Orantılı Durumlar

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Bu derste Orantılı Durumlar başlığını ele alacağız. Önce kavramın kuralını yazacağız, sonra o kuralın sayı üzerinde nasıl işlediğini adım adım göstereceğiz.

Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:

• Kazanım 1: İki durumun nicelikleri arasında sabit oran bulunduğunu gerekçesiyle açıklar.
• Kazanım 2: Orantı sabitini hesaplar ve iki orantılı durumu karşılaştırır.
• Kazanım 3: Doğru ve ters orantılı durumları örneklerle sınıflandırır.
• Kazanım 4: Orantılı durumlar tablosu oluşturarak eksik değeri belirler.
• Kazanım 5: Günlük hayattan verileri orantılı durumlar tablosuna yerleştirir.

Ön bilgi: bundan önce gördüğümüz

Bu konuya geçmeden önce Yüzde Problemleri konusunu bilmemiz gerekiyor. Yüzde Problemleri içindeki kavramlar bu derste doğrudan kullanılacak; aradaki bağı kurmadan sayısal işleme geçmek en sık yapılan hatadır.

• Yüzde Problemleri — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.
• Oran ve Orantı — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.

Orantılı Durumlar Nedir?

Birbirine bağlı iki durumun nicelikleri arasında sabit bir oran varsa bu iki duruma orantılı durumlar denir. Örneğin bir kumaşın metre fiyatı 48 TL ise 2 metreden 96 TL, 5 metreden 240 TL alınır. 2 ve 96 çifti ile 5 ve 240 çiftinin bölümleri aynıdır. Nicelikler birlikte artıp azaldığında doğru orantılı durumlar, biri artarken diğeri azaldığında ters orantılı durumlar oluşur.

Orantı Sabiti

Orantılı iki durumda ikinci durumun niceliğini birinci durumun niceliğine bölünce elde edilen sayıya orantı sabiti denir; bu sayı durumlar değişse de sabit kalır. 12: 18 çifti ile 20: 30 çiftinin orantı sabiti aynıdır. Ters orantılı durumlarda bölüm sabit değildir; bu durumlarda niceliklerin çarpımı sabittir. 4 ve 9 nicelikleri ters orantılıysa çarpımları 36 olarak korunur, niceliklerden biri 6 olduğunda diğeri 54 olur.

Orantılı Durumlar Tablosu

Orantılı durumlar tabloda gösterilir. Tablonun birinci satırına x, ikinci satırına y nicelikleri yazılır ve sütunlar hâlinde durumlar gösterilir. Aşağıdaki tabloda orantı sabiti 4'tür ve bölüm her sütunda tekrarlanır.

Ters orantılı durumlarda tablo şöyle görünür; burada çarpım her sütunda 24 olarak sabittir.

Orantılı Durumların Sınıflandırılması

Bir problemi çözmeden önce iki niceliğin yönü incelenmelidir. Adet ile tutar, uzunluk ile maliyet, hız ile yol gibi çiftler doğru orantılıdır. Kişi sayısı ile süre, musluk sayısı ile dolum süresi, sabit yol ile hız gibi çiftler ters orantılıdır. Yanlış sınıflandırma sonucu iki katından fazla bozar.

• Doğru orantılı durumlarda bölüm sabittir, nicelikler aynı yönde değişir.
• Ters orantılı durumlarda çarpım sabittir, nicelikler zıt yönde değişir.
• Bir orantı sabiti birden küçükse nicelikler artarken diğeri azalır.
• Orantı sabiti 1 ise iki nicelik daima aynı sayıdadır.

Orantılı Durumlarla Çalışma

Orantılı durumlar tablosunda eksik değeri bulmak için önce orantı sabiti ya da çarpım sabiti belirlenir, sonra bu sabit diğer sütunlara uygulanır. Sınıf içi etkinliklerde iki farklı malzeme ve iki farklı ölçek kullanılarak orantılı büyütmeler karşılaştırılabilir. Grafikte doğru orantılı durumlar düz bir çizgi, ters orantılı durumlar eğri bir çizgi ile gösterilir; çizginin eğik olması orantılılığın bir göstergesidir.

Özet: Orantılı durumlarda iki nicelik arasında sabit bir oran vardır ve bu sabite orantı sabiti denir. Doğru orantılı durumlarda bölüm, ters orantılı durumlarda çarpım sabittir. Problem çözümünde önce durumun türü belirlenir, sonra sabit değer yardımıyla eksik nicelik bulunur.

Sık Yapılan Hatalar: Ters orantılı durumları doğru orantılı saymak, orantı sabitini durum değiştikçe yeniden hesaplamak, farklı birimli nicelikleri karşılaştırmak ve bölüm sabitken çarpımdan yararlanmamak sık görülen hatalardır. Tabloyu okurken satır ile sütunları karıştırmak da sonucu değiştirir.

Günlük hayattan bir uygulama

Bu derste öğrendiklerimizi günlük hayatta görmek, konuyu kalıcı hale getirir. Aşağıdaki görevde Orantılı Durumlar bilgisi bir işin içinde kullanılıyor; çözümü kendiniz yazmayı deneyin.

Uygulama sorusu: Bir markette farklı büyüklükte üç kutu sütün toplam hacmi 18 litre olduğunu görüyorsunuz. Kutuların hacimleri orantılı durumlar mıdır? Araştırarak iki örnek çift üzerinde orantı sabitini gösteriniz.

Bu görev için 15 puan dağıtılmıştır; puanlama anahtarı, cevabın hangi adımlarla gösterilmesi gerektiğini ayrıntılı biçimde söyler. Puanlamada işlem sırasının ve sonuç cümlenin ayrı ayrı sayıldığına dikkat et.

Sınıfta işe yarayan pratik notlar

• Önce iki niceliğin yönünü kontrol et: birlikte mi değişiyor, zıt yönde mi?
• Ters orantılı durumlarda ilk iş çarpım sabitini yaz, doğru orantılı durumlarda oranın iki tarafını eşle.
• Sonucu geri koyarak kontrol et: bulduğun değerle çarpım ya da bölüm sabitini doğrula.
• Birimli oranlarda birimi hesabın içinde yaz, son adımda tekrar kontrol et.

Çözülmüş örnek adımları

İki örnek üzerinde çalışacağız. İlk örnek kuralın temel kullanımını, ikinci örnek ise kuralın zorlayıcı bir durumunu gösterir. Adımları kendin yazmayı dene; ikinci adımda nerede durduğunu görmek, sınavda zaman kazanır.

Örnek 1: Orantı Sabitinin Bulunması

Soru: 6 kutu sütün toplamı 72 litredir. Bu durumun orantı sabiti kaç litredir?

1. Adım 1: Orantı sabiti, ikinci durumun niceliğinin birinci durumun niceliğine bölümüdür.
2. Adım 2: Toplam hacim kutu sayısına bölünür: 72 ÷ 6 = 12.
3. Adım 3: Bulunan değer orantı sabiti olarak kabul edilir.
4. Adım 4: Sonuç 12 litre olarak yazılır.

Cevap: 12 litre

Bu örnekte adım sayısını not edin: kural her zaman aynı sayıda işlemle değil, kazanılması gereken bilgiye göre çözülür.

Örnek 2: Doğru Orantılı Durumda Hesap

Soru: 2 kedi 5 günde 8 kilogram yem tüketmektedir. Aynı miktarı 5 kedi kaç günde tüketir?

1. Adım 1: Kedi sayısı arttıkça süre azalır, çarpımları sabittir.
2. Adım 2: İlk durumun çarpımı hesaplanır: 2 × 5 = 10.
3. Adım 3: Beş kedi için aynı çarpımla süre bulunur: 10 ÷ 5 = 2.
4. Adım 4: Beş kedi 2 günde aynı miktarı tüketir.

Cevap: 2 gün

Kavram, anlam ve sık karıştırılan karşılık

Bu derste geçen terimler birbirine yakın durur ve sınavda karıştırılır. Aşağıdaki tabloda her terimin anlamı ve sık karıştırılan karşılığı yan yana verilmiştir.

Konudaki kural ve ölçü özeti

Konudaki kural ve ölçüleri tek tabloda topladık. Bu tablo, tekrar anlarında ilk bakılacak yerdir.

Sık karşılaşılan yanlışlar

Aşağıdaki hatalar bu konuda en sık görülenlerdir. Her biri için önce hatanın kendisi, sonra neden yanlış olduğu ve doğrusu anlatılmıştır.

• Ters orantıyı doğru orantı saymak: Kişi sayısı arttığında süre azalıyorsa çarpım sabittir; bölüm sabit aranırsa sonuç gerçekle çok uzaklaşır.
• Orantı sabitini yeniden hesaplamak: Sabit, durumlar değişse de değişmez. Bulunduğu çiftten sonra her sütuna aynı sabit uygulanır.
• Tabloyu satır yerine sütun olarak okumak: Tablo satırları nicelikleri, sütunları durumları gösterir; yer değiştirince sonuç yanlış çıkar.
• Farklı birimli nicelikleri karşılaştırmak: Metre ile santimetre ya da dakika ile saat karşılaştırılmadan önce aynı birime çevrilmelidir.
• Orantı sabitinin yönünü ters almak: Bölüm her zaman ikinci niceliğin birinci niceliğe bölümüdür; ters çevirmek sonucu iki katına çıkarabilir.

Özet

Kısaca: Orantılı durumlar, iki nicelik arasında sabit bir oranın bulunduğu durumlardır ve bu sabite orantı sabiti denir. Doğru orantılı durumlarda bölüm sabittir ve nicelikler aynı yönde değişir. Ters orantılı durumlarda çarpım sabittir ve nicelikler zıt yönde değişir. Orantılı durumlar tablosunda satırlar nicelikleri, sütunlar durumları gösterir; eksik değer bulunurken önce sabit belirlenir, sonra diğer sütunlara uygulanır. Problem çözümünde durumun türünü doğru belirlemek sonucun doğru çıkmasının ilk koşuludur.

Anlatımı bir cümlede özetleyeceksek, şunu söyleyebiliriz:

• İki durumun nicelikleri aynı türden olmalı ve aynı birimle ölçülmelidir.
• Doğru orantılı durumlarda bölüm sabit, ters orantılı durumlarda çarpım sabittir.
• Orantı sabiti durumlar değişse de aynı kalır, bu yüzden tek bir çiftten bulunup diğerlerine uygulanır.
• Bir nicelik artarken diğeri azalıyorsa durum ters orantılıdır.
• Tablo satırları x ve y niceliklerini, sütunlar ise durumları gösterir.
• Sınıflandırma adımı atlanırsa sonuç büyük ölçüde sapar.
• Grafikte düz çizgi doğru orantılılığı, eğri çizgi ters orantılılığı gösterir.

Kendini dene

Aşağıdaki sorular konunun farklı yönlerini yoklar. Önce kendin çöz, sonra cevap anahtarına bak; eğer bir soruyu yanlış yaptıysan yukarıdaki ilgili bölüme geri dön.

1. Bir dikdörtgenin uzunluğu genişliğinin 3 katıdır ve çevresi 64 birim olan bu dikdörtgenin alanı kaç birimdir? (Şıklar: 128 · 160 · 192 · 240)
2. 0,75 litrelik bir bardakla 3 litrelik bir sürahı kaç kez doldurulur? (Şıklar: 2,5 · 3,5 · 4 · 4,5)
3. 2 kedi 5 günde 8 kilogram yem tüketmektedir. Aynı miktarı 5 kedi kaç günde tüketir? (Şıklar: 1 · 2 · 4 · 6)

Cevap anahtarı: 1) 192 — Genişlik g olsun. Çevre iki katı toplamı verdiği için 2 × (3g + g) = 64 yazılır. Buradan 8 × g = 64 ve g = 8 bulunur. Uzunluk 3 × 8 = 24 olur, alan ise 24 × 8 = 192 olarak hesaplanır.

2) 4 — Kapasite ile dolan miktar arasındaki bölüm sabittir. 3 sayısının 0,75 sayısına bölümü 4 olarak bulunur, yani sürahı 4 bardakla dolar.

3) 2 — Kedi sayısı arttıkça tüketilen süre azaldığı için çarpımları sabittir. 2 × 5 = 10 bulunur. Beş kedi için 5 × g = 10 yazılır ve g = 2 gün sonucu elde edilir.

Yakın konular

Konunun yerine oturması için komşu başlıkları da bilmek gerekir. Şunlarla birlikte çalışmak konuyu pekiştirir:

• Doğru Orantılı Durumlara İlişkin Problem Çözme — aynı ünitede, bir sonraki adım.
• Çokgenler, Açılar ve Alan — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.
• Çember, Daire ve Veri-Olasılık — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.
• Dikdörtgenler Prizmasının Hacmi ve Yüzey Alanı — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.

Kaynak notu

Bu derste Orantılı Durumlar konusu için kullanılan sayısal değerlerin tamamı adım adım gösterilerek hesaplandı; yaklaşık değer gereken yerde yaklaşık ifadesi açıkça yazıldı. Bu anlatım başka bir kitaptan cümle aktarmadan, konunun tanım ve kural düzeni yeniden yazılarak hazırlandı.

Ayrıca derste şu açık uçlu görevler yer alıyor; her biri puanlıdır ve kendi cevabını yazmanı ister:

• Bir markette farklı büyüklükte üç kutu sütün toplam hacmi 18 litre olduğunu görüyorsunuz. Kutuların hacimleri orantılı durumlar mıdır? Araştırarak iki örnek çift üzerinde orantı sabitini gösteriniz. (15 puan)
• Günlük hayattan doğru orantılı iki durum ve ters orantılı iki durum örneği yazar mısınız? Her örnekte hangi sabitin korunduğunu açıklayınız. (10 puan)
• Bir sınıfta 45 öğrenciyi üç gruba dağıtıp grup sayısı ile grup mevcudu arasında ters orantılılık olup olmadığını nasıl incelersiniz? Sonuçlarınızı tablo hâlinde sununuz. (25 puan)

İleri Örnek

Daha ileri bir uygulama:

Soru: Bir araç saatte 72 kilometre hızla gitmektedir. 2,5 saatte kaç kilometre yol alır?

1. Adım 1: Saatlik yol alınan hız değeridir ve sabittir.
2. Adım 2: Yol, hızın zamanla çarpımı olarak hesaplanır.
3. Adım 3: 72 × 2,5 = 180 hesaplanır.
4. Adım 4: Sonuç 180 kilometre olarak yazılır.

Sonuç/cevap: 180 kilometre

Karşılaştırma Tablosu