğru olur. b katsayısı ise doğrunun y eksenini kestiği noktadır (y-kesim noktası). x ve y arasındaki ilişki bu sayede tek bir doğru üzerinde gösterilir.

Grafik Çizimi

Bir doğrusal fonksiyonun grafiği için en az iki nokta yeterlidir: x değerlerinden iki tanesi seçilip y değerleri bulunur, bulunan noktalar dik koordinat sisteminde işaretlenir ve doğru parçası çizilir. Örneğin y = 2x + 1 için (0, 1) ve (1, 3) noktaları kullanılır.

Dik Koordinat Sistemi

Dik koordinat sistemi, yatay x ekseni ile dikey y ekseni nin kesişmesiyle oluşur; kesişim noktası başlangıç noktasıdır (0, 0). Eksenler sistemi dört bölgeye ayırır: I. bölgede iki koordinat da pozitif, II. bölgede x negatif y pozitif, III. bölgede ikisi de negatif, IV. bölgede x pozitif y negatiftir. Bir nokta (a, b) biçiminde yazılır; ilk sayı yatay, ikinci sayı dikey konumu gösterir.

Uygulama ve Algoritma

Gerçek hayattaki birçok ilişki doğrusal modellenir: ücret hesaplama, ısıtma süresi, yol alımı gibi. Bir problemi çözümlemek için önce değişkenler belirlenir, ilişki y = ax + b biçiminde kurulur ve ardından istenen değer hesaplanır. Bu sıralı çözüm adımlarına algoritma denir.

Fonksiyonlarda her x değeri için yalnız bir y değeri vardır; bu durum grafiğin dikey doğru testinden geçmesini sağlar. Gerçek hayatta yaşanan değişimlerde sabit gider ile değişken gider birbirinden ayrılabilir: taksitli bir ödemede aylık sabit ücret ile kullanım başına alınan ücret toplanarak toplam gider doğrusal modelle ifade edilir ve bu modelle gelecek aylara ilişkin tahminler yapılır.

Uygulama Senaryosu: Doğrunun Denklemini Okuma

İki x artı üç doğrusunda eğim iki, düşey ekseni kestiği nokta üçtür. Eğim, x birim artınca y'nin ne kadar arttığını söyler; grafikte sağa iki, yukarı dört adım çekilerek doğru kolayca çizilir.

Sık karşılaşılan hata, eğimi iki nokta arasındaki farkı alırken sırayı karıştırmaktır. Her zaman y farkı payda, x farkı paydadır.

Karşılaştırma: Doğru Türleri

Sınıf içinde çizilen her doğru önce eğim işaretiyle kontrol edilir.

Uygulama: Doğru Grafiği Çizme

Doğrusal bir fonksiyonda x değeri verildiğinde y değeri bulunur; iki çift birlikte düzlemde bir nokta verir. İki nokta belirlenip birleştirildiğinde fonksiyonun grafiği elde edilir.

Sabit terim, doğrunun y eksenini kestiği noktayı verir. Bu nokta, x sıfırken y'nin aldığı değerdir ve doğruyu yerine oturtmak için hemen kullanılabilir.

Eğim, x bir birim arttığında y'nin ne kadar değiştiğini gösterir. Yükselen doğruda eğim pozitif, alçalan doğruda negatiftir.

Karşılaştırma: Sabit Terim ile Eğim

Sabit terim konumu, eğim yönü belirler. Aynı eğime sahip iki doğru farklı noktalardan geçer; aynı noktadan geçen iki farklı eğim ise farklı yönlere uzanır.

Sık yapılan hata: Eğimin işaretini karıştırmak. Grafikte sağa doğru inip inmediğine bakılarak işaret kolayca kontrol edilir.

Günlük hayattan bir uygulama

Bu derste öğrendiklerimizi günlük hayatta görmek, konuyu kalıcı hale getirir. Aşağıdaki görevde Doğrusal Fonksiyonlar ve Dik Koordinat Sistemi bilgisi bir işin içinde kullanılıyor; çözümü kendiniz yazmayı deneyin.

Uygulama sorusu: Gerçek hayattan doğrusal bir ilişki seçip (kira, taksit, yakıt tüketimi gibi) y = ax + b biçiminde denklemi kurunuz; a ve b katsayılarının anlamı ile iki farklı x değeri için hesabı gösteren bir tablo hazırlayınız.

Bu görev için 15 puan dağıtılmıştır; puanlama anahtarı, cevabın hangi adımlarla gösterilmesi gerektiğini ayrıntılı biçimde söyler. Puanlamada işlem sırasının ve sonuç cümlenin ayrı ayrı sayıldığına dikkat et.

Sınıfta işe yarayan pratik notlar

• Grafik çizerken x'ten iki değer seçip tablo doldur.
• a'nın işaretine bakarak doğrunun yükseldiği mi alçaldığı mı olduğunu hemen söyle.
• Nokta koordinatlarında x'i önce düşün: sağa-sola, sonra yukarı-aşağı.
• Problem çözümlerinde birim fiyat ile sabit gideri karıştırma.

Çözülmüş örnek adımları

İki örnek üzerinde çalışacağız. İlk örnek kuralın temel kullanımını, ikinci örnek ise kuralın zorlayıcı bir durumunu gösterir. Adımları kendin yazmayı dene; ikinci adımda nerede durduğunu görmek, sınavda zaman kazanır.

Örnek 1: Nokta Belirleme

Soru: A(−2, 5) noktası hangi bölgededir?

1. x koordinatı negatiftir.
2. y koordinatı pozitiftir.
3. x negatif, y pozitif olan bölge II. bölgedir.

Cevap: II. bölgededir.

Bu örnekte adım sayısını not edin: kural her zaman aynı sayıda işlemle değil, kazanılması gereken bilgiye göre çözülür.

Örnek 2: Fonksiyon Değeri

Soru: y = 2x + 1 doğrusal fonksiyonunda x = 3 için y kaçtır?

1. x yerine 3 yazılır.
2. 2 × 3 = 6 bulunur.
3. 6 + 1 = 7 bulunur.

Cevap: y = 7 olur; nokta (3, 7)dir.

Kavram, anlam ve sık karıştırılan karşılık

Bu derste geçen terimler birbirine yakın durur ve sınavda karıştırılır. Aşağıdaki tabloda her terimin anlamı ve sık karıştırılan karşılığı yan yana verilmiştir.

Konudaki kural ve ölçü özeti

Konudaki kural ve ölçüleri tek tabloda topladık. Bu tablo, tekrar anlarında ilk bakılacak yerdir.

Sık karşılaşılan yanlışlar

Aşağıdaki hatalar bu konuda en sık görülenlerdir. Her biri için önce hatanın kendisi, sonra neden yanlış olduğu ve doğrusu anlatılmıştır.

• Y-kesim noktası (0, b) biçimindedir; b değeri x yerine değil, x sıfırken y'nin değeridir.
• Negatif eğimli doğruda x arttıkça y azalır; işaret kontrolü atlanmamalıdır.
• Koordinat sistemlerinde (−2, 3) ile (3, −2) farklı noktalardır; sıra önemlidir.
• Yalnız bir nokta ile doğru çizilemez; en az iki nokta gerekir.

Özet

Kısaca: Doğrusal ilişkiler y = ax + b biçiminde modellenir. a katsayısı doğrunun eğimidir: pozitifse yükselir, negatifse alçalır; b ise doğrunun y eksenini kestiği noktadır. Grafik için iki nokta seçilip dik koordinat sisteminde işaretlenir. Dik koordinat sisteminde eksenler dört bölge oluşturur ve her nokta (x, y) ikilisiyle belirlenir. Gerçek hayat problemleri önce değişkenler seçilip ilişki kurularak algoritma adımlarıyla çözülür.

Anlatımı bir cümlede özetleyeceksek, şunu söyleyebiliriz:

• Doğrusal fonksiyonun grafiği bir doğru parçasıdır.
• a katsayısı eğimi, b katsayısı y-kesim noktasını gösterir.
• Bir doğru için iki nokta belirlemek grafiği çizmeye yeterlidir.
• Dik koordinat sisteminde ilk sayı x, ikinci sayı y konumunu verir.
• Gerçek hayat problemlerinde önce değişkenler belirlenip ilişki kurulur.

Kendini dene

Aşağıdaki sorular konunun farklı yönlerini yoklar. Önce kendin çöz, sonra cevap anahtarına bak; eğer bir soruyu yanlış yaptıysan yukarıdaki ilgili bölüme geri dön.

1. y = −2x + 5 doğrusunun üzerinde x = 3 iken bulunan nokta hangi bölgededir? (Şıklar: Birinci bölge · İkinci bölge · Üçüncü bölge · Dördüncü bölge)
2. y = −x doğrusu hangi bölgelerden geçer? (Şıklar: Birinci ve ikinci bölgelerden · İkinci ve dördüncü bölgelerden · Üçüncü ve dördüncü bölgelerden · Birinci ve üçüncü bölgelerden)
3. y = 2x + 1 doğrusal fonksiyonunda x = 3 için y değeri kaçtır? (Şıklar: 6 · 7 · 5 · 10)

Cevap anahtarı: 1) Dördüncü bölge — y = −2 × 3 + 5 = −1 olduğundan nokta (3, −1); x pozitif, y negatif olduğu için IV. bölgededir.

2) İkinci ve dördüncü bölgelerden — x = 1 için y = −1 (IV. bölge), x = −1 için y = 1 (II. bölge) olduğundan doğru II. ve IV. bölgelerden geçer.

3) 7 — Doğrusal fonksiyonda x yerine soruda verilen değer yazılır. Parantez yoktur: 2 · 3 = 6 bulunur ve buna sabit terim eklenerek sonuç 7 olur.

Yakın konular

Konunun yerine oturması için komşu başlıkları da bilmek gerekir. Şunlarla birlikte çalışmak konuyu pekiştirir:

• Doğrusal İlişkiden Doğrusal Fonksiyonlara — aynı ünitede, bir sonraki adım.
• Doğrusal Fonksiyonların Grafikleri — aynı ünitede, bir sonraki adım.
• Üçgenler, Eşlik-Benzerlik ve Dönüşüm Geometrisi — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.
• Çember, Dik Prizma, Silindir ve Olasılık — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.

Kaynak notu

Bu derste Doğrusal Fonksiyonlar ve Dik Koordinat Sistemi konusu için kullanılan sayısal değerlerin tamamı adım adım gösterilerek hesaplandı; yaklaşık değer gereken yerde yaklaşık ifadesi açıkça yazıldı. Bu anlatım başka bir kitaptan cümle aktarmadan, konunun tanım ve kural düzeni yeniden yazılarak hazırlandı.

Ayrıca derste şu açık uçlu görevler yer alıyor; her biri puanlıdır ve kendi cevabını yazmanı ister:

• Gerçek hayattan doğrusal bir ilişki seçip (kira, taksit, yakıt tüketimi gibi) y = ax + b biçiminde denklemi kurunuz; a ve b katsayılarının anlamı ile iki farklı x değeri için hesabı gösteren bir tabl… (15 puan)
• Dik koordinat sisteminde dört bölgede de birer nokta işaretleyip bu noktaların koordinatlarını ve bulundukları bölgeleri açıklayınız. (10 puan)
• Bir telefon faturasının 30 TL sabit ücret ve dakika başına 0,5 TL ücretle hesaplandığını düşününüz. Ücreti veren doğrusal fonksiyonu yazınız, 120 dakikalık faturayı hesaplayınız, fonksiyonun grafik i… (30 puan)
• Bir sınıftaki öğrencilerin sayısı ile notlarının toplamı arasındaki ilişkiyi doğrusal bir tablo hâlinde hazırlayıp yorumlayınız? (15 puan)

İleri Örnek: Doğrunun Eğimini Kullanarak Üç Soruyu Tek Çözümle Cevaplamak

Bir doğrusal fonksiyonun grafiği çizildiğinde üç şey tek bakışta bulunabilir: eğimi, y eksenini kestiği nokta ve x eksenini kestiği nokta. Bu üçü birbirine bağlıdır; birini bilmek diğerlerini bulmayı kolaylaştırır.

Örnek olarak y = 2 x − 3 doğrusunu ele alalım.

• Eğim: Doğrunun denkleminde x'in katsayısı eğimdir. Burada eğim 2'dir. Yani doğru bir noktadan bir birim sağa gidildiğinde y ekseni 2 birim yükselir.
• y eksenini kesme noktası: x = 0 yazılır. 2 · 0 − 3 = −3 olduğundan nokta (0, −3)'tür. Dikkat: negatif değer çıkarsa nokta y ekseninin aşağısında yer alır.
• x eksenini kesme noktası: y = 0 yazılır ve denklem çözülür: 0 = 2 x − 3 ⟹ 2 x = 3 ⟹ x = 3/2 = 1,5. Nokta (1, 5; 0) biçiminde yazılır.

Doğrulama yapalım: grafikte x = 1 alındığında y = 2 · 1 − 3 = −1 olmalıdır. Gerçekten 1'den 0'a bir birim sağa gidince y 1 birim (2 − 1 = 1) artmıştır; eğim 2 ile uyumludur. Aynı şekilde x = 2 alındığında y = 2 · 2 − 3 = 1 olur; y ekseninden iki birim sağa gidince y −3'ten 1'e gelmiş, yani 4 birim yükselmiştir. 2 birim sağa gidilip 4 birim yükselme eğimi 2 verir.

Bu bilgilerden biri diğer ikisini üretir. Örneğin y eksenini (0, 4) noktasında kesen ve eğimi −3 olan doğrunun denklemi y = −3 x + 4 olur; x eksenini kestiği nokta ise 0 = −3 x + 4 ⟹ x = 4/3'tür. Yine eğimden yararlanarak x eksenini kestiği noktadan y eksenini kestiği noktayı da bulabiliriz.

Son satırda ondalık ayırıcı kullanılmadığına dikkat: dördüncü sütunun değeri (5; 0) noktasının x bileşenidir; virgül yazılsaydı iki sayı arasındaki ayırıcıyla karışırdı.

İki doğrunun ilişkisi de eğimlerinden bulunur. Eğimleri eşit olan iki doğru paraleldir ve hiç kesişmez: y = x + 1 ile y = x − 4 paraleldir. Eğimleri eşit değil olan doğrular kesişir; özel durumda eğimlerin çarpımı −1 ise doğrular diktir. y = x + 1 ile y = −x + 4 doğrularının eğimleri 1 ve −1'dir; çarpımları 1 · (−1) = −1 olduğundan bu iki doğru diktir. Buna karşılık y = 2 x − 3 ile y = −x + 4 eğim çarpımı 2 · (−1) = −2 olduğundan dik değildir; sadece kesişir.

Bir doğrunun iki nokta arasında olup olmadığını denetlemek de eğimle yapılır. A(1, 3) ve B(4, 15) noktalarından geçen doğrunun eğimi (15 − 3) / (4 − 1) = 12 / 3 = 4'tür. İki noktadan geçen tek bir doğru olduğundan, eğimi 4 olan ve (1, 3) noktasından geçen doğru aranan doğrudur; denklemi y = 4 x − 1 olur. Denetleyelim: x = 4 yazıldığında 4 · 4 − 1 = 15 bulunur, yani B noktası da üzerindedir.

Karşılaştırma Tablosu