Doğrusal İlişkiden Doğrusal Fonksiyonlara

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Bu derste Doğrusal İlişkiden Doğrusal Fonksiyonlara konusunu önce kuralıyla, sonra sayı üstünde uygulamasıyla göreceğiz. Her adımda "neden böyle yapıyoruz" sorusunu cevaplamak asıl hedeftir; kuralı ezberleyip bırakmak işe yaramaz.

Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:

• Kazanım 1: Sabit oranlı iki değişken arasındaki doğrusal ilişkiyi tanıyıp açıklayabilecek.
• Kazanım 2: Doğrusal ilişkiyi tablo, grafik ve denklemle temsil edebilecek.
• Kazanım 3: y = ax + b biçimindeki bağıntıda a ve b katsayılarının anlamını yorumlayabilecek.
• Kazanım 4: Doğrusal ilişki ile ters orantılı ilişkiyi karşılaştırıp farkını açıklayabilecek.
• Kazanım 5: Günlük hayattan doğrusal ilişki örnekleri kurup çözümünü yorumlayabilecek.

Ön bilgi: bundan önce gördüğümüz

Bu konunun dayandığı temel Doğrusal Fonksiyonlar ve Dik Koordinat Sistemi başlığıdır. Doğrusal Fonksiyonlar ve Dik Koordinat Sistemi konusunda kazanılan bilgiyi burada yeniden kullanacağız, bu yüzden o konudaki tanım ve çıkarımları hatırlamak işimizi kolaylaştırır.

• Doğrusal Fonksiyonlar ve Dik Koordinat Sistemi — bu adımda öğrendiklerimiz bugünkü konunun dayanağı oluyor.
• Doğrusal Denklemler ve Eşitsizlikler — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.

Doğrusal İlişki ve Sabit Oran

Bir olayda iki miktar arasında sabit bir çarpan ilişkisi varsa bu durum doğrusal ilişki olarak adlandırılır. Bağımsız değişken x, ona bağlı olarak değişen bağımlı değişken y ile gösterilir. İlişkinin sağlıklı olup olmadığını anlamak için iki değişken arasındaki sabit oran araştırılır.

• Eşit sayılarla artırıldığında bağımlı değişken de aynı oranda artıyorsa ilişki doğrusaldır.
• Değişimler sabit değilse, örneğin artış hızlanıyorsa ilişki doğrusal değildir.
• Bir kereye 12 kişi, 24 kişi, 48 kişi yerleştirildiğinde sıra sayısı ile kişi sayısı arasındaki ilişki doğrusaldır.

Tablo, Grafik ve Doğrusal Fonksiyon

Doğrusal ilişki üç farklı temsil biçimiyle gösterilebilir: tablo, grafik ve denklem. Tablo sayı çiftlerini listeler, grafik bu çiftleri düzlemde gösterir, denklem ise ilişkiyi tek bir yazıyla özetler. Üç temsil de aynı bilgiyi verir.

Doğrusal ilişkinin genel biçimi y = ax + b şeklindedir. Buradaki a sayısına eğim denir ve birim x artışına karşılık gelen y artışını gösterir. b ise sabit terimdir; doğrunun y eksenini kestiği noktanın y koordinatıdır. Grafikte bu doğru asla eğri olmaz, daima düz bir çizgidir.

Eğim ve Doğrunun Önemi

Bir doğrunun eğimi, iki noktası arasında y koordinatındaki değişimin x koordinatındaki değişime bölümüyle bulunur. Eğim pozitifse doğru sağa yukarı doğru, negatifse sağa aşağı doğru gider. Doğrunun grafikteki eğimi arttıkça doğru dikleşir.

Doğru, y eksenini (0, b) noktasında keser. x eksenini kesen noktada ise y koordinatı sıfırdır. Bir doğrunun çizimi için iki yeterli nokta yeterlidir; bu noktaları doğru seçmek çizimi kolaylaştırır.

Doğrusal Olmayan İlişkiler

Değişkenler arasında sabit bir çarpan ilişkisi yoksa ilişki doğrusal değildir. Değişkenin yalnızca birinci kuvvetiyle geçmediği, karesel ya da üslü biçimlerde göründüğü bağıntılar bu gruptadır. Grafikleri eğri olduğu için doğrusal ilişkilerle karıştırılmamalıdır.

Doğrusal İlişki ve Ters Orantılı İlişki

Doğrusal ilişkide bir değişken artarken diğeri de sabit bir çarpanla artar. Ters orantılı ilişkide ise iki değişkenin çarpımı sabittir; biri artarken diğeri azalır. Kapalı bir alanı kapatmak, aynı işi daha çok kişiyle daha kısa sürede yapmak ters orantılı ilişkiye örnektir.

Özet — Sabit oranlı iki değişken arasındaki ilişkiye doğrusal ilişki denir ve y = ax + b biçiminde yazılır. a sayısı eğim, b sayısı ise y eksenini kestiği noktanın y koordinatıdır. Doğrusal ilişki tablo, grafik ve denklemle gösterilebilir. Ters orantılı ilişkide iki değişkenin çarpımı sabittir ve biri artarken diğeri azalır.

Sık Yapılan Hatalar — Sabit terim olan b'yi katsayı sanmak en sık hatadır; katsayı x'in önündeki a'dır. Eğimi, doğrunun eğim açısının kendisi sanmak yerine birim artış karşılığındaki y artışı olarak hesaplamak gerekir. Ayrıca ters orantılı ilişkiyi doğrusal ilişki gibi çarparak büyütmek de yanlıştır; bu ilişkide çarpım sabit kalır.

Günlük hayattan bir uygulama

Konuyu pekiştirmek için günlük hayattan bir uygulamaya bakmak gerekir. Aşağıdaki görev, Doğrusal İlişkiden Doğrusal Fonksiyonlara bilgisini gerçek bir işin içinde kullandırmak için hazırlandı; çözerken hangi adımı nerede kullandığımızı not etmek faydalıdır.

Uygulama sorusu: Günlük hayattan bir doğrusal ilişki seçiniz, iki değişkeni adlandırınız, üç sayılık bir tablo doldurunuz ve bağıntıyı y = ax + b biçiminde yazınız.

Bu görev için 20 puan dağıtılmıştır; puanlama anahtarı, cevabın hangi adımlarla gösterilmesi gerektiğini ayrıntılı biçimde söyler. Puanlamada işlem sırasının ve sonuç cümlenin ayrı ayrı sayıldığına dikkat et.

Yararlı ipuçları

• Tablo doldururken x değerlerini 1, 2, 3 gibi eşit aralıklarla seç; katsayıyı hızla görürsün.
• Doğruyu çizerken önce y eksenindeki kesim noktasını işaretle, sonra ikinci bir nokta seç.
• Eğim sorusunda önce y değişimini, sonra x değişimini bul; böylece bölme işlemi netleşir.
• Sabit terim sorusunda doğrunun y eksenini kestiği noktaya bak, oranın y koordinatı sabit terimdir.
• Ters orantılı ilişkide miktar iki katına çıkarsa süre ya da sayı yarıya iner.

Adım adım çözülmüş örnekler

İki örnek üzerinde çalışacağız. İlk örnek kuralın temel kullanımını, ikinci örnek ise kuralın zorlayıcı bir durumunu gösterir. Adımları kendin yazmayı dene; ikinci adımda nerede durduğunu görmek, sınavda zaman kazanır.

Örnek 1: Doğrusal İlişkiyi Denklemle Yazma

Soru: Bir sınıfta her sırada 4 öğrenci oturur. Sıra sayısını x, toplam öğrenci sayısını y alın ve aradaki bağıntıyı yazınız.

1. Adım 1: Sıra sayısı bağımsız değişkendir ve x ile gösterilir.
2. Adım 2: Her sırada 4 öğrenci olduğundan toplam öğrenci sayısı 4 ile sıra sayısının çarpımıdır.
3. Adım 3: Bağıntı y = 4x biçiminde yazılır; sabit terim olmadığı için doğru orijinden geçer.

Cevap: y = 4x

Bu örnekte adım sayısını not edin: kural her zaman aynı sayıda işlemle değil, kazanılması gereken bilgiye göre çözülür.

Örnek 2: Denklemden Değer Bulma

Soru: y = 3x − 2 doğrusunda x = 3 ve x = 0 olduğunda y kaçtır?

1. Adım 1: x = 3 yazılır: 3 · 3 = 9 ve 9 − 2 = 7 bulunur.
2. Adım 2: x = 0 yazılır: 3 · 0 = 0 ve 0 − 2 = −2 bulunur.
3. Adım 3: Sonuçlar karşılaştırılır; x 3 birim arttığında y 3 birim artmıştır.

Cevap: x = 3 iken y = 7, x = 0 iken y = −2

Kavram karşılaştırma tablosu

Bu derste geçen terimler birbirine yakın durur ve sınavda karıştırılır. Aşağıdaki tabloda her terimin anlamı ve sık karıştırılan karşılığı yan yana verilmiştir.

Kural, formül ve ölçü tablosu

Aşağıdaki tablo bu konudaki kuralları tek bakışta toplar. Karar verirken önce bu tabloya bakmak, kuralı hatırlamakta işe yarar.

Yukarıdaki ölçülerin arkasındaki kural ve formüller şunlardır:

Sık Yapılan Hatalar

Bu konudaki tipik hataları gözden geçirmek, tekrar hata yapmayı en hızlı azaltan yoldur. Her hatanın gerekçesi yazılmıştır.

• Sabit terimi katsayı sanmak: Bağıntıdaki çarpım durumunu belirleyen sayı a, x'in önünde duran katsayıdır; b yalnızca toplanan sabit değerdir.
• Eğimi açı sanmak: Doğrunun eğim açısı ile eğim sayısı aynı şey değildir; eğim birim x artışına karşılık gelen y artışıdır.
• Ters orantılılığı çarparak büyütmek: Ters orantılı ilişkide bir miktar artınca karşılığı azalır, böylece çarpım sabit kalır.
• Grafiği eğri çizmek: Doğrusal ilişkinin grafiği her zaman düz bir doğrudur, y = x² gibi bir bağıntı ancak doğrusal olmayan ilişki verir.
• Sabit oranı kontrol etmemek: İki farklı x değeri için oranlar farklı çıkıyorsa ilişkide sabit oran yoktur ve bağıntı doğrusal değildir.

Bu dersten akılda kalması gerekenler

Kısaca: İki değişken arasında sabit bir çarpan ilişkisi varsa buna doğrusal ilişki denir ve y = ax + b biçiminde yazılır. a sayısı eğimdir ve birim x artışına karşılık gelen y artışını gösterir; b sayısı sabit terimdir, doğrunun y eksenini kestiği noktanın y koordinatıdır. Doğrusal ilişki tablo, grafik ve denklemle temsil edilebilir, grafikleri daima düzdür. Eşit olmayan artışlarla devam eden ilişkiler doğrusal değildir. Ters orantılı ilişkide ise iki değişkenin çarpımı sabit kalır, biri artarken diğeri azalır.

Derste gördüğümüz ana fikirler şunlar:

• Doğrusal ilişkide eşit x artışları eşit y artışlarına yol açar.
• Eşit olmayan artışlarla devam eden bir ilişki doğrusal değildir.
• Tablo, grafik ve denklem aynı ilişkinin üç farklı temsilidir.
• a katsayısı arttıkça doğrunun eğimi büyür, doğru dikleşir.
• b sabit terimi doğrunun y eksenindeki kesim noktasını belirler.
• Doğrusal ilişkinin grafikleri eğri değil düzdür.
• Ters orantılı ilişkide çarpım sabit, doğrusal ilişkide ise bölüm sabittir.

Kontrol soruları

Kendi kendine dene: çözümü sen yaz, sonra anahtarla karşılaştır. Doğru yaptığın soruların altını çizmek, sınav öncesi hızlı tekrar sağlar.

1. Bir doğrusal ilişkide bağımsız değişken 3 birim arttırıldığında bağımlı değişken 12 birim artmaktadır. Buna göre bağımsız değişken 4 birim arttırıldığında bağımlı değişken kaç birim artar? (Şıklar: 8 · 12 · 24 · 16)
2. Bir sınıfta 24 öğrenci vardır ve her öğrenciye 3 kalem dağıtılıyor. Toplam kaç kalem dağıtılır? (Şıklar: 60 · 66 · 72 · 80)
3. Değişen bir değer, sabit bir katsayıyla çarpıldığında sabit bir sonuç veriyorsa oluşan ilişki aşağıdakilerden hangisidir? (Şıklar: Doğrusal ilişki · Eşitsizlik · Benzerlik · Diklik)

Cevap anahtarı: 1) 16 — Eğim, bağımlı değişkendeki değişimin bağımsız değişkendeki değişime bölümüdür: 12: 3 = 4 birim. Bu katsayı 4 ile çarpılır ve 4 · 4 = 16 birim artış olur.

2) 72 — Dağıtılan kalem sayısı, öğrenci sayısı ile her öğrenciye verilen kalem sayısının çarpımıdır: 3 · 24 = 72 kalem dağıtılır.

3) Doğrusal ilişki — Değişen değerle sabit bir katsayının çarpımı sabit bir değer veriyorsa ilişki doğrusaldır. Böyle ilişkiler doğrusal ilişki olarak adlandırılır.

İlgili konular

Bu konuyu öğrenmek şu başlıkları da kolaylaştırır. Aynı üniteden ve sonraki üniteden ikişer konu seçtik:

• Doğrusal Fonksiyonların Grafikleri — aynı ünitede, bir sonraki adım.
• Üçgenler, Eşlik-Benzerlik ve Dönüşüm Geometrisi — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.
• Çember, Dik Prizma, Silindir ve Olasılık — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.
• Üçgende Açı-Kenar İlişkisi — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.

Kaynak ve doğruluk notu

Bu konuda ölçü, birim ve kural iddiaları hesapla doğrulanmıştır. Doğrusal İlişkiden Doğrusal Fonksiyonlara için kullanılan her kural, konunun kendi örneklerinde gösterilerek verilmiştir; anlatım kendi ifadelerimizle yeniden düzenlenmiştir.

Ayrıca derste şu açık uçlu görevler yer alıyor; her biri puanlıdır ve kendi cevabını yazmanı ister:

• Günlük hayattan bir doğrusal ilişki seçiniz, iki değişkeni adlandırınız, üç sayılık bir tablo doldurunuz ve bağıntıyı y = ax + b biçiminde yazınız. (20 puan)
• İki nokta veriniz, bu noktalardan geçen doğrunun eğimini hesaplayınız ve eğimin ne anlama geldiğini cümlenizle açıklayınız. (15 puan)
• Doğrusal ilişki ile ters orantılı ilişkiyi karşılaştıran bir tablo hazırlayınız ve her iki ilişki için birer günlük hayat örneği veriniz. (20 puan)

İleri Örnek

Daha ileri bir uygulama:

Soru: Bir atölyede 4 işçi 6 günde 120 parça üretiyor. 6 işçi aynı sayıda parçayı kaç günde üretir?

1. Adım 1: Toplam işçi gün sayısı bulunur: 4 · 6 = 24 işçi gün.
2. Adım 2: Bir işçi günde 120: 24 = 5 parça üretir.
3. Adım 3: Altı işçi günde 6 · 5 = 30 parça üretir.
4. Adım 4: 120 parça için 120: 30 = 4 gün gerekir.

Sonuç/cevap: 4 gün

Kendini Dene

Soru: Günlük hayattan bir doğrusal ilişki seçiniz, iki değişkeni adlandırınız, üç sayılık bir tablo doldurunuz ve bağıntıyı y = ax + b biçiminde yazınız.

Örnek cevap: Puanlama anahtarı: Gerçek ve anlaşılır bir ilişkinin seçilmesi 4 puan. Bağımsız ve bağımlı değişkenlerin doğru adlandırılması 4 puan. Üç satırlık tablonun doğru doldurulması 4 puan. Katsayı ve sabit terimin doğru bulunması 4 puan. Bağıntının yazılması ve yorumlanması 4 puan. Toplam 20 puan.