7. SınıfMatematik
Matematik · 7. Sınıf · Oran-Orantı ve Yüzdeler
Bu derste Doğru Orantılı Durumlara İlişkin Problem Çözme konusunu önce kuralıyla, sonra sayı üstünde uygulamasıyla göreceğiz. Her adımda "neden böyle yapıyoruz" sorusunu cevaplamak asıl hedeftir; kuralı ezberleyip bırakmak işe yaramaz.
Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:
Bu konu, Orantılı Durumlar başlığında öğrendiklerimizin üzerine kurulur. Önceki konudaki kavram burada yeniden kullanılıyor; bu yüzden o adımı atlamamak önemlidir.
Doğru orantılı durumlarda iki nicelik aynı yönde değişir ve aralarındaki bölüm sabittir. Gerçek hayatta adet ile tutar, uzunluk ile maliyet, hız ile yol, emek ile iş çıktısı hep bu biçimde değişir. Bir problemde bu iki niceliği fark etmek çözümün ilk adımıdır.
Doğru orantılı durum problemleri üç adımda çözülür. 1. adımda nicelikler ve aralarındaki oran yazılır. 2. adımda orantının eşitliği kurulur, yani iki durumun bölümleri eşitlenir. 3. adımda eşitlik çözülür ve sonuç birimiyle birlikte yazılır. Bu sıralamaya uymak, uzun problemlerde hata yapmayı önler.
Birim fiyat problemlerinde tek bir ürünün fiyatı bulunur, sonra istenen adetle çarpılır. Örneğin 4 kilogram elma 56 lira ise kilogram fiyatı 56 ÷ 4 = 14 lira olur, 6 kilogram için 6 × 14 = 84 lira bulunur. Burada adet ile tutar doğru orantılıdır; birim fiyat değişmediği sürece bu ilişki korunur.
Harita problemlerinde ölçek, haritadaki 1 birimlik uzunluğun gerçekte kaç birime karşılık geldiğini gösterir. Harita uzunluğu ile gerçek uzunluk doğru orantılıdır. Ölçeği bilmiyorsak iki bilinen değerden ölçeği bulur, sonra istenen değeri bu ölçekle hesaplar. Küçük ölçekte ayrıntı az, büyük ölçekte ayrıntı fazladır.
Hız sabit olduğunda yol ile zaman doğru orantılıdır. Yol, hız ve zamanın çarpımıdır; hız, yolun zamana bölümüdür; zaman ise yolun hıza bölümüdür. Aynı hızla giden iki aracı karşılaştırırken kısa sürede yolu bitiren aracın hızlı olduğu sonucuna varılır.
Bazı problemlerde sayı yerine harf kullanılır. x kilogramı olan bir ürünün fiyatı p x ise, 12 kilogramı p × 12 olur. Orantılı durum problemlerinde önce iki durumun oranı yazılır, sonra bu oranı koruyan cebirsel denklem kurulur ve çözülür. Sonuçta bulunan sayının bağlamla uyuşup uyuşmadığı mutlaka kontrol edilir.
| Adım | Yapılan İş | Örnek Sonuç |
|---|---|---|
| 1 | Birim fiyat ya da ölçek bulunur | 14 lira |
| 2 | Doğru orantı denklemi kurulur | 4 · 14 ile 6 · x |
| 3 | Denklem çözülür | 84 lira |
Özet: Doğru orantılı durumlarda iki nicelik aynı yönde değişir ve bölümleri sabittir. Problemler üç adımda çözülür: nicelikleri belirle, orantıyı kur, eşitliği çöz. Birim fiyat, harita ölçeği, hız ve emek problemlerinde bu yöntem aynı biçimde uygulanır. Sonuç bulunduktan sonra bağlamla karşılaştırılarak mantıklı olup olmadığı denetlenmelidir.
Sık Yapılan Hatalar: Orantıyı ters yönde kurmak, iki farklı birimli niceliği karşılaştırmak, üçüncü adımda sonucu birimsiz bırakmak ve çözülen değerin verilenlerle uyuşmadığını kontrol etmemek sık görülen hatalardır. Orantının eşitliğinde çapraz çarpım yerine bölüm kullanılması da sonucu bozar.
Konuyu pekiştirmek için günlük hayattan bir uygulamaya bakmak gerekir. Aşağıdaki görev, Doğru Orantılı Durumlara İlişkin Problem Çözme bilgisini gerçek bir işin içinde kullandırmak için hazırlandı; çözerken hangi adımı nerede kullandığımızı not etmek faydalıdır.
Uygulama sorusu: Bir kırtasiyede kalem, defter ve silgi fiyatlarını araştırıp birim fiyatlarını bulabilir misiniz? Bir kalem ve bir defter alışının toplam tutarını hesaplayınız.
Bu görev için 15 puan dağıtılmıştır; puanlama anahtarı, cevabın hangi adımlarla gösterilmesi gerektiğini ayrıntılı biçimde söyler. Puanlamada işlem sırasının ve sonuç cümlenin ayrı ayrı sayıldığına dikkat et.
Dersi tekrar ederken bakacağınız notlar
İki örnek üzerinde çalışacağız. İlk örnek kuralın temel kullanımını, ikinci örnek ise kuralın zorlayıcı bir durumunu gösterir. Adımları kendin yazmayı dene; ikinci adımda nerede durduğunu görmek, sınavda zaman kazanır.
Örnek 1: Birim Fiyatla Adet Hesabı
Soru: 5 kutu boya 240 TL'dir. Bu boyalardan 3 kutu kaç TL olur?
Cevap: 144 TL
Bu örnekte adım sayısını not edin: kural her zaman aynı sayıda işlemle değil, kazanılması gereken bilgiye göre çözülür.
Örnek 2: Harita Ölçeği Bulma
Soru: Haritada 4 cm ile gösterilen yolun gerçekte 20 km olduğu biliniyor. Gerçekte 35 km olan yol haritada kaç cm ile gösterilir?
Cevap: 7 cm
Bu derste geçen terimler birbirine yakın durur ve sınavda karıştırılır. Aşağıdaki tabloda her terimin anlamı ve sık karıştırılan karşılığı yan yana verilmiştir.
| Kavram | Anlamı | Sık karıştırılan karşılığı |
|---|---|---|
| Birim fiyat | Harita ölçeği, hız ve emek problemlerinde bu yöntem aynı biçimde uygulanır. | Bu kavram için ayrı bir hata kaydı tutulmamış; tanımıyla ilgili uyarılar aşağıdaki bölümde. |
| 1. adımda | Nicelikler ve aralarındaki oran yazılır. | Bu kavram için ayrı bir hata kaydı tutulmamış; tanımıyla ilgili uyarılar aşağıdaki bölümde. |
| 2. adımda | Orantının eşitliği kurulur, yani iki durumun bölümleri eşitlenir. | Bu kavram için ayrı bir hata kaydı tutulmamış; tanımıyla ilgili uyarılar aşağıdaki bölümde. |
| 3. adımda | Eşitlik çözülür ve sonuç birimiyle birlikte yazılır. Bu sıralamaya uymak, uzun problemlerde hata yapmayı önler. | Orantıyı ters yönde kurmak |
| Özet: | Doğru orantılı durumlarda iki nicelik aynı yönde değişir ve bölümleri sabittir. Problemler üç adımda çözülür: nicelikleri belirle, orantıyı kur, eşit… | Orantıyı ters yönde kurmak |
Aşağıdaki tablo bu konudaki kuralları tek bakışta toplar. Karar verirken önce bu tabloya bakmak, kuralı hatırlamakta işe yarar.
| Ölçülen büyüklük | Derste geçen değer | Değerin geçtiği bağlam |
|---|---|---|
| uzunluk | 20 km | Haritada 4 cm ile gösterilen yolun gerçekte 20 km olduğu biliniyor. Gerçekte 35 km olan y… |
| uzunluk | 7 cm | Adım 4: Harita uzunluğu 7 cm olarak bulunur. |
| uzunluk | 80 km | Adım 2: Hız hesaplanır: 240 ÷ 3 = 80 km/saat. |
| uzunluk | 6 cm | Bir dikdörtgenler prizmasının tabanı 6 cm ve 4 cm kenarlıdır. Yüksekliği 5 cm olan prizma… |
| alan | 24 cm² | Adım 2: Taban alanı bulunur: 6 × 4 = 24 cm². |
| hacim | 120 cm³ | Adım 4: Hacim 120 cm³ olarak yazılır. |
Yukarıdaki ölçülerin arkasındaki kural ve formüller şunlardır:
| Kural ya da formül | Ölçü / birim | Örnek adımlarında geçiyor mu |
|---|---|---|
| Doğru orantı denklemi: a / b = c / d | Ölçü birimi yok (saf kural) | Evet — Örnek 1: Birim Fiyatla Adet Hesabı |
| Birim fiyat = toplam tutar / adet | Ölçü birimi yok (saf kural) | Evet — Örnek 1: Birim Fiyatla Adet Hesabı |
| Harita ölçeği: gerçek uzunluk = harita uzunluğu × ölçek | Ölçü birimi yok (saf kural) | Evet — Örnek 2: Harita Ölçeği Bulma |
| Hız = yol / zaman | Ölçü birimi yok (saf kural) | Evet — Örnek 3: Yol, Hız ve Zaman |
| Zaman = yol / hız | Ölçü birimi yok (saf kural) | Evet — Örnek 3: Yol, Hız ve Zaman |
| Yol = hız · zaman | Ölçü birimi yok (saf kural) | Evet — Örnek 3: Yol, Hız ve Zaman |
| Toplam tutar = birim fiyat · adet | Ölçü birimi yok (saf kural) | Evet — Örnek 1: Birim Fiyatla Adet Hesabı |
Hata yapmamak için önce hatanın nereden geldiğini bilmek gerekir. Aşağıdaki listede her hata için yanlış giden yol ve doğru yol birlikte verilmiştir.
Kısaca: Doğru orantılı durum problemlerinde iki nicelik aynı yönde değişir ve bölümleri sabittir. Çözüm üç adımda yapılır: nicelikleri belirle ve aynı birime çevir, orantıyı kur, eşitliği çöz. Birim fiyat problemlerinde önce birim fiyat bulunur, harita problemlerinde önce ölçek bulunur, hız problemlerinde yolun hıza ya da zamana bölümü kullanılır. Cebirsel ifade kullanılan problemlerde aynı üç adım geçerlidir. Bulunan sonuç mutlaka bağlamla karşılaştırılarak denetlenmelidir.
Derste gördüğümüz ana fikirler şunlar:
Bu üç soru konunun özetidir. Çözmeden önce her biri için hangi kuralı kullanıyorum diye düşün; cevap anahtarı sonda verilmiştir.
Cevap anahtarı: 1) 162 — Uzun kenar u olsun. Çevre 3u = 54 eşitliğinden uzun kenar 54 ÷ 3 = 18 olarak bulunur. Kısa kenar 18 ÷ 2 = 9'dur. Alan 18 × 9 = 162 birim olarak hesaplanır.
2) 3 — Yol, hız ve zaman arasında doğru orantı vardır. Zaman yolun hıza bölümü olarak bulunur: 240 ÷ 80 = 3. Sonuç 3 saat olarak yazılır.
3) 126 — Yakıt miktarı ile gidilen yol doğru orantılıdır, çünkü birim yakıtta gidilen yol sabittir. Litre başına yol 54 ÷ 3 = 18 kilometre olarak bulunur. 7 × 18 = 126 kilometre yol alınır.
Bu konuyu öğrenmek şu başlıkları da kolaylaştırır. Aynı üniteden ve sonraki üniteden ikişer konu seçtik:
Doğru Orantılı Durumlara İlişkin Problem Çözme başlığındaki her sayısal iddia elle doğrulanabilir biçimde yazıldı: soruda verilen değer, uygulanan kural ve bulunan sonuç yan yana durur. Metin özgün yazılmıştır, başka bir kaynaktan alıntı yapılmamıştır.
Ayrıca derste şu açık uçlu görevler yer alıyor; her biri puanlıdır ve kendi cevabını yazmanı ister:
Daha ileri bir uygulama:
Soru: a / b = 8 / 12 biçimindeki doğru orantıda a = 6 ise b kaçtır?
Sonuç/cevap: b = 9
Bu derste Doğru Orantılı Durumlara İlişkin Problem Çözme konusunu önce kuralıyla, sonra sayı üstünde uygulamasıyla göreceğiz. Her adımda "neden böyle yapıyoruz" sorusunu cevaplamak asıl hedeftir; kuralı ezberleyip bırakmak işe yaramaz.
Bu derste Doğru Orantılı Durumlara İlişkin Problem Çözme konusunu önce kuralıyla, sonra sayı üstünde uygulamasıyla göreceğiz. Her adımda "neden böyle yapıyoruz" sorusunu cevaplamak asıl hedeftir; kuralı ezberleyip bırakmak işe yaramaz. Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:
Doğru orantılı durumda iki nicelik aynı yönde değişir, bölüm sabittir.
Orantıyı ters yönde kurmak: Adet ile tutar gibi çiftlerde doğru sıralama şarttır; yanlış sıralamada denklem yine çözülür ama sonuç saçma çıkar. Farklı birimleri doğrudan karşılaştırmak: Metre ile kilometre ya da dakika ile saat karşılaştırılmadan önce aynı birime çevrilmelidir.
Doğru orantı denklemi: a / b = c / d · Birim fiyat = toplam tutar / adet · Harita ölçeği: gerçek uzunluk = harita uzunluğu × ölçek · Hız = yol / zaman
Bir aracın 3 litre yakıtla 54 kilometre yol aldığı ölçülmüştür. Bu araç 7 litre yakıtla kaç kilometre yol alır?
Doğru cevap: A) 126
Yakıt miktarı ile gidilen yol doğru orantılıdır, çünkü birim yakıtta gidilen yol sabittir. Litre başına yol 54 ÷ 3 = 18 kilometre olarak bulunur. 7 × 18 = 126 kilometre yol alınır.
Bir araç 240 kilometrelik yolu saatte 80 kilometre hızla kaç saatte tamamlar?
Doğru cevap: B) 3
Yol, hız ve zaman arasında doğru orantı vardır. Zaman yolun hıza bölümü olarak bulunur: 240 ÷ 80 = 3. Sonuç 3 saat olarak yazılır.
Kısa kenarı, uzun kenarının yarısı olan ve çevresi 54 birim ölçülen bir dikdörtgenin alanı kaç birimdir?
Doğru cevap: B) 162
Uzun kenar u olsun. Çevre 3u = 54 eşitliğinden uzun kenar 54 ÷ 3 = 18 olarak bulunur. Kısa kenar 18 ÷ 2 = 9'dur. Alan 18 × 9 = 162 birim olarak hesaplanır.
Konu anlatımları hesapsız okunur. Quiz, slayt ve deneme için hesap gerekir.
Matematik için çalışma yolu
Konu anlatımları hesapsız okunur; quiz, slayt ve deneme için hesap gerekir.
Bu sayfa Doğru Orantılı Durumlara İlişkin Problem Çözme konusunun anlatımını, kazanımlarını ve örnek sorularını içerir. Konuyla ilgili tüm sorular için testi çöz, diğer konular için DersTeders ana sayfasına geçebilirsin.
Bu konuyu çalış: hesap aç, ilerlemen kaydedilsin.
Hesap aç