Eşkenar Dörtgen ve Yamuk

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Bu derste Eşkenar Dörtgen ve Yamuk konusunu önce kuralıyla, sonra sayı üstünde uygulamasıyla göreceğiz. Her adımda "neden böyle yapıyoruz" sorusunu cevaplamak asıl hedeftir; kuralı ezberleyip bırakmak işe yaramaz.

Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:

• Kazanım 1: Dörtgenleri kenar ve açı özelliklerine göre sınıflandırır.
• Kazanım 2: Eşkenar dörtgeni ve karenin bu dörtgen içindeki yerini açıklar.
• Kazanım 3: Eşkenar dörtgende köşegenlerin birbirini dik kestiğini ve ortaladığını gösterir.
• Kazanım 4: Eşkenar dörtgenin alanını köşegenler yardımıyla hesaplar.
• Kazanım 5: Yamuğu çizer, tabanlarını ve yüksekliğini belirler.
• Kazanım 6: Yamuğun alanını taban ve yükseklik bilgilerinden hesaplar.

Ön bilgi: bundan önce gördüğümüz

Bu konuya geçmeden önce Hacim Ölçme Birimleri konusunu bilmemiz gerekiyor. Hacim Ölçme Birimleri içindeki kavramlar bu derste doğrudan kullanılacak; aradaki bağı kurmadan sayısal işleme geçmek en sık yapılan hatadır.

• Hacim Ölçme Birimleri — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.
• Orta Dikme ve Açıortay İnşası — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.

Dörtgenlerin Sınıflandırılması

Dörtgen, dört kenarı ve dört köşesi olan kapalı bir düzlemsel şekildir. Kenarlarının durumuna göre dörtgenler paralelkenar, yamuk, eşkenar dörtgen ve kare olarak sınıflandırılır. Sınıflandırmada karşılıklı kenarların paralel olup olmadığı ve kenarların eşit olup olmadığı temel ölçüttür.

Eşkenar Dörtgen ve Özellikleri

Eşkenar dörtgen, dört kenarı da birbirine eşit ve karşılıklı kenarları paralel olan dörtgendir. Dört açısı da dik olduğundan her iç açısı 90 derecedir. Bu nedenle kare, eşkenar dörtgenin özel bir durumudur; her kare eşkenar dörtgendir, ancak her eşkenar dörtgen kare değildir.

Eşkenar dörtgenin en önemli özelliği köşegenleridir. İki köşegen birbirini dik olarak ve ortasından keser. Yani köşegenlerin kesişim noktası, her iki köşegeni de iki eşit parçaya böler. Köşegenlerin uzunlukları birbirine eşit olmak zorunda değildir.

Eşkenar Dörtgenin Alanı

Köşegenleri dik kestiği için eşkenar dörtgen dört adet dik üçgene bölünür. Bu dört üçgenin alanları toplandığında, dörtgenin alanı köşegen çarpımının yarısına eşit olur.

Örneğin köşegenleri 12 cm ve 10 cm olan bir eşkenar dörtgende önce 12 · 10 = 120 hesaplanır, ardından bu değerin yarısı alınır ve alan 60 cm² bulunur. Alan birimi kare birim olduğundan cevap cm² olarak yazılır.

Yamuk ve Özellikleri

Yamuk, karşılıklı kenarlarından yalnızca bir çifti birbirine paralel olan dörtgendir. Birbirine paralel olan iki kenara taban, diğer iki kenara yan kenar denir. İki taban birbirine eşit değildir; eşit olsaydı dörtgen paralelkenar olurdu.

• Yamuk çiziminde önce iki paralel doğru çizilir.
• Biri taban, diğeri üst taban olarak adlandırılır.
• Yamuklar arasındaki en kısa dikme yükseklik olarak adlandırılır.

Yamuğun Alanı

Yamuğun alanı, iki tabanın toplamının yarısı ile yüksekliğin çarpımına eşittir. Bağıntı şöyle yazılır: A = (a + b) · h / 2.

Tabanları 8 cm ve 14 cm, yüksekliği 5 cm olan yamuğun alanı şöyle bulunur: 8 + 14 = 22 cm toplam alınır, 22 değerinin yarısı 11 cm olur, ardından 11 · 5 = 55 hesaplanır ve alan 55 cm² bulunur.

Paralelkenar, Yamuk ve Eşkenar Dörtgen Arasındaki İlişki

Bu üç dörtgen arasındaki ilişki paralel kenar sayısıyla açıklanır. Paralelkenarda iki çift kenar paraleldir. Yamukta bu sayı bir çifte düşer. Eşkenar dörtgende ise hem iki çift kenar paraleldir hem de dört kenar eşittir. Bu yüzden paralelkenarın özel bir durumu olan dik paralelkenar, kenar eşitliği de sağlanıyorsa eşkenar dörtgen olur.

Alan bağıntıları da bu sınıflandırmayı yansıtır. Yamukta iki tabanın ortalaması kullanılırken eşkenar dörtgende iki köşegenin çarpımının yarısı kullanılır. İkisi de cismin kapladığı alanı verir, ancak hangi ölçülerin verildiğine göre bağıntı seçilir.

Özet Eşkenar dörtgen, dört kenarı eşit ve karşılıklı kenarları paralel olan, açıları dik olan dörtgendir; kare onun özel bir durumudur. Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini dik olarak ve ortasından keser ve alanı köşegen çarpımının yarısına eşittir. Yamuk ise yalnızca bir çift karşılıklı kenarı paralel olan dörtgendir; paralel kenarlara taban denir ve alanı iki tabanın toplamının yarısı ile yüksekliğin çarpımına eşittir.

Sık Yapılan Hatalar Her eşkenar dörtgeni kare sanmak; eşkenar dörtgende köşegenlerin eşit olduğunu düşünmek; köşegenlerin kesişim noktasinin iki köşegenin de ortası olduğunu atlamak; yamuğun yüksekliğini yan kenar yerine dikme olarak çizmemek; yamuk alanında taban ortalaması yerine tek tabanı kullanmak; iki tabanın eşit olması hâlinde dörtgenin paralelkenar olduğunu gözden kaçırmak.

Günlük hayattan bir uygulama

Konuyu pekiştirmek için günlük hayattan bir uygulamaya bakmak gerekir. Aşağıdaki görev, Eşkenar Dörtgen ve Yamuk bilgisini gerçek bir işin içinde kullandırmak için hazırlandı; çözerken hangi adımı nerede kullandığımızı not etmek faydalıdır.

Uygulama sorusu: Tabanları 9 cm ve 15 cm, yüksekliği 6 cm olan bir yamuğu deftere çizerek alanını bulunuz. Peki yükseklik neden yan kenarlara dik çizilmelidir?

Bu görev için 15 puan dağıtılmıştır; puanlama anahtarı, cevabın hangi adımlarla gösterilmesi gerektiğini ayrıntılı biçimde söyler. Puanlamada işlem sırasının ve sonuç cümlenin ayrı ayrı sayıldığına dikkat et.

Sınıfta işe yarayan pratik notlar

• Eşkenar dörtgende köşegen çarpımının yarısı, yamukta taban toplamının yarısı ile yükseklik aynı işi görür: ortalama alan çarpımı.
• Alan bulurken önce ortalama değeri bulmak işlem yükünü azaltır ve hata olasılığını düşürür.
• Yamuk çiziminde önce paralel tabanları çiz, sonra dikmeyi, en son yan kenarı kapat; sıralamayı bozma.
• Kare sorulduğunda önce kenarların eşitliğini, sonra açıların dikliğini kontrol et.
• Sonuçta birim mutlaka cm² olarak yaz; alan sorusu kübik birimle cevaplanmaz.

Adım adım çözülmüş örnekler

İki örnek üzerinde çalışacağız. İlk örnek kuralın temel kullanımını, ikinci örnek ise kuralın zorlayıcı bir durumunu gösterir. Adımları kendin yazmayı dene; ikinci adımda nerede durduğunu görmek, sınavda zaman kazanır.

Örnek 1: Eşkenar Dörtgenin Alanı

Soru: Köşegenleri 12 cm ve 10 cm olan eşkenar dörtgenin alanını bulunuz.

1. Adım 1: Eşkenar dörtgenin alanı, köşegen çarpımının yarısına eşittir.
2. Adım 2: Köşegenler çarpılır: 12 · 10 = 120 hesaplanır.
3. Adım 3: 120 değerinin yarısı alınır ve alan 60 cm² olarak bulunur.

Cevap: 60 cm²

Bu örnekte adım sayısını not edin: kural her zaman aynı sayıda işlemle değil, kazanılması gereken bilgiye göre çözülür.

Örnek 2: Yamuğun Alanı

Soru: Tabanları 8 cm ve 14 cm, yüksekliği 5 cm olan yamuğun alanını bulunuz.

1. Adım 1: İki taban toplanır: 8 + 14 = 22 cm bulunur.
2. Adım 2: 22 değerinin yarısı alınır ve ortalama taban 11 cm olur.
3. Adım 3: Ortalama taban yükseklikle çarpılır: 11 · 5 = 55 hesaplanır.
4. Adım 4: Sonuç 55 cm² olarak yazılır.

Cevap: 55 cm²

Kavram karşılaştırma tablosu

Bu derste geçen terimler birbirine yakın durur ve sınavda karıştırılır. Aşağıdaki tabloda her terimin anlamı ve sık karıştırılan karşılığı yan yana verilmiştir.

Kural, formül ve ölçü tablosu

Aşağıdaki tablo bu konudaki kuralları tek bakışta toplar. Karar verirken önce bu tabloya bakmak, kuralı hatırlamakta işe yarar.

Yukarıdaki ölçülerin arkasındaki kural ve formüller şunlardır:

Sık Yapılan Hatalar

Aşağıdaki hatalar bu konuda en sık görülenlerdir. Her biri için önce hatanın kendisi, sonra neden yanlış olduğu ve doğrusu anlatılmıştır.

• Her eşkenar dörtgeni kare saymak: Eşkenar dörtgende yalnızca kenarlar eşittir. Açıları da dik olan eşkenar dörtgen kare olarak adlandırılır, diğerleri dikdörtgene yakın biçimlerdedir.
• Köşegenlerin eşit olduğunu düşünmek: Köşegenler birbirini dik ve ortalar, ancak uzunlukları eşit olmak zorunda değildir. Bu nedenle alan için köşegen çarpımının yarısı kullanılır.
• Yamuğun yüksekliğini yan kenardan ölçmek: Yan kenar eğik olduğundan yükseklik olamaz. Yükseklik, tabanlar arasında çizilen ve yan kenarlara dik olan en kısa parçadır.
• Yamuk alanında tek tabanı kullanmak: Yamuğun iki tabanı farklı uzunluktadır. Doğru olan, tabanların toplamının yarısını yükseklikle çarpıktır.
• Köşegen kesişim noktasını görmezden gelmek: Kesişim noktası iki köşegeni de ortalar. Bu özellik bilinmezse eşkenar dörtgenin alanı neden köşegen çarpımının yarısına eşit olduğu açıklanamaz.

Özet

Kısaca: Eşkenar dörtgen, dört kenarı birbirine eşit ve karşılıklı kenarları paralel olan, dört açısı da dik olan dörtgendir; kare bu dörtgenin özel bir durumudur. Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini dik olarak ve ortasından kestiği için dörtgen dört dik üçgenine bölünür ve alanı köşegen çarpımının yarısına eşittir. Yamuk ise karşılıklı kenarlarından yalnızca bir çifti paralel olan dörtgendir; paralel kenarlar taban olarak adlandırılır, aralarındaki en kısa dikme yüksekliktir ve alan iki tabanın toplamının yarısı ile y…

Derste gördüğümüz ana fikirler şunlar:

• Eşkenar dörtgenin dört kenarı eşit, dört açısı dik olduğu için 90 derecedir.
• Kare, eşkenar dörtgenin özel bir durumudur; her kare eşkenar dörtgendir.
• Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini dik olarak ve ortasından keser.
• Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirine eşit olmak zorunda değildir.
• Yamuğun yalnızca bir çift karşılıklı kenarı paraleldir ve bu kenarlara taban denir.
• Yamuğun yüksekliği, iki yüzey arasındaki en kısa dikmedir ve yan kenarlara dik çizilir.
• Alan hesabında köşegen çarpımı ya da taban toplamı önce yarıya indirilir.

Kendini dene

Aşağıdaki sorular konunun farklı yönlerini yoklar. Önce kendin çöz, sonra cevap anahtarına bak; eğer bir soruyu yanlış yaptıysan yukarıdaki ilgili bölüme geri dön.

1. Tabanları 9 cm ve 15 cm olan bir yamuğun alanı 60 cm² ise yüksekliği kaç cm'dir? (Şıklar: 4 · 5 · 6 · 7)
2. Köşegenleri 10 cm ve 12 cm olan eşkenar dörtgenin alanı kaç cm²'dir? (Şıklar: 120 · 22 · 60 · 44)
3. Eşkenar dörtgenin kaç köşesi ve kaç kenarı vardır? (Şıklar: 3 köşe ve 3 kenar · 4 köşe ve 4 kenar · 5 köşe ve 5 kenar · 6 köşe ve 6 kenar)

Cevap anahtarı: 1) 5 — Eşkenar dörtgenin alanı 12 · 10 = 120 değerinin yarısı olduğundan karşılaştırma için 60 cm² alınır. Yamuğun ortalama tabanı 24/2 işlemiyle 12 cm olur ve 60/12 bölümü sonucu = 5.

2) 60 — Eşkenar dörtgenin alanı köşegen çarpımının yarısıdır. 10 · 12 = 120 hesaplanır, yarısı alınır ve sonuç = 60.

3) 4 köşe ve 4 kenar — Dörtgen dört kenarı ve dört köşesi olan kapalı bir düzlemsel şekildir. Eşkenar dörtgende de kenar ve köşe sayısı değişmez, yani sonuç = 4.

İlgili konular

Bu konuyu öğrenmek şu başlıkları da kolaylaştırır. Aynı üniteden ve sonraki üniteden ikişer konu seçtik:

• Kategorik ve Nicel (Sürekli) Veri Dağılımları — aynı ünitede, bir sonraki adım.
• Teorik Olasılık — aynı ünitede, bir sonraki adım.

Kaynak notu

Bu derste Eşkenar Dörtgen ve Yamuk konusu için kullanılan sayısal değerlerin tamamı adım adım gösterilerek hesaplandı; yaklaşık değer gereken yerde yaklaşık ifadesi açıkça yazıldı. Bu anlatım başka bir kitaptan cümle aktarmadan, konunun tanım ve kural düzeni yeniden yazılarak hazırlandı.

Ayrıca derste şu açık uçlu görevler yer alıyor; her biri puanlıdır ve kendi cevabını yazmanı ister:

• Tabanları 9 cm ve 15 cm, yüksekliği 6 cm olan bir yamuğu deftere çizerek alanını bulunuz. Peki yükseklik neden yan kenarlara dik çizilmelidir? (15 puan)
• Köşegenleri 16 cm ve 12 cm olan eşkenar dörtgenin alanını hesaplayınız; bu dörtgenin kare olup olmadığını nasıl belirlersiniz? (20 puan)
• Tabanları 10 cm ve 22 cm olan bir yamuğun alanı 128 cm² olduğuna göre yüksekliği kaç cm'dir? Sonucunizi iki farklı yöntemle doğrulayınız. (25 puan)

İleri Örnek

Daha ileri bir uygulama:

Soru: Alanı 54 cm², köşegenlerinden biri 18 cm olan eşkenar dörtgenin diğer köşegeni kaç cm'dir?

1. Adım 1: Alan köşegen çarpımının yarısı olduğundan köşegen çarpımı iki katına çıkarılır.
2. Adım 2: 54 · 2 = 108 hesaplanır.
3. Adım 3: Diğer köşegen 108/18 işlemiyle bulunur ve 6 cm elde edilir.

Sonuç/cevap: 6 cm